OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN Oleh : Hafidh Munawir
BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a 1 X 1 + a 2 X 2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X 1 + 0,60 X 2 II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X 1 + 18X 2-2X 1 2 - X 1.X 2 2X 2 2 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a 1 X1.a 2 X2 Y = 5. 0,8 X1. 0,4 X2
Lanjutan: 2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.x 1 a1.x 2 a2 Contoh: Y = 50.X 1 0,7.X 2 0,4 2.4. Fungsi Transedental : Y = ao.x 1 a1.x 2 a2.e b1x1.e b2x2 Y = 50.X 1 0,7.X 2 0,4. e 0,6X1.e. 0,5X2
BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA Fungsi Tak Berkendala Fungsi Berkendala
PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA Contoh : Fungsi Keuntungan : f ( Q, Q 1 2 ) π = Keuntungan Q1 = Output Q1 Q2 = Output Q2
2 18 2. 2 1 2 1 1 2 12Q Q Q Q Q Q 2 2 Dari fungsi ini : Variabel Q 1 dan Q 2 independen (tidak saling tergantung) Besaran Q 1 dan Q 2 tidak ada pembatas Titik optimum fungsi adalah titik Optimum Bebas
Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π = 0 0...(1) 4 12 0 Q 2 1 Q Q 0...(2) 4 18 0 0...(1) 4 12 0 Q 2 1 2 2 1 1 Q Q Q Q Q
Substitusi (1) & (2), didapat : Q Q 1 2 * * 2 4 * f ( Q *, Q *) 1 2 Q1 *, Q2*, * OptimumBebas
PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Fungsi Berkendala: f ( Q, Q 1 2 ) Fungsi Tujuan Q1 + Q2 = 950 Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan;
Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum...?
Lanjutan: Keuntungan Maksimum tersebut disebut Titik Optimum Terkendala atau Maksimum Terkendala Salah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)
Persamaan lagrange Persamaan dengan kendala U = f (x, y) Fungsi Tujuan ax + by = c...pers.kendala. Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange Persamaan Lagrange: Z = f(x,y) + λ (c ax by)
Langkah2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx = 0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ0 ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle point a. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum b. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimum c. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)
Contoh Soal : Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6x 2 + 3y 2 Dengan Kendala: x + y = 18 Tentukan : a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.
Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6x 2 + 3y 2 + λ ( 18 x y) Turunan Pertama = 0 dc/ dx = Zx = 12x λ = 0.(1) dc/ dy = Zy = 6y - λ = 0 (2) dc/ d λ = Zλ = 18 x y = 0... (3)
MENENTUKAN TITIK KRITIS Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4): (1) Zx=0=12x-λ (2) Zy=0=6y-λ Jadi : 12x-6y=0...(4) (3) 18 - x -y = 0 x 6 108 6x 6y = 0 (4) 12x-6y = 0 x 1 12x 6y = 0 Jadi : 108-18x = 0 x = 6 ; y = 12, λ = 72 f(x,y) = 6x 2 + 3y 2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648 Titik kritis (6,12,648)
Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 0*0 = 72 Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)
Lanjutan: Fungsi Utilitas Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q 1. Q 2 + 2 Q 1 Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P 1.Q 1 + P 2.Q 2 = M...4Q 1 + 2Q 2 = 60. Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas...?
Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): P. Q1 PQ2. Q2 M 4Q1 2Q2 Q1 60 Q2 Q2* BL: Pers.Kendala (garis Anggaran) I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu) 0 Q1* Q1
Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 4Q1-2Q2). Turunan Petama Fungsi = 0. du/dq1 = f1 = Q2 + 2 4 λ = 0 (1) du/dq2 = f2 = Q1-2 λ = 0....(2) du/d λ = f λ = 60 4Q1 2Q2 = 0.(3)
Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1)...dU/dQ1 = Q2 + 2 4 λ = 0...( x1) (2)...dU/dQ2 = Q1-2 λ = 0...(x2) Jadi : (1)...Q2 + 2 4 λ = 0 (2)...2Q 1-4 λ = 0. jadi: Q 2 + 2 2Q1 = 0 Q 2 = 2Q 1 2 (a) Subtitusikan (1) ke (2):
Substitusikan (a) ke Persamaan kendala: Substitusikan (a) ke persamaan (3): du/d λ = 60 4Q1 2Q2 = 0.(3) Jadi: 60 4Q 1 2 (2Q1 2) = 0 60 8Q 1 + 4 = 0 Q 1 * = 8. (3)...60 4(8) 2Q 2 = 0 28 2Q 2 = 0..Q 2 * = 14.
II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P1.X1 + P2.X2 Fungsi Tujuan (Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost) Dengan Kendala Quota Produksi: Q0 = f ( X1, X2 ) Pers.Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)
Fungsi Lagrange: C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo f (X1,X2)] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: dc/dx1 = f1 = 0..(1) dc/dx2 = f2 = 0..(2) dc/d λ = f f3 = 0.(3)
SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA 1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q1 2 +5Q 22-6Q 2 ; dan persamaan kendala: Q 1 + 2Q 2 = 18; Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan 2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6Q 12 + 3Q 22 ; dengan kendala : Q 1 + Q 2 =18; Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q 12 +2Q 22 -Q 1.Q 2 ; dengan kendala: Q 1 +Q 2 =8. Tentukan: Lanjutan: soal latihan a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
4. Optimum produksi kendala Cost: Lanjutan: Soal latihan Diketahui TP=-5X 1 2 +10X 1.X 2-7X 22 +40X 1 ; kendala X 1 +X 2 =1. Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan 5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X 12 +5X 1.X 2-4X 22, dengan kendala: 2X 1 +3X 2 =74. Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab 6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab 7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 Q2 2 ; dan Kendala: 2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan : a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan 8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 2Q1 2 Q2 2. dengan kendala: Q1+Q2 = 9. Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan 9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 Q1 2 Q2 2. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26. Tentukan: a.jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab 10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = Q1 2 +2Q2 2 + 5Q1.Q2. Dengan kendala:5q1 + 10Q2 = 90. Tentukan: a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Tentukan U optimum; c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
Lanjutan: soal latihan 11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4Q 1 Q 2 Q 12 3Q 2 2 Fungsi Anggaran : 2Q 1 + 3Q 2 = 45 Tentukan: a. Q 1 dan Q 2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.