PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE

PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 viskanoviantri@binus.ac.id, viskanoviantri@yahoo.com ABSTRACT This article discusses a study about Sturm-Liouville equation with Dirichlet boundary conditions. The equation is eigen value problem which can be solved by separation variable method. In addition, Sturm Liouville equation will be solved numerically by finite element method. Approximating functions selected in these numerical methods are sine function and hat function. In the end of paper is showed that the finite element method with sine functions as an approximating function gives an exact solution. Otherwise, errors will happen if we approximate the solution by hat function. Keywords: Sturm Liouville equation, eigenvalue problem, finite element ABSTRAK Paper ini membahas tentang persamaan Sturm Liouville dengan syarat batas Dirichlet. Persamaan tersebut merupakan masalah nilai eigen yang solusi eksaknya dapat dicari melalui metode separasi variabel. Selain secara analitik, persamaan Sturm Liouville akan diselesaikan secara numerik melalui metode elemen hingga. Fungsi basis yang dipilih untuk digunakan dalam metode numerik tersebut adalah fungsi sinus dan fungsi hat. Bagian akhir paper ini menunjukkan bahwa penggunaan fungsi sinus sebagai fungsi basis memberikan solusi numerik yang tepat sama dengan solusi eksaknya. Sedangkan penggunaan fungsi hat sebagai fungsi basis memberikan solusi yang berbeda dengan solusi eksaknya. Kata kunci: persamaan Sturm Liouville, masalah nilai eigen, elemen hingga Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 91

PENDAHULUAN Matematika merupakan bidang ilmu yang memegang peranan penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini juga didukung karena Matematika tidak terlepas dari bidang ilmu lain. Sebagai contoh, banyak sekali permasalahan dalam kehidupan nyata yang direpresentasikan secara fisis kedalam formula ilmu fisika. Namun pada akhirnya, formula fisika tersebut diselesaikan dengan metode matematika. Salah satu topik matematika yang sering digunakan untuk memodelkan permasalahan dalam kehidupan nyata adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan kadang kala persamaan itu melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Satu contoh nyata sederhana yang dapat direpresentasikan oleh persamaan diferensial adalah kecepatan dan percepatan kendaraan. Kecepatan merupakan diferensial dari jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, sedangkan percepatan adalah diferensial dari kecepatan yang juga merupakan diferensial kedua dari jarak yang ditempuh dalam suatu waktu. Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan Sturm-Liouville merupakan persamaan diferensial biasa berorde dua yang diperkenalkan oleh Jacques C.F Sturm (1803-1855) dan Joseph Liouville (1809-1882). Persamaan Sturm Liouville biasa diaplikasikan pada persamaan panas dan masalah dinamika fluida. Banyak penelitian mengenai masalah Sturm Liouville yang telah dilakukan sebelumnya, antara lain penerapan persamaan Sturm Liouville pada elekromagnetik melalui masalah nilai eigen dan fungsi Green (L. Sevgi, 2006). Solusi analitik persamaan Sturm Liouville dengan syarat batas kuadratik juga telah ada yang meneliti (Warren dan Patrick, 2004). Sedangkan secara numerik, Ugur Yucel (2007) telah mengaplikasikan Differential Quadrature Method untuk mengira nilai eigen dari persamaan Sturm Liouville. Berdasarkan penelitian terdahulu, pada makalah ini penulis tertarik untuk membahas solusi analitik dari persamaan Sturm Liouville dengan syarat batas Dirichlet. Ingat bahwa persamaan Strum- Liouville merupakan masalah nilai eigen (E Van Groesen and Andonowati, 2002) yang dapat diselesaikan melalui separasi variabel (C. A. J. Fletcher. 2006). Selain secara analitik, pada makalah ini juga akan diuraikan penyelesaian persamaan tersebut melalui metode elemen hingga. Metode elemen hingga merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk memecahkan masalah fisik yang sering dijumpai pada analisis teknik. Metode ini merupakan metode pendekatan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah fisik yang kompleks, yang mungkin tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode ini semakin hari semakin berkembang seiring dengan perkembangan teknologi komputer. Fungsi basis yang digunakan dalam metode elemen hingga untuk menyelesaikan persamaan Sturm Liouville dalam makalah ini adalah fungsi sinus dan fungsi hat. Perbandingan solusi analitik dan numerik dengan kedua fungsi basis tersebut akan dipaparkan pada bagian akhir makalah ini. METODE Metode yang digunakan dalam studi ini adalah metode deskriptif melalui studi literatur. Namun hal ini ditunjang dengan memberikan hasil kajian berupa solusi analitik dan numerik. Perbandingan antara solusi analitik dan numerik dapat memberikan penjelasan yang lebih spesifik mengenai hasil studi yang diperoleh. 92 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102

HASIL DAN PEMBAHASAN Solusi Analitik Persamaan Sturm-Liouville Persamaan Sturm-Liouville diberikan sebagai berikut, dimana 0 x π. Pada makalah ini, dipilih syarat batas Dirichlet yaitu dan p(x) = ρ(x) = 1, serta q(x) = 0. berikut Persamaan Strum-Liouville merupakan masalah nilai eigen yang dapat dituliskan sebagai dengan syarat Masalah nilai eigen yang diberikan pada persamaan (3) merupakan bentuk minimisasi dengan kendala yang dapat dituliskan sebagai berikut, dengan c suatu konstanta yang diketahui dan Perhatikan (3). Solusi eksak dapat diperoleh melalui metoda separasi variabel (C. A. J. Fletcher. 2006). Solusi (3) akan berbeda-beda bergantung pada nilai λ. Oleh karena itu, penyelesaian solusi (3) akan dibagi ke dalam beberapa kasus, yaitu: Kasus 1: λ = -s 2 Solusi umum (3) adalah dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (4), yaitu Perhatikan bahwa e πs e -πs 0, sehingga dari (9) diperoleh C 1 = 0. Dengan demikian, diperoleh C 1 = C 2 = 0 dan ini memberikan solusi trivial. Kasus 2: λ = 0 Solusi umum (3) adalah dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (4), yaitu Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 93

Dengan demikian, pada kasus ini juga diperoleh solusi trivial. Kasus 3: λ = s 2 Solusi umum (3) adalah dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta-konstanta yang dapat ditentukan dari syarat (4), yaitu Agar solusi tidak trivial, maka haruslah C 2 0, sehingga dipilih sin πs = 0. Dengan demikian diperoleh dan solusi untuk (3) adalah Solusi analitik (16) merupakan fungsi eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = n 2. Pada persamaan (16), konstanta Cn dapat diperoleh dari syarat kendala yang diberikan oleh (5). Metode Elemen Hingga pada Persamaan Sturm Liouville Metode elemen hingga adalah suatu metode numerik yang menyatakan solusinya sebagai kombinasi linier dari fungsi-fungsi basisnya. Untuk lebih jelasnya, hampiran solusi numerik dituliskan sebagai sehingga dengan k (x) merupakan suatu fungsi basis yang dipilih dan a k adalah koefisien yang tidak diketahui. Perhatikan bahwa fungsional dari persamaan Sturm Liouville (3) adalah Hampiran solusi numerik yang diberikan pada (17) dan (18) disubstitusikan ke dalam fungsional (19) sehingga diperoleh yang dapat dituliskan sebagai dimana a = [a 1, a 2,., a n ] T 0, dengan P dan Q adalah suatu matriks persegi yang berukuran n x n dan secara berturut-turut elemen dari kedua matriks tersebut adalah sebagai berikut 94 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102

Jadi, permasalahan yang dihadapi sekarang adalah mencari a yang meminimumkan persamaan (20). Vektor a tersebut dapat diperoleh melalui: sehingga diperoleh Selanjutnya, akan dicari matriks P dan Q dimana elemen-elemen matriks P dan Q ini sangat bergantung pada fungsi basis yang dipilih. Pada akhirnya, akan diperoleh vektor-vektor eigen a yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah nilai eigen (25) dengan dua jenis fungsi basis yang berbeda. Fungsi Sinus Sebagai Fungsi Basis Misalkan dipilih fungsi basis sebagai berikut sehingga Perhatikan bahwa jika i j, maka kemudian substitusikan (26), (27) dan (28) ke dalam (20) sehingga diperoleh sehingga yang dapat dituliskan sebagai berikut Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 95

Perhatikan bahwa dan maka sistem persamaan (31) memenuhi sistem persamaan (25) dengan P dan Q matriks diagonal berukuran n x n yang memenuhi Pada akhirnya, dengan menyelesaikan sistem persamaan (25) dengan P dan Q memenuhi (34), akan diperoleh vektor-vektor eigen a yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Selanjutnya akan dilihat nilai dan vektor eigen yang diperoleh jika kita mengambil suatu nilai n. Jika n = 1, diperoleh a = a 1 0 dan P = Q = π. Dengan demikian, nilai eigen yang memenuhi persamaan (25) adalah λ= -1 dan vektor eigen a = c, dengan c adalah suatu konstanta yang ditentukan dari syarat kendala (5). Dengan demikian diperoleh solusi hampiran numerik untuk masalah Sturm Liouville yaitu u(x) = c sin x. Jika n = 3, sehingga untuk kasus ini, persamaan (25) menjadi Terdapat tiga buah nilai eigen λ (masing-masing bersesuaian dengan vektor eigen a) yang memenuhi sistem persamaan (36), yaitu: 96 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102

Nilai eigen λ 1 = -1, bersesuaian dengan vektor eigen a = [a 1 a 2 a 3 ] T = [c 1 0 0] T. Untuk nilai eigen ini, diperoleh solusi hampiran numerik yang memenuhi (17) sebagai berikut: Nilai eigen λ 2 = -4, bersesuaian dengan vektor eigen a = [a 1 a 2 a 3 ] T = [0 c 2 0] T. Untuk nilai eigen ini, diperoleh solusi hampiran numerik yang memenuhi (17) sebagai berikut: Nilai eigen λ 3 = -9, bersesuaian dengan vektor eigen a = [a 1 a 2 a 3 ] T = [0 0 c 3 ] T. Untuk nilai eigen ini, diperoleh solusi hampiran numerik yang memenuhi (17) sebagai berikut: Berdasarkan kedua nilai n yang dipilih sebelumnya, kita dapat memperumum solusi hampiran numerik untuk persamaan Sturm Liouville jika n = m, dengan m suatu bilangan bulat. Jika n = m, matriks P dan Q merupakan matriks diagonal berukuran m x m. Elemen diagonal P adalah k 2 π dimana k = 1, 2,.m, dan elemen diagonal dari Q adalah π. Melalui cara yang serupa dengan uraian sebelumnya, diperoleh bahwa untuk n = m terdapat m buah nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor eigennya. Nilai eigen yang dimaksud adalah dan vektor eigen yang bersesuaian adalah Dengan demikian, solusi hampiran numerik yang memenuhi (17) adalah Pada persamaan (42), konstanta ck dapat diperoleh melalui syarat kendala. Perhatikan bahwa hampiran numerik (42) serupa dengan solusi analitik (16). Fungsi Hat Sebagai Fungsi Basis Misalkan kita pilih fungsi basis berupa fungsi hat yang didefinisikan sebagai berikut: sehingga Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 97

dimana k = 1, 2,., n dan h menyatakan panjang interval [x k-1, x k ]. Untuk melihat bentuk umum matriks P dan Q yang memenuhi (25), akan lebih mudah jika kita terlebih dahulu melihat kasus-kasus yang lebih kecil (memilih nilai n yang kecil). Untuk itu, berikut ini diuraikan beberapa bentuk matriks P dan Q untuk nilai n tertentu. Jika n = 1, persamaan (20) menjadi sehingga Perhatikan bahwa dalam kasus ini, h = π/2 sehingga dan Dengan demikian, matriks P dan Q yang memenuhi persamaan (25) berupa suatu konstanta yang secara berturut-turut dinyatakan oleh (47) dan (48). Nilai eigen yang memenuhi adalah yang bersesuaian dengan vektor eigen a = c, dengan c adalah suatu konstanta yang ditentukan dari syarat kendala (5). Dengan demikian diperoleh solusi hampiran numerik untuk masalah Sturm Liouville yaitu 98 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102

Jika n = 3, persamaan (20) menjadi sehingga yang dapat dituliskan sebagai berikut Perhatikan hasil-hasil perhitungan berikut: sedangkan komponen lainnya bernilai nol. Berdasarkan hasil perhitungan (54)-(57), matriks P dan Q yang memenuhi sistem persamaan (53) adalah sebagai berikut Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 99

Perhatikan (58), dapat dilihat jelas bahwa pemilihan fungsi basis sangat mempengaruhi bentuk matriks P dan Q. Pemilihan fungsi hat sebagai fungsi basis menghasilkan matriks P dan Q berupa matriks tridiagonal. Berdasarkan kedua nilai n yang dipilih di atas, kita dapat memperumum solusi hampiran numerik untuk persamaan Sturm Liouville jika n = m, dengan m suatu bilangan bulat. Jika n = m, maka matriks P dan Q merupakan matriks tridiagonal berukuran m x m, yaitu dengan π h =. n +1 Selanjutnya, masalah nilai eigen (25) dengan P dan Q memenuhi (59) dan (60) dapat dicari melalui program Matlab (hasil ditampilkan pada pembahasan selanjutnya). Perbandingan Hasil Analitik dan Numerik Persamaan Sturm Liouville Perhatikan bahwa solusi analitik (16) dan solusi numerik (42) masih mengandung konstanta. Konstanta ini dapat ditentukan melalui syarat kendala (5). Misalkan syarat kendala yang kita punyai adalah Substitusikan solusi analitik (16) dan solusi numerik (42) ke dalam syarat kendala (61) sehingga diperoleh solusi analitik dan numerik yang sama yaitu Dengan demikian, pemilihan fungsi sinus sebagai fungsi basis telah memberikan solusi numerik yang tepat sama dengan solusi analitiknya. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 1. Gambar 1. Solusi analitik dan numerik (fungsi sinus sebagai fungsi basis) persamaan Sturm Liouville untuk beberapa nilai n. 100 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102

Selanjutnya akan dilihat perbandingan antara solusi analitik dan numerik ketika fungsi basis yang dipilih berupa fungsi hat. Untuk n = 1, jika solusi numerik (50) disubstitusikan ke dalam syarat kendala (61), diperoleh solusi numerik sebagai berikut, Perhatikan Gambar 2 yang menampilkan perbandingan antara solusi analitik dan numerik persamaan Sturm Liouville untuk n = 1.Terlihat jelas bahwa pemilihan fungsi hat sebagai fungsi basis tidak memberikan hasil yang tepat sama dengan solusi analitiknya. Perbedaannya (error) dapat dilihat pada Gambar 3. Jadi, pemilihan fungsi sinus sebagai fungsi basis akan memberikan solusi numerik yang lebih menghampiri solusi eksaknya daripada pemilihan fungsi hat sebagai fungsi basis. Gambar 2. Solusi analitik dan numerik (fungsi hat sebagai fungsi basis) persamaan Sturm Liouville untuk n = 1. Gambar 3. Perbedaan (error) antara solusi analitik dan numerik (fungsi hat sebagai fungsi basis) persamaan Sturm Liouville untuk n = 1. Penerapan Metode... (Viska Noviantri) 101

PENUTUP Metode elemen hingga telah diterapkan pada persamaan Sturm Liouville dengan syarat batas Dirichlet. Hasil simulasi menunjukkan bahwa solusi numerik akan akurat jika fungsi basis yang dipilih dalam metode elemen hingga adalah fungsi sinus. Sedangkan jika fungsi hat digunakan sebagai fungsi basis, akan terdapat perbedaan (error) antara solusi numerik dengan solusi eksaknya. DAFTAR PUSTAKA Code, Warren J. & Browne, Patrick J. (2004). Sturm-Liouville Problems with Boundary Conditions Depending Quadratically on the eigenparameter. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Canada: University of Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan. Fletcher, C. A. J. (2006). Computational Techniques for Fluid Dynamics 1, Fundamental and General Techniques. Heidelberg: Springer-Verlag. Sevgi, L. (2006). Sturm-Liouville Equation: The Bridge between eigenvalue and Green's Function Problems. Turk J Elec Engin, 14 (2), Kadkoy, Istanbul-Turkey. Van Groesen, E. & Andonowati. (2002). Variational Methods in Science with Applications in Fluid Dynamics and Optics. Enschede, The Netherlands: University Of Twente. Yucel, Ugur. (2007). Approximate eigenvalues of Periodic Sturm-Liouville Problems Using Differential Quadrature Method. Applied Mathematical Sciences, 1(25), 1217 1229. 102 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 91-102