15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya adalah pasangan-pasangan tak berurut dari vertex V dan disebut dengan edge. Gambaran umum mengenai graf diartikan sebagai diagram, dimana vertex disajikan berupa titik dan dinotasikan dengan v i ; i = 1,2,3,,m dan edge disajikan berupa garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua buah vertex (v i,,v j ) dan dapat dinotasikan dengan e k ; k = 1,2,3,,n. Definisi 2.1 menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus minimal ada satu. Sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.1 yaitu : 1 1 1 e 1 e2 e 3 e 4 e 1 e2 e 3 e 4 2 3 2 3 e e 6 5 e 7 2 e 8 e 3 e 6 5 e 7 4 4 4 G 1 G 2 G 3 Gambar 2.1 Graf G 1 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }
16 G 2 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } G 3 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) } = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } Definisi 2.1.2 Loop dan Edge Paralel Sebuah edge yang menghubungkan pasangan vertex yang sama yakni (v i,v i ) disebut loop dan dua buah atau lebih edge yang mempunyai vertex -vertex ujung yang sama disebut edge-edge yang paralel atau multiple edge. Pada gambar 2.1 dapat dilihat, gambar G 1 tidak memiliki loop maupun edge pararel, sedangkan pada gambar G 2 tidak memiliki loop tetapi memiliki edge paralel yaitu e 3, e 4 dan e 1,e 6. Dan pada gambar G 3 memiliki loop yaitu e 8 dan edge pararel yaitu e 3, e 4 dan e 1, e 6. Defenisi 2.1.3 Graf Sederhana (Simple Graf) Simple graf adalah graf yang tidak memuat loop dan edge-edge yang pararel. V 4 e 3 V 3 e 4 e 2 V 1 e 1 V 2 Gambar 2.2 Simple Graf
17 Definisi 2.1.4 Ketetanggaan (Adjacent) Dua buah simpul pada graf dikatakan bertetangga bila kedua simpul tersebut terhubung langsung. Atau dapat kita sebut, v j bertetangga dengan v k pada graf G jika (v j,v k ) adalah sisi pada sebuah graf G. Definisi 2.1.5 Bersisian (Incident) Untuk sembarang sisi e = ( v j, v k ) dikatakan e bersisian dengan simpul v j, atau e bersisian dengan simpul v k. Definisi 2.1.6 Simpul Terpencil (Isolated Vertex ) Simpul yang tidak memiliki sisi yang bersisian dengannya atau tidak bertetangga dengan simpul lainnya disebut dengan simpul terpencil. Definisi 2.1.7 Graf Kosong (Null Graf) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (N n ) disebut graf kosong, dimana n adalah jumlah simpul. 1 2 3 4 Gambar 2.3 Graf Kosong Defenisi 2.1.8 Derajat (Degree) Derajat dari sebuah vertex v i dalam graf G adalah jumlah edge yang bersisian dengan vi, dengan loop dihitung dua kali. Bila jumlah edge yang bersisian dengan jumlah vertex v i adalah n maka degree dari v i adalah n sehingga d(v i ) = n.
18 v 1 e 1 v 2 e 4 e 2 v 3 e 6 e 7 e 3 v 4 e 5 v 5 e 8 v 6 v 7 Gambar 2.4 Graf (7,8) Dari gambar 2.3 tersebut, V = { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 } dan E = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2, 3 dan 4 tetapi tidak bertetangga dengan simpul 5 dan 6. Simpul 5 bertetangga dengan simpul 2 dan 4 tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1, 3, 4 dan 6. Sisi (1,2) bersisian dengan simpul 1 dan simpul 2. Sisi (1,4) bersisian dengan simpul 1 dan simpul 4. Tetapi sisi (3,4) tidak bersisian dengan simpul 1, 2, 5, 6 dan 7. Simpul terpencil adalah simpul 7. Derajat, d(1) = d(2) = d(4) = 3 d(3) = d(5) = 2 d(6) = 1 dan d(7) = 0 2.2 Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:
19 1. Graf sederhana (Simple Graf) Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. 2. Graf tak-sederhana (Unsimple-Graf) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graf). Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis: 1. Graf berhingga (Limited Graf) Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya n berhingga. 2. Graf tak-berhingga (Unlimited Graf) Graf yang jumlah simpulnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak berhingga. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis: 1. Graf tak-berarah (Undirected Graf) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. 2. Graf berarah (Directed Graf atau Digraf) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. 1 1 2 3 2 3 4 4 Gambar 2.5 Graf Berarah dan Graf-Ganda Berarah
20 Ada juga graf sederhana khusus yang terdiri dari: a. Graf lengkap (Complete Graf) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n 1)/2. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K6 Gambar 2.6 Graf Lengkap b. Graf lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C n. Gambar 2.7 Graf Lingkaran
21 c. Graf teratur (Regular Graf) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2. Gambar 2.8 Graf Teratur d. Graf bipartisi (Bipartite Graf) Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 disebut graf bipartite dan dinyatakan sebagai G(V 1, V 2 ). V 1 V 2 Gambar 2.9 Graf Bipartite e. Graf bipartisi Lengkap ( Complete Bipartite Graf ) Graf bipartisi yang tiap vertex pada V 1 dihubungkan ke setiap vertex dari V 2, maka graf yang demikian disebut graf bipartisi lengkap dan dinotasikan dengan K m,n ; dimana m dan n adalah jumlah vertex pada V 1 dan V 2.
22 Gambar 2.10 Graf Bipartisi Lengkap 2.3 Terminologi Dasar Definisi 2.3.1 Walk Suatu walk dalam graf G adalah suatu barisan berhingga dari vertex dan edge secara bergantian yang dimulai dan diakhiri dengan vertex sehingga setiap edge yang bersisian dengan vertex sebelum dan sesudahnya, dimana sebuah edge hanya dilalui satu kali. Di dalam suatu walk pada sebuah graf dapat terjadi bahwa satu vertex dilalui lebih dari satu kali. Pada umumnya penulisan barisan walk biasanya mengikutsertakan edgenya, tetapi boleh juga tidak. Apabila vertex awal dan akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk yang demikian disebut dengan closed walk (walk tertutup). Sedangkan bila vertex awal dan vertex akhir dari suatu walk berbeda, maka walk yang demikian disebut open walk (walk terbuka).
23 Sebagai contoh diberikan pada gambar berikut : v 1 e 1 e 2 v 2 e 3 e 9 v 3 e 5 e 6 e 4 v 5 e 8 e 7 v 6 Gambar 2.11 Graf Pada gambar tersebut dapat diambil beberapa walk diantaranya sebagai berikut : v 1 e 1 v 2 e 4 v 6 e 7 v 5 e 6 v 3 e 2 e 1 v 1 e 2 v 3 e 6 v 5 e 7 v 6 (closed walk) (open walk) Walk di atas boleh juga ditulis dengan cara sebagai berikut : v 1 v 2 v 6 v 5 v 3 v 1 v 1 v 3 v 5 v 6 (closed walk) (open walk) Definisi 2.3.2 Trail Walk yang semua sisi di dalam setiap barisan harus berbeda disebut trail. Trail tertutup adalah suatu trail dengan simpul awal dan simpul akhir yang sama. Dari gambar 2.11, salah satu contoh yang merupakan trail adalah : v 1 e 2 v 3 e 6 v 5 e 7 v 6 e 4 v 2 e 1 v 1
24 Defenisi 2.3.3 Lintasan (Path) Path dari suatu graf G adalah suatu walk yang keseluruhan vertex nya berbeda kecuali vertex awal dan vertex akhir yang boleh sama. Bila dalam suatu path di mana vertex awal dan akhir sama maka path yang demikian disebut closed path (path tertutup), sedangkan bila vertex awal dan akhir tidak sama maka disebut open path (path terbuka). Sebagai contoh lihat gambar 2.11 v 1 v 3 v 5 v 3 v 2 v 6 v 5 v 3 v 6 v 2 v 1 v 5 (open path) (closed path) Defenisi 2.3.4 Sirkuit (Cycle) Cycle dari suatu graf G adalah suatu closed path (path tertutup). Atau dengan kata lain cycle merupakan lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Dari gambar di atas, yang merupakan cycle diantaranya : v 1 v 2 v 5 v 6 v 3 v 1 Definisi 2.3.5 Connected Graf dan Disconnected Graf Suatu graf G dikatakan connected graf jika untuk setiap pasangan vertex di dalam G terdapat paling sedikit satu path. Sebaliknya jika dalam suatu graf G ada pasangan vertex yang tidak mempunyai path penghubung maka graf yang demikian dinamakan disconected graf.
25 Defenisi 2.3.6 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel Graf berbobot graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot sedangkan graf berlabel adalah graf yang tidak memiliki bobot. a 10 12 a e 8 b e b 15 9 11 Defeinisi 2.3.7 Distance d Gambar 2.12 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel Distance antara dua vertex v i dan v j dituliskan d( v 1, v 2 ) diartikan sebagai panjang terpendek antara v i dan v j. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar 2.12 yaitu jarak dari a ke b atau d (a,b) adalah 12. 14 c d c 2.4 Lintasan Dan Hamilton Cycle Lintasan Hamilton adalah lintasan yang melalui tiap vertex di dalam graf G tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali lagi ke vertex awal dan membentuk lintasan tertutup (cycle), maka lintasan tertutup itu dinamakan Hamilton Cycle. Jadi, Hamilton Cycle adalah cycle yang melalui tiap vertex di dalam graf G tepat satu kali, kecuali vertex awal dan vertex akhir dan graf yang memiliki Hamilton Cycle dinamakan Hamilton Graf. Istilah Hamilton Cycle pertama kali muncul pada tahun 1987 sejak Sir William Hamilton membuat suatu permainan teka-teki mengenai sebuah dodecahedron (yaitu sebuah benda padat yang terdiri dari 12 buah sisi yang berbentuk segilima dan terdapat 20 titik sudut), dan tiap titik sudut diberi nama sebuah kota. Adapun tekatekinya adalah bagaimana menentukan sebuah bangunan yang berbentuk cycle sepanjang edge-edge dari dodecahedron tersebut yang melalui setiap kota tepat hanya satu kali.
26 Gambar 2.13 Graf Hamilton Teorema 2.4.1 Di dalam sebuah graf lengkap G dengan sekurang-kurangnya 3 buah vertex, selalu terdapat suatu hamilton cycle. Bukti : Misalkan di dalam suatu graf lengkap terdapat sebuah lintasan dengan p-1 edge yang bertemu dengan barisan vertex-vertex (v 1,v 2,,v p ). Misalkan v x sebuah vertex yang tidak ada dalam lintasan ini. Jika edge (v x,v 1 ) di dalam graf ini, maka edge ini dapat digandengkan pada lintasan tadi sehingga vertex v x sekarang ada di dalam lintasan gandengannya. Akan tetapi jika tidak ada edge (v x,v 1 ), maka di dalam lintasan gandengannnya ini pasti terdapat edge (v 1,v x ). Misalkan edge (v x,v 2 ) juga ada di dalam graf ini, dengan demikian edge (v 1,v 2 ) di dalam lintasan asal dapat diganti
27 dengan kedua edge (v 1,v x ) dan (v x,v 2 ) sehingga vertex v x ada dalam lintasan gandengannnya. Akan tetapi jika edge (v x,v 2 ) tidak ada, maka pasti edge (v 2,v x ) ada didalam graf dan cara diatas diulangi lagi. Pada akhirnya jika ternyata tidak mungkin memasukkan vertex v x ke dalam lintasan gandengan dengan cara mengganti edge (v x,v k+1 ) di dalam lintasan asalnya dengan kedua edge (v k,v x ) dan (v k,v k+1 ), dengan 1 k p-1, maka dapat disimpulkan pastiada edge (v p,v x ) di dalam graf ini. Oleh karenanya,edge (v p,v x ) dapat digandengkan pada lintasan asalnya agar v x berada di dalam lintasan gandengannya. Langkah-langkah diulangi terus sampai semua vertex yang ada di dalam graf ini tercakup di dalam lintasan. 2.5 Travelling Salesman Problem Travelling Salesmen Problem (TSP) merupakan masalah klasik yang mencoba mencari rute atau jarak terpendek yang dilalui salesmen yang ingin mengunjungi beberapa tempat tanpa harus mendatangi tempat yang sama lebih dari satu kali untuk mengoptimalkan waktu dan ongkos yang diperlukan. Masalah Travelling Salesman Problem (TSP) dapat direpresentasikan ke dalam suatu terminologi graf, yakni sebuah graf G= (V,E) dengan vertex mewakili kota-kota yang akan diunjungi dan edge mewakili jalan-jalan yang menghubungkan dua kota. Panjang edge (x,y) yakni d(x,y) merupakan jarak, waktu atau biaya dari perjalanan sepanjang edge (x,y). Hamilton cycle sering dikenal sebagai masalah Travelling Salesman Problem (TSP) pada graf yang dapat diformulasikan pada directed graf maupun undirected graf yang mana pada undirected graf umumnya disebut sebagai masalah perjalanan Travelling Salesman Problem (TSP) yang simetris yakni panjang perjalananan dari vertex x ke vertex y maupun dari vertex y ke vertex x mempunyai bobot yang sama. Sedangkan masalah pada directed graf pada umumnya disebut sebagai masalah perjalanan. Travelling Salesman Problem (TSP) yang tidak simetris, yakni bobot dari perjalanan dari vertex x ke vertex y berbeda dengan bobot perjalanan dari vertex y ke vertex x.