BAB IV APLIKASI JARAK MAHALANOBIS

Transkripsi

1 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis 42 BAB IV APLIKASI JARAK MAHALANOBIS 4.1 Pendeteksian Outlier k Teknologi pendeteksian outlier dengan menggunakan jarak Mahalanobis merupakan teknologi paling awal dalam memisahkan dan menguji calon-calon outlier. Metode ini sangat efektif jika hanya ada 1 buah outlier dalam himpunan data. Berikut ini akan disajikan algoritma mulai dari algoritma membangkitkan n buah data acak dari distribusi normal p-variat (0, ) N I p, kemudian data ke-n dibuat menjadi data outlier, hingga algoritma pengujian outlier. A. Algoritma membangkitkan data acak Pertama adalah membangkitkan data acak dengan menggunakan StatPlus dalam sistem. Caranya sebagai berikut. - Klik Statplus > Create Data > Random Numbers - Dalam combo box type of distribution pilih normal kemudian isi banyaknya sampel yang mau dibangkitkan (misalnya 5) dan ukuran masing-masing sampelnya (misalnya 100).pada kotak. Pada kotak mean isikan 0 dan pada kotak standard deviation isikan 1. Ini akan menghasilkan 100 buah data acak dari distribusi normal N(0, I p ) dengan p = 5. - Kemudian data ke 100 kita buat menjadi outlier. Caranya dengan menambahkan bilangan x pada setiap kolomnya sehingga data ke 100 akan

2 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis 43 berbeda jauh dengan 99 buah data lainnya. Misalnya, ambil x = 5. Jadi, data ke 100 berdistribusi N(5, I p ). - Keseratus data tersebut kita simpan dalam matriks A berukuran (100x5). Berikut adalah contoh matriks data A (100x5) yang diperoleh dari suatu eksperimen. No

3 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis

4 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis B. Algoritma menghitung kuadrat jarak Mahalanobis - Hitung x ( dibaca x bar ) yaitu vektor rata- rata data, p x R dengan p = 5. Cara menghitungnya dengan MS Excel adalah dengan menggunakan perintah =average(<blok data baris yang bersangkutan>). Matriks data A di atas akan memberikan vektor x sebagai berikut. xbar Kemudian hitung x i matriks data terpusat xi x untuk i = 1, 2,.., 100. Matriks data A memberikan x sebagai berikut. No,

5 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis

6 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis

7 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis 48 - Hitung matriks kovariansi sampel dengan menggunakan program Matlab 7. Caranya, ketik di editor m-file atau command windows sintaks berikut: cov(<data yang akan dihitung matriks kovariansinya>). Contohnya, untuk menghitung matriks kovariansi dari matriks data A, ketiklah perintah cov(a) di editor m-file atau di command windows-nya. Matriks kovariansi yang dihasilkan kita beri nama S. Kemudian hitung invers dari S dengan sintaks inv(<matriks kovariansi yang akan dihitung inversnya>) atau inv(s). Berikut matriks kovariansi yang diberikan A Hitung kuadrat jarak Mahalanobis d = ( x x)* S *( x x) untuk i = 1, 2, 2 1 i i i 2..., 100. Matriks data A akan memberikan nilai d i pada table di bawah ini. i d

8 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis

9 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis C. Algoritma untuk mendeteksi outlier 2 - Buat plot nilai untuk i = 1, 2,..., 100 terhadap indeksnya. Untuk matriks d i data A akan diperoleh gambar berikut. Pada gambar ini sumbu tegaknya

10 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis 51 adalah nilai 2 d i dan sumbu datarnya adalah indeks i = 1, 2,..., 100. GAmbar ini menunjukkan bahwa data ke 100 mempunyai kuadrat jarak Mahalanobis yang sangat besar yaitu Sedangkan data 1 sampai 99 mempunyai kuadrat jarak mahalanobis antara 0 sampai Jadi, data ke 100 patut dicurigai sebagai outlier Gambar 4.1 Hitung nilai cut-off untuk α yang diinginkan dengan menggunakan distribusi pendekatan (chi-square dengan parameter p) karena n cukup besar sehingga efektifitas penggunaan cut-off distribusi pendekatan sama dengan cut-off distribusi eksaknya. Kemudian plot nilai cut-off pada Gambar 4.1 di atas.

11 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis 52 Algoritma di atas, jika dilaksanakan dalam Matlab 7, maka pada editor m-filenya diisi dengan sintaks sebagai berikut. A=load('data.txt'); [n p]=size(a); xbar=mean(a); S=cov(A); for i=1:n d2(i)=(a(i,:)-xbar)*inv(s)*(a(i,:)-xbar)'; end cut_pdkt=chi2inv(0.95,p) figure(1) plot(1:n,d2,'*',1:n,cut_pdkt*ones(1,n),'b'); grid on Jika algoritma di atas diterapkan pada matriks data A, maka akan didapat plot jarak Mahalanobis beserta nilai cut-off sebagai berikut untuk α = 5%.

12 BAB IV Aplikasi Jarak Mahalanobis outlier Cut off Gambar 4.2 Pada gambar tampak bahwa data ke 100 berada cukup jauh di atas nilai cut-off. Seperti telah diutarakan di depan, jarak Mahalanobis dapat mengidentifikasi outlier secara efektif karena dalam matriks data A sebenarnya hanya terdapat 1 outlier.