Pengukuran Deskriptif 3 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
2 Outline Pendahuluan Tendensi Sentral Ukuran Dispersi
3 Pendahuluan Pengukuran Deskriptif
4 Definisi Pengukuran Deskriptif Suatu pengukuran yang bertujuan untuk memberikan gambaran tentang data yang diperoleh.
5 Tendensi Sentral/ Ukuran Pemusatan Data Pengukuran Deskriptif
6 UKURAN PEMUSATAN DATA Suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu data dan dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data. Mean Median Modus Kuartil Desil Persentil
7 Rata rata Hitung ( Mean ) à Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari sekumpulan data Contoh : Tentukan nilai rata-rata dari data: 2,3,4,5,6 x = 2 + 3+ 4 5 + 5 + 6 = 4
a. Data tunggal / berbobot x = Contoh : f. x f Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel disamping. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah: Berat (kg) Frekuensi 5 6 7 8 6 8 12 4 f. x 30 48 84 32 Jumlah 30 194 x = = f 194 30 f.x = 6,47 8 Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg
Data Kelompok Cara I: x = Contoh : f. x à x = Nilai tengah f Tentukan mean nilai tes Statistik 20 orang siswa yang disajikan pada tabel disamping. Nilai Frekuensi x F. x 33 -- 44 55 -- 66 77 -- 88 99 -- 10 10 2 4 8 6 2 4 Jumlah 20 20 146 x = 146 20 = 7.3 8 6 3.5 5.5 7.5 9.5 Jadi rata-rata nilai = 7.3 7 22 60 57 9
Data Kelompok Cara II: x = x 0 + f.d f Nilai f f x x d f.d 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 44 10 10 17 17 14 14 55 57 57-10 62 62-5 67 67 0 72 72 5 77 7710-40 -50 0 70 50 Jumlah 50 50 30 10 x o = rata-rata sementara, d = x - x o x = nilai tengah Contoh : Jika rata-rata sementara pada tabel adalah 67, maka nilai rata-rata data tersebut adalah: x = 67 + = 67.6 30 50
11 Median àbilangan yang ditengah-tengah setelah bilanganbilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. a. Data tunggal Jika n ganjil Letak Me = data ke- Jika n genap Letak Me = ½ ( X n/2 + X n/2 + 1 )
12 Contoh : Nilai ujian Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7. Tentukan median dari data tersebut! Jawab : Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 jumlah data ( n ) = 12 ( genap ) Letak Me = data ke ½ ( X 6 + X 7 ) = ½ ( 6 + 7 ) = 6,5
13 Median b. Data berkelompok Median = Li + (n/2 (Σf)i / fmedian) x c Dengan: Li = tepi bawah dari kelas median n = banyaknya data (Σf)i = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median fmedian = frekuensi kelas median c = lebar interval kelas median
14 Contoh : Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Tentukan median dari data tersebut! Jawab : F kumulatif = 52 Median = Li + (n/2 (Σf)i / fmedian) x c = 1099,5 + (100/2 23/29) x 99 = 1191,7 Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100
15 Modus à bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak. a. Data tunggal / berbobot Contoh : Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan di bawah ini: a. 5,3,5,7,5 c. 2,5,6,3,7,9,8 b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7 d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7 Jawab : a. 5 b. 4 dan 7 c. tidak ada d. 2,3,4
16 Modus b. Data berkelompok Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c Dengan: Li = tepi bawah dari kelas modus Δ1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya Δ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = lebar interval kelas modus
17 Contoh : Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Tentukan modus dari data tersebut! Jawab : Kelas Modus Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c = 1099,5 + (10/10+1) x 99 = 1189,5 Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100
Kuartil (Quartile) 18 Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4 (empat) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok Q i = ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 2, 3 4 2. Data berkelompok Q i = in F L 4 0 + c, i = f 1, 2, 3 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil L 0 : tepi bawah kelas kuartil c : panjang interval kelas n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas kuartil
Desil 19 Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok 2. Data berkelompok D i = ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 10 2, 3,...,9 D i = in F L 10 0 + c, i = f 1, 2, 3,...,9 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i L 0 : tepi bawah kelas desil ke-i c : panjang interval kelas kelas desil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas desil ke-i
Persentil 20 Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100 (seratus) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok P i = 2. Data berkelompok ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 100 2, 3,...,99 P i = in F L 100 0 + c, i = f 1, 2, 3,...,99 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i L 0 : tepi bawah kelas persentil ke-i c : panjang interval kelas kelas persentil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas persentil ke-i
Tugas 2 Untuk contoh soal pengujian tegangan rusak pada suatu logam; Tentukan: a. Q1, Q2, Q3 b. D3, D7, dan D9 c. P25 dan P75 21 Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100
22 Ukuran Dispersi/ Ukuran Penyebaran Data Pengukuran Deskriptif
Pengertian Dispersi Ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya Dispersi serangkaian data akan lebih kecil bila nilai-nilai tersebut berkonsentrasi di sekitar rata-ratanya, dan sebaliknya Ukuran Dispersi RENTANG (Range) SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviation) SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation) VARIANSI (Variance) 23
Rentang/Range 24 Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh : A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10 X = 55 r = 100 10 = 90 Rata-rata
Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) merupakan nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya 25 a. Simpangan Rata-rata Data Tunggal DR = n Σ i=1 Xi X n Rata-rata Kelompok A Nilai X X - X X X 100 45 45 90 35 35 80 25 25 70 15 15 60 5 5 50-5 5 40-15 15 30-25 25 20-35 35 10-45 45 Jumlah 0 250 DR = 250 = 25 10 Kelompok B Nilai X X - X X X 100 45 45 100 45 45 100 45 45 90 35 35 80 25 25 30-25 25 20-35 35 10-45 45 10-45 45 10-45 45 Jumlah 0 390 DR = 390 = 39 10 Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata Rata-rata
b. Simpangan Rata-rata Data Berkelompok SR = Simpangan rata-rata f = frekuensi = titik tengah 26 = rata-rata Contoh Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5
Varians & Deviasi Standar 27 Varians Deviasi Standar penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya; melihat ketidaksamaan sekelompok data penyebaran berdasarkan akar dari varians; menunjukkan keragaman kelompok data
Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30) 28 Varians Sampel Kecil s 2 = n Σ (Xi X) 2 n-1 i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil s = n Σ (Xi X) 2 i=1 n-1 Kelompok A Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 70 15 225 60 5 25 50-5 25 40-15 225 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 Jumlah 8250 s = 8250 9 Kelompok B Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 100 45 2025 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 10-45 2025 10-45 2025 Jumlah 15850 = 30.28 s = 15850 9 = 41.97 Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A
Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n 30) 29 Varians Sampel Besar s 2 = n Σ (Xi X) 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Besar s = n Σ (Xi X) 2 i=1 n
Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok 30 Varians Sampel Kecil s 2 = n Σ f(xi X) 2 n-1 i=1 Varians Sampel Besar s 2 = n f(xi X) Σ 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil Deviasi Standar Sampel Besar s = n Σ f(xi X) 2 i=1 n-1 s = n Σ f(xi X) 2 i=1 n Dimana Xi = titik tengah setiap kelas
TUGAS 1 31 Pada sebuah kelas yang terdiri dari 40 mahasiswa diketahui nilai ujian mata kuliah Stastistik Industri adalah ditampilkan pada Tabel 1. 1. Buatlah tabel distribusi frekuensinya sesuai dengan tahapan yang ada (dengan k=9). 2. Sajikan dalam histogram dan polygon, serta ogive kurang dari dan lebih dari untuk tabel distribusi frekuensi tersebut. 3. Tentukan nilai mean, median, dan modus dari data yang telah dikelompokkan. 4. Tentukan nilai Q1, Q2, Q3, D3, dan P60 dari data yang telah dikelompokkan. Tabel 1 7 5 6 2 8 7 6 7 3 9 10 4 5 5 4 6 7 4 8 2 3 5 6 7 9 8 2 4 7 9 4 6 7 8 3 6 7 9 10 5 5. Tentukan variansi dan standar deviasi dari data yang telah dikelompokkan.