BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, yang menjadi perhatian seringkali bukan bagaimana suatu peristiwa itu terjadi, tetapi seberapa sering (banyaknya) peristiwa tersebut terjadi pada suatu interval waktu atau area tertentu. Misal banyaknya gempa yang terjadi selama interval waktu 30 menit, banyaknya rumah yang roboh akibat banjir, banyaknya pohon pinus dengan diameter tertentu yang tersebar di sebuah hutan, banyaknya spesies tertentu yang habis terbakar di sebuah hutan yang rawan kebakaran, dan lain sebagainya. Dalam proses stokastik, pengamatan di atas dapat dikategorikan sebagai proses menghitung. Ruang keadaan dan indeks parameter dari proses menghitung ini masing-masing adalah himpunan bulat non negatif dan himpunan bagian dari R d dengan d 1. Selanjutnya, masalah perhitungan ini umumnya dianalisis melalui proses stokastik Poisson. Meskipun demikian, dalam praktek juga seringkali ditemukan peristiwa yang terjadi secara bersamaan, seperti gempa bumi, dengan titik lokasi gempa yang saling berdekatan atau bertetangga. Sehingga, proses Poisson tidak sesuai lagi digunakan untuk menganalisis keadaan seperti ini. Alasan ini yang mendasari suatu kajian tentang proses titik, dimana didefinisikan sebagai koleksi acak dari titik-titik yang terletak pada suatu area tertentu (Schoenberg, 2000). Titik-titik dari proses bisa dinyatakan sebagai kejadian, waktu kejadian, lokasi kejadian maupun keduanya. 1
Secara analisis, membentuk proses titik dapat dilakukan melalui 4 pendekatan, yaitu melalui: 1) ukuran menghitung, 2) fungsi tangga, 3) barisan titik, dan 4) barisan interval. Pada tulisan ini, pendekatan ukuran menghitung akan menjadi topik menarik untuk dipelajari lebih dalam, karena ukuran menghitung merupakan pendekatan paling sistematis jika ruang dimensi proses diperluas (Daley dan Vere-Jones, 2003, h.8 dan h.41). Seiring perkembangan ilmu, aplikasi dari proses titik yang dibentuk melalui pendekatan ukuran menghitung dapat ditemukan dibeberapa bidang, yaitu 1) bidang Asuransi, khususnya pada pembuatan tabel kehidupan, dimana titik dari proses didefinisikan sebagai waktu individu meninggal, 2) bidang Fisika, untuk menghitung populasi partikel akibat benturan dua buah partikel utama (Griffiths, 1987), dimana titik dari proses didefinisikan sebagai partikel yang diidentifikasi berdasarkan kekuatan energi yang dimiliki, dan 3) bidang Demografi yang mempelajari perubahan populasi, dimana titik dari proses dapat didefinisikan sebagai kejadian kematian, kelahiran, migrasi dan emigrasi. Dari segi matematika, jika dikaitkan dengan masalah perhitungan, proses Poisson merupakan contoh trivial dari proses titik. Karenanya, proses Poisson didefinisikan sebagai proses titik sederhana 1, dimana banyaknya kejadian pada suatu himpunan mengikuti distribusi Poisson dan banyaknya kejadian pada himpunan yang saling lepas adalah saling bebas (Schoenberg, 2000). 1 Proses titik disebut sederhana (simple) jika semua titik dari proses berbeda, atau t i t j untuk i j (Schoenberg, 2000) 2
1.2 Tujuan Penulisan Beberapa referensi telah menjelaskan proses titik dengan baik, salah satunya buku teks dengan judul: An Introduction to the Theory of Point Processes, 2 nd edition yang ditulis oleh D.J Daley dan D. Vere-Jones (2003). Tetapi, studi lebih dalam pembentukan suatu proses titik belum banyak dijelaskan. Sehingga pada tulisan ini, akan dijelaskan bahwa ada 4 pendekatan untuk membentuk proses titik, yaitu ukuran menghitung, fungsi tangga, barisan titik, dan barisan interval. Berkaitan dengan ukuran menghitung, ada hal menarik untuk diamati, yang disebut dengan fungsi intensitas. Karenanya, pada tulisan ini akan dipelajari fungsi intensitas melalui 2 pendekatan, yaitu secara teoritis dan contoh konkrit. 1.3 Pembatasan Masalah Untuk dapat menjelaskan prosedur pembentukan proses titik secara lebih sederhana, maka pada tulisan ini, diambil proses yang didefinisikan di R dengan beberapa batasan di masing-masing pendekatannya. Pada pendekatan ukuran menghitung, penjelasannya dibatasi oleh: 1) hasil proses menghitung pada himpunan tertutup dan terbatas bernilai bulat nonnegatif dan hingga, 2) proses menghitung memiliki sifat kenaikan bebas, dan 3) contoh konkrit yang digunakan untuk menghubungkan pendekatan ukuran menghitung dengan pendekatan yang lain, berupa data kecelakaan 647 wanita yang bekerja di sebuah pabrik amunisi selama 5 minggu. Pendekatan kedua adalah fungsi tangga, dimana penjelasannya dibatasi oleh: 1) fungsinya tidak turun, 2) contoh konkrit yang digunakan untuk mendapatkan hubungan dengan pendekatan lainnya, berupa data waktu dari 3
sebuah tempat usaha fotokopi. Untuk pendekatan barisan titik, penjelasannya dibatasi oleh: 1) titiknya bernilai positif, 2) contoh konkrit yang digunakan untuk mengetahui hubungan antar pendekatan, berupa data waktu pengunjung warung internet (warnet) Cozy di kota Bandung. Pendekatan terakhir adalah barisan interval, dimana penjelasannya dibatasi oleh: 1) intervalnya bernilai positif, 2) contoh konkrit yang digunakan untuk mengetahui hubungan antar pendekatan, berupa data waktu antar kedatangan pengunjung. Sebagai ilustrasi dari fungsi intensitas, pendekatan teoritis yang dilakukan berupa analisis fungsi likelihood Poissson nonhomogen dengan menggunakan integral Riemann-Stieltjes dan analisis metode maksimum likelihood untuk mendapatkan taksiran fungsi intensitas kedatangan. Pada contoh konkrit, dilakukan studi numerik terhadap data pohon pinus berdaun panjang (longleaf pine) di hutan Wade Tract, Thomas County, Georgia. 1.4 Sistematika Penulisan Tulisan ini disajikan secara sistematis dalam 5 bab. Bab I menguraikan pendahuluan meliputi latar belakang, tujuan penulisan, pembatasan masalah, dan sistematika penulisan. Bab II menjelaskan teori dasar meliputi proses stokastik, proses menghitung, dan proses titik. Seiring dengan penjelasan proses menghitung, akan dijelaskan pula tentang konsep partisi himpunan melalui bentuk yang sebangun dan pengemasan bola (sphere packing). Berkaitan dengan proses titik, pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi dan klasifikasi proses titik. Selanjutnya, dijelaskan pula tentang prosedur pembentukan proses titik 4
melalui 4 pendekatan dan hubungan antar 4 pendekatan tersebut melalui beberapa contoh aplikasi yang sering ditemukan. Bab III menguraikan teori tentang integral Riemann-Stieltjes disertai aplikasi untuk bidang ilmu statistika. Selanjutnya, menggunakan integral Riemann-Stieltjes untuk menganalisis fungsi likelihood Poisson nonhomogen. Bab IV menguraikan secara matematika bagaimana memperoleh taksiran fungsi intensitas melalui metode maksimum likelihood dan melakukan studi numerik untuk memberikan gambaran bagaimana memperoleh fungsi intensitas dalam kasus nyatanya. Terakhir, kesimpulan dan saran untuk pengembangan lebih lanjut disajikan pada Bab V. 5