2 N i 1 x i N 2
Tipe Peubah Acak Diskret Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A Kontinu Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable) Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval Misalkan X = tinggi badan (cm)
Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1 Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.
Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut: a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap = {0, 1} Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Daerah fungsi Wilayah fungsi S1. S2. S3. S4. S5. S6. X(ei). 0. 1
Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang setimbang SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: p(x=0) = p(s1)+p(s3)+p(s5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(s2)+p(s4)+p(s6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 Sisi yang muncul Kejadian S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Peluang kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 x 0 1 P(X=x) 1/2 1/2 X 0 1 X 0 1 0 1 0 1
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang- ulang sampai tak berhingga kali. Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut: ( X ) n i 1 x p( x x i ), jika X p.a diskret
Sifat-sifat nilai harapan: Jika c konstanta maka E(c ) = c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X) Jika X dan Y peubah acak maka E(X Y) = E(X) E(Y)
Ragam Peubah Acak Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: V(X) = E(X-E(X)) E(X)) 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 Sifat-sifat dari ragam Jika c konstanta maka V(c ) = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c 2 V(X) Jika X dan Y peubah acak maka, V(X Y) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
Contoh: Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6 Nilai peubah Acak X X 0 1 2 3 4 5 P(X=x I ) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X p(x i i ) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6) 2 = 55/6-225/36 = 105/36
Beberapa sebaran peluang diskret Bernoulli Binomial Poisson Hipergeometrik
Sebaran Peluang Bernoulli Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai: P(x,p)=p x q (1-x), x=0,1 E(X) = p var(x)= p(1-p)
Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20% Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.
Contoh Di awal tahun ajaran baru, siswa SMP kelas III biasanya berharap bisa melanjutkan sekolah ke sekolah favorit, begitu juga dengan Anne. Dia berharap bisa masuk sekolah favorit yang diinginkannya, tapi untuk bisa masuk ke sekolah tersebut, ia harus mengikuti tes terlebih dahulu. Berdasarkan prestasinya selama 3 tahun di SMP, kemungkinan ia diterima sebesar 70%. Jika variabel acak X menyatakan Anne diterima, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:
Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p = 0,7. Dinotasikan: atau
Sebaran Peluang Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,.,n Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai: P(x,n,p)=C(n,x)p x q (n-x), x=0,1,2,,n dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)! E(X) =np var(x)=np(1-p)
Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas S S S x=3 3 3 P( X 3) p (1 3 G S S S S G x=2 S G S P( X 3 2) 2 p 2 (1 p) 3 2 p) 3 3 S G G G S G G G S x=1 P( X 1) 3 p 1 1 (1 p) 3 1 G G G x=0 3 0 3 0 P( X 0) p (1 p) 0 Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang 15 dan 13 buah diterima? Hitung probabilitas 10 buah diterima??? Jawab: P(p) = 0,9 dan P(q) = 1-0,9 = 0,1 P(15) = [15!/(15!(15-15)!] 0,9 15 0,1 0 = 0,206 P(13) = [15!/(13!(15-13)!] 0,9 13 0,1 2 = 0,267 Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan n=15; di mana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai 0,206 dan 0,267
Sebaran Peluang Poisson Terdiri dari hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di daerah tertentu Nilai-nilai peluangnya hanya bergantung pada μ. Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson dapat dituliskan sebagai: e -μ μ x p(x,μ) = x! untuk x = 1, 2,...
CONTOH DISTRIBUSI POISSON Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen? Jawab: n = 120 X=5 p=0,1 =n.p =120 x 0,1 = 12 P(X) = 2,71828-12 x 12 5 /5! = 0.014 Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai 0.014 20
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas. Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan. Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik: P ( r ) ( s C r x N ( C N s n C n r ) Dimana: P(r) : Probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N : Jumlah populasi S : Jumlah sukses dalam populasi r : Jumlah sukses yang menjadi perhatian n : Jumlah sampel dari populasi C : Simbol Kombinasi
CONTOH DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan deviden dan 20 di antaranya akan membagikan dividen di atas 100/lembar. Bapepam sebagai pengawas pasar saham akan melakukan pemeriksaan dengan mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10 perusahaan tersebut, 5 perusahaan akan membagikan saham di atas 100/lembarnya? Jawab: N = 33 S= 20 n=10 r=5 P(r) = [(20C5) x (33-20C10-5)]/ (33C10) = 0,216
MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL 1. Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function. 2. Anda pilih menu statistical pada function category 3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda tekan OK. 4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: BINOMDIST Number_s : (masukkan nilai X) Trials :.. (masukkan nilai n) Probability : (masukkan nilai p) Cumulative: (tulis kata False) Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)
CONTOH PT JATIM ABADI memiliki perkebunan buah melon di Magetan dan Madiun. Setiap bulannya dapat dihasilkan 20 ton buah melon dengan kualitas A. Buah melon tersebut di bawa dengan truk ke Jakarta. Probabilitas melon mengalami kerusakan selama perjalanan adalah 20%. Berapa probabilitas maksimal 4 ton dari jumlah melon tersebut rusak dan berapa peluang tepat 4 ton buah melon tersebut rusak? 25
26
27
Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih menu statistical pada function category Pilih menu HYPGEOMDIST pada function name, tekan OK Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut HYPGEOMDIST Sampel_s : (masukkan nilai r) Number_sampel :.. (masukkan nilai n) Population_s : (masukkan nilai S) Number_pop : (masukkan nilai N) Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=) 28
29
30
MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function Pilih menu statistical pada function category Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: POISSON X : (masukkan nilai x) Mean :.. (masukkan nilai ) Cumulative : (tulis FALSE) Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=) 31
32
33
f ( x,, 2 ) 1 e 2 1 x 2 2