BAB IV EKSPEKTASI MATEMATIK

BAB IV EKSPEKTASI MATEMATIK.1. Rata-rata variabel acak Bila dua koin dilemparkan sebanyak 16 kali dan X adalah jumlah depan (atas) yang muncul setiap kali pelemparan. Sehinga nilai X adalah 0,1, atau. Misalkan dari hasil percobaan menunjukkan bahwa tanpa depan, satu depan, dan duaduanya depan adalah masing-masing, 7 dan 5. Maka jumlah rata-rata depan yang muncul setiap satu lemparan dari koins tersebut adalah: ( 0)( ) + ( 1)( 7) + ( )( 5) 16 = 1.06 Perhitungan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: 7 5 ( 0 ) + () 1 + ( ) = 1. 06 nilai /16, 7/16, dan 5/16 disebut sebagai raksi atau rekuensi relati, sehingga kita bisa menghitung nilai rata-rata dengan nilai tertentu yang terjadi dan nilai rekuensinya. Nilai rata-rata (mean), μ, atau nilai yang diperkirakan (epected), E(X) dari percobaan diatas dapat ditulis sebagai: μ = E X 7 5 ( ) = ( 0 ) + () 1 + ( ) = 1. 06 DEFINISI: Bila X adalah suatu variabel acak dengan distribusi probabilitas (), rata-rata atau nilai yang diperkirakan (mean or epected) dari X adalah: μ = E( ) = ( ) Bila X diskrit ( ) = ( )d μ = E Bila X menerus IV - 1

Contoh: sebuah kotak berisi 7 alat (komponen), alat kondisinya baik, rusak. Bila sampel diambil, berapa nilai perkirakan (epected) sampel yang diambil tersebut adalah baik. Solusi: Bila X menunjukkan alat yang baik dalam sampel. Distribusi probabilitas dari X adalah: 7 ( ) =, untuk = 0,1,, dari hasil perhitungan diperoleh (0) = 1/5, (1)=1/5, ()=18/5, dan ()=/5. Oleh karena itu: μ = E X 5 1 5 18 5 5 ( ) = ( 0 ) + () 1 + ( ) + () = 1. 7 Contoh: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan umur (jam) dari suatu alat elektronik. Bila ungsi kepadatan probabilitasnya adalah: ( ) 0000,... > 100 = tentukan umur perkiraan alat elektronik tersebut. Solusi: 0000 μ = E 0000 ( ) = d = d = 00 100 100 TEOREMA: Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan distribusi probabilitas (), rata-rata atau nilai yang diperkirakan dari variabel acak g(x) adalah: ( X ) = E[ g( X )] g( ) ( ) μ g = Bila X diskrit IV -

g ( X ) = E[ g( X )] = g( ) ( )d μ Bila X menerus Contoh: Misalkan jumlah kendaraan X yang dicuci selama 1 jam (-5 sore) memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut: 5 6 7 8 9 P(X=) 1/1 1/1 ¼ ¼ 1/6 1/6 Bila g(x)=x -1 menunjukkan jumlah uang yang diperoleh dari hasil tsb (dolar). Tentukan perkiraan hasil yang diperoleh selama waktu tersebut. Solusi: E [ g( X )] = ( 1) ( ) = ( 7) + () 9 + ( 1) + ( 15) 6 ( 17) = 1.67$ 9 1 1 + 6 Contoh: Bila X adalah variabel acak dengan ungsi kepadatan sebagai berikut: ( ),... 1 < < = Tentukan perkiraan nilai (rata-rata) dari g(x)= X+ μ g ( X ) E[ g( X + ) ] = = 1 ( + ) d = 8 DEFINISI: Misalkan X dan Y adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan (,y). rata-rata atau nilai yang diperkirakan dari variabel acak g(x,y) adalah: ( X, Y ) = E[ g( X, Y )] = g(, y) ( y) μ Bila X dan Y diskrit g, y IV -

g ( X, Y ) = E[ g( X, Y )] = g(, y) (, y)ddy μ Bila X dan Y menerus Contoh: Tentukan Solusi: ( ) Y E untuk ungsi kepadatan: X ( 1+ y ),...0 < <,0 < y < 1 = E Y X = 1 0 0 y ( 1+ y ) 5/ 8 ddy =. Varians dan Covarians Rata-rata atau nilai yang diperkirakan dari suatu vaiabel acak sangat penting untuk menggambarkan bagaimana pusat distribusi probabilitas. Namun hal itu tidak cukup karena suatu bentuk distribusi bisa jadi rata-ratanya sama tapi memiliki sebaran yang berbeda, karena itu diperlukan ukuran variabilitas dari suatu variabel acak. Hal ini dinyakan dengan varian, Var(X). DEFINISI: Misalkan X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas () dan rata-rata μ. Varians dari X adalah: Var Var ( X ) = = E ( X μ) [ ] = ( μ) ( ) σ Bila X diskrit ( X ) = = E ( X μ) [ ] = ( μ) ( )d σ Bila X menerus σ = Var X = Deviasi standar dari X adalah ( ) Soal: Misalkan variael acak X menunjukkan jumlah mobil yang digunakan untuk urusan kantor pada suatu waktu tertentu. Distribusi probabilitas untuk perusahaan σ IV -

A adalah: 1 () 0. 0. 0. Sedangkan pada perusahaan B adalah: 0 1 () 0. 0.1 0. 0. 0. Tunjukkan bahwa variansi distribusi probabilitas perusaan B lebih besar dari A TEOREMA: Varians dari suatu variabel acak X adalah ( ) σ = E X μ Soal:Permintaan pekanan sebuah perusahaan minuman, dalam ribuan liter, adalah variabel acak X dengan dengan kepadatan probaibilitas sbb: ( ) ( ) 1...1 < < = tentukan rata-rata dan varians dari X. TEOREMA: Misalkan X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas (). Varians dari variabel acak g(x) adalah: {[ g X μ ] } = [ g( ) μ g( X )] ( ) σ g = E Bila X diskrit g ( X ) ( ) g( X ) ( X ) ( ) g( X ) {[ g X μ ] } = [ g( ) μ g( X )] ( )d σ = E Bila X menerus Contoh: Hitung varians dari g(x)=x +, X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas sbb: Solusi: 0 1 () ¼ 1/8 ½ 1/8 IV - 5

+ = 6 = 0 Rata-rata: μ X = E( X + ) = ( + ) ( ) Varians: σ E + = E {[( + ) μ ] } = E [( + ) 6] ( 1 + 9) = ( 1 + 9) ( ) = = 0 + { } = E{ [ + 6] } = DEFINISI: Misalkan X dan Y adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan (,y). Covarians dari X dan Y adalah [( X μ X )( Y μy )] = ( μ X )( y Y ) ( y) σ XY = E μ, Bila X dan Y diskrit y [( X μ X )( Y μy )] = ( μ X )( y Y ) ( y)ddy σ XY = E μ, menerus. Bila X dan Y Covarians merupakan suatu ukuran siat hubungan antara variabel. Bila nilai X tinggi, nilai Y juga tinggi serta bila nilai X - μ, Y - μ y juga tinggi; maka hasil kali (X - μ )(Y - μ y ) positi. Namun bila hasil kali negati, nilai nilai X tinggi nilai Y kecil. Nilai Covarians dapat juga dihitung dengan rumus berikut. TEOREMA: Covarians dari dua variabel acak X dan Y dengan rata-rata μ X dan μ Y σ = E XY μ adalah: XY ( ) X Y Tentukan covarians dari X dan Y Solusi: Pertama hitung ungsi kepadatan marjinal. IV - 6 μ Contoh: Fraksi X dari pelari laki-laki dan raksi Y dari pelari wanita yang bersaing pada pertandingan maraton dinyatakan dengan ungsi kepadatana gabungan berikut: (, y) 8y...0 1,0 y =

g ( )...0 1 = y( 1 y ) ( y) =...0 y 1 h Hitung rata-rata: 1 1 μ = E( X ) = d = / 5; μ = E( Y ) = y ( 1 y ) E 1 1 ( XY ) = 8 y ddy = 0 y 0 / 9 y dy = 8 /15; 0 Maka: σ E( XY ) XY = μμ y = 9 5 8 15 = 5 DEFINISI: Misalkan X dan Y adalah variabel acak dengan Covarians σ XY dan deviasi standar σ X dan σ Y. Koeisien korelasi X dan Y adalah σ XY ρ XY = σ σ X Y Koeesien korelasi memiliki nilai 1 ρ 1, mendekati 1 menunjukkan korelasi yang kuat antara X dan Y. y. Rata-rata dan Varians dari kombinasi linier variabel acak TEOREMA: bila a dan b adalah konstan, maka: ( ax + b) = ae( X ) b E + TEOREMA: Nilai yang diperkirakan (epected value) dari suatu penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih ungsi dari suatu variabel acak X adalah jumlah atau pengurangan nilai yang diperkirakan dari ungsi tersebut. [ g( X ) ± h( X )] = E[ g( X )] E[ h( X )] E ± IV - 7

TEOREMA: Nilai yang diperkirakan (epected value) dari suatu penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih ungsi dari suatu variabel acak X dan Y adalah jumlah atau pengurangan nilai yang diperkirakan dari ungsi tersebut. [ g( X, Y ) ± h( X, Y )] = E[ g( X, Y )] ± E[ h( X Y )] E, TEOREMA: Misalkan X dan Y adalah dua variabel acak bebas, maka ( XY ) E( X ) E( Y ) E = TEOREMA: bila a dan b adalah konstan, maka: σ ax + b = a σ ax = a σ TEOREMA: bila X dan Y adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan (,y), maka: ax + by X Y σ = a σ + b σ + abσ XY IV - 8