Pertemuan 8 & 9 Distribusi Probab Multivariat Distr Multivar untuk Kombinasi Linier Uji Hipotesis Kesamaan Mean
Distribusi Normal Multivariat Ingat V.R.Univariat Variabel random univariat X berdistribusi normal dengan mean dan varians X mempunyai fungsi kepadatan peluang (probability density function) pdf sbb Plot pdf ini berbentuk lonceng simetri
Kurtosis = keruncingan Skewness = kemiringan Plot pdf univariat (berbentuk lonceng simetri)
VR. bivariat dengan pdf dimana Karena maka
Plot pdf distribusi normal bivariat O x1 X1 x2 X2
Plot contur (grafik dimensi tiga diproyeksikan kedalam dimensi dua)
Perhatikan bentuk kuantitas pada univariat diperluas untuk kuantitas multivariat sebagai berikut Sehingga distribusi variabel random multivariat dituliskan dalam bentuk X berdistribusi normal p variat dengan vektor mean dan matrik covarians
Kontur (Contour) Untuk densitas normal p variat, path dari x dengan tinggi konstan adalah ellipsoida Atau densitas normal multivariat konstan pada luasan dimana jarak adalah konstan. Path ini disebut kontur Jadi, kontur densitas probabilitas konstan untuk distribusi normal p dimensi adalah ellipsoida yang didefinisikan melalui x sedemikian hingga Ellipsoida ini berpusat di dimana dengan sumbu-sumbu
Hasil Jika definit positif, maka terdapat invers, sehingga
Distribusi multivariat untuk kombinasi linier pada variabel Misalkan Pandang kobinasi linier Mean sampel dari Varians sampel dari adalah adalah maka distribusi kombinasi linier adalah
Bukti dimana nilai observasi pada trial ke-j adalah Dan n observasi diberikan oleh Sehingga n observasi ini memililiki
Karena maka diperoleh
Jika terdapat kombinasi linier lainnya dengan maka covarians sampel antara dan adalah Selanjutnya, misalkan terdapat q buah kombinasi linier q buah kombinasi linier AX mempunyai vektor mean sampel dan matriks covarians sampel, Maka q kombinasi linier AX berdistribusi normal, yaitu
Contoh dan misalkan pula diberikan dua buah kombinasi linier dan Observasi pada kombinasi linier tersebut diperoleh dengan mengganti dan dengan nilai observasinya. Misalnya untuk observasi pada adalah Maka untuk kombinasi linier memiliki berturut-turut
Dengan cara serupa untuk Maka Sedangkan observasi pada kombinasi linier
Metoda lain (dengan menggunakan rumus langsung) Terlebih dahulu hitung vektor mean sampel dan matriks covarian sampel Kombinasi linier mean sampel varians sampel Kombinasi linier
Teorema 1 Jika, maka kombinasi linier juga berdistribusi normal,yaitu (Bukti serupa dengan bukti pada sampel) Teorema 2 Jika maka berdistribusi Teorema 3 Jika maka q kombinasi linier berdistribusi normal, yaitu
Teorema 4 dan jika dibuat partisi sebagai berikut Jika maka Jika
TEOREMA Jika dan. maka distribusi bersyarat untuk adalah normal bila diberikan dengan dan TEOREMA Jika, maka berdistribusi chi-square dengan derajat bebas dinotasikan
Distribusi Normal multivariat bersyarat dengan & (Cov ini tidak bergantung pd variabel bersyaratnya) adalah fungsi distribusi marginal dari Analog, diperoleh
UJI HIPOTESIS : Ratio Likelihood & LAMDA WIKS
Uji perbandingan Likelihood (Likelihood Rasio Test) vs Tolak jika dimana disebut Wilks Lamda
Lemma 1 dimana Lemma 2 versus Untuk uji perbandingan likelihood ditolak bila Hal ini ekivalen dengan berdistribusi Jadi ditolak bila kecil atau ditolak bila kecil besar sedangkan
Contoh Ujilah hipotesis, dengan versus Solusi atau maka tidak dotolak
Contoh 2 Keringat dari 20 laki-laki sehat dianalisis, diukur tiga komponen Hasil pengukuran memberikan Ujilah hipotesis dengan vs
Jawab. Jadi ditolak