BAB IV SIMULASI MONTE CARLO Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. 4.1 Sejarah Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician, 45
Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation dan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang. Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasi nuclear fission. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik. Aplikasi metode Monte Carlo Grafis, terutama untuk ray tracing Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML). Metode Monte Carlo dalam bidang finansial Simulasi prediksi struktur protein. 46
Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus. Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL 4.2 Gambaran Umum Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak (random numbers) dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik. Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka (very rare events). Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan (misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear) tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut (Wong 2001). Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini. 47
Lima tahapan yang terdapat dalam simulasi Monte Carlo diantaranya: 1. membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting, 2. membangun distribusi kumulatif untuk tiap-tiap variabel di tahap pertama, 3. menentukan interval angka random, 4. membuat angka random, 5. membuat simulasi dari rangkaian percobaan. Sedangkan tiga batasan dasar simulasi Monte Carlo adalah: 1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas, maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini 2. Apabila sebagaian persoalan tersebut dapat diselesaikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah. Sebagian secara analitis dan sebagian lagi simulasi 3. Apabila mungkin dapat digunakan simulasi perbandingan 4.3 Ilustrasi Penggunaan Simulasi Sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut pola distribusi sebagai berikut : Tabel 1 Distribusi permintaan sepatu per hari Permintaan/hari Frekuensi Permintaan 3 pasang 5 4 pasang 10 5 pasang 15 6 pasang 30 7 pasang 25 8 pasang 15 Jumlah 100 48
Dari data masa lalu yang sudah diperoleh tersebut. Pengusaha toko ini hendak memperkirakan pola permintaan untuk 10 hari bulan berikutnya. Berapa kira-kira permintaan yang muncul? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas dapat diikuti prosedur atau langkah-langkah berikut ini; 2. Terlebih dahulu dibuat distribusi data empirisnya, yaitu : fungsi distribusi densitas, seperti pada Tabel 1. 3. Distribusi permintaan ini diubah dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif (selanjutnya disebut FDK). Tabel 2 Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif Permintaan/hari Distribusi Densitas FDK 3 pasang 0.05 0.05 4 pasang 0.1 0.15 5 pasang 0.15 0.3 6 pasang 0.3 0.6 7 pasang 0.25 0.85 8 pasang 0.15 1 Jumlah 1 4. Setiap permintaan tersebut, diberi angka penunjuk batasan (Tag Number/Pelabelan bilangan), disusun berdasarkan FDK distribusi permintaan Tabel 3 Tag number yang disusun berdasarkan FDK Permintaan/hari Distribusi FDK Tag Number Densitas 3 pasang 0.05 0.05 0.00 0.05 4 pasang 0.1 0.15 0.06 0.15 5 pasang 0.15 0.3 0.15 0.30 6 pasang 0.3 0.6 0.31 0.60 7 pasang 0.25 0.85 0.60 0.85 8 pasang 0.15 1 0.86 1.00 49
5. Lakukan penarikan bilangan acak, dengan salah satu bentuk pembangkit bilangan-bilangan acak, misal diperoleh 10 bilangan acak sbb : 1. 0.5751 2. 0.1270 3. 0.7039 4. 0.3853 5. 0.9166 6. 0.2888 7. 0.9518 8. 0.7348 9. 0.1347 10. 0.9014 Dari bilangan-bilangan acak ini diambil dua angka dibelakang koma dan dicocokkan dengan tag number. Hasilnya adalah kesimpulan permintaan yang dibutuhkan. Berikut ini adalah tabel dari hasil kesimpulan permasalahan di atas Tabel 4 Hasil kesimpulan permintaan Hari Permintaan Jumlah Pasangan 1 6 pasang 2 4 pasang 3 7 pasang 4 6 pasang 5 8 pasang 6 5 pasang 7 8 pasang 8 7 pasang 9 4 pasang 10 8 pasang Dari langkah-langkah yang telah dilakukan di atas untuk menyelesaikan permasalahan maka seorang pengusaha toko sepatu dapat memperkirakan berapa banyak persediaan sepatu yang minimal harus dimiliki toko sepatunya. Dari Tabel 4 permintaan akan banyaknya sepatu untuk 10 minggu ke depan dapat diperkirakan. 50