TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: menghitung determinan matriks menggunakan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor
Contoh Simpulan Latihan Pendahuluan Selain digunakan untuk menghitung invers suatu matriks, determinan memiliki aplikasi penting dalam teori sistem linear
Contoh Simpulan Latihan Definisi dan Notasi Determinan Orde, 2 dan 3 Determinan Orde Tinggi Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS Teorema dan Sifat-sifat EKSPANSI KOFAKTOR Aplikasi
Contoh Simpulan Latihan Definisi dan Notasi Matriks bujursangkar Notasi: det(a) atau A atau a a 2 a a 2 22 a a n 2n a n a n2 a nn
Contoh Simpulan Latihan Determinan orde, 2 dan 3 () Orde -: det(a) = det[a ]=a Orde -2: a a 2 det(a) = det = a a 22 a 2 a 2 a 2 a 22 a a 2 a 3 Orde -3: det(a) = det a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32
Contoh Simpulan Latihan Determinan orde, 2 dan 3 (2) Determinan matriks sama dengan hasilkali elemen yang terletak pada panah positif dikurangi hasilkali elemen yang terletak pada panah negatif Orde -2: - a a 2 a 2 a 22 + Orde -3: a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 23 - a 3 a 32 a 33 a 32 a 33 - - + + +
Contoh Simpulan Latihan Determinan Orde Tinggi Reduksi baris Ekspansi kofaktor
Contoh Simpulan Latihan Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS () Prosedur determinan melalui reduksi baris Gunakan operasi baris elementer Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga Hitung determinan Penghitungan menggunakan komputer sistematis mudah diprogram
Contoh Simpulan Latihan Efek operasi baris elementer (2) Perkalian baris dengan k ka ka 2 k a 3 a 2 a 22 a 23 = k a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 det(b) = k det(a) Pertukaran baris a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 det(b) = det(a)
Contoh Simpulan Latihan Efek operasi baris elementer (3) Penambahan baris pada baris lain ka 2 + a ka 22 + a 2 ka 23 + a 3 a 2 a 22 a 23 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 det(b) = det(a) Contoh
Contoh Simpulan Latihan Teorema: () A matriks bujursangkar det(a)=det(a T ) Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(a)= A matriks segitiga: lower triangular upper triangular diagonal det(a) = a a 22 a nn
Contoh Simpulan Latihan Sifat-sifat: (2) A dan B matriks bujursangkar dengan ukuran sama det(ab) = det(a)det(b) Jika A memiliki invers det(a - ) = /det(a) Contoh 2
Contoh Simpulan Latihan EKSPANSI KOFAKTOR: notasi () Matriks bujursangkar A Minor entri a ij : determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A Notasi: M ij Kofaktor entri a ij C ij =(-) i+j M ij C ij = ± M ij + + + + + + + +
Contoh Simpulan Latihan EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (2) Matriks bujursangkar A 3x3 A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det(a) = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 = a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 2 (a 3 a 32 a 2 a 33 ) + a 3 (a 2 a 23 a 3 a 22 ) det(a) = a C + a 2 C 2 + a 3 C 3
Contoh Simpulan Latihan EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (3) Determinan dari matriks A dapat dihitung melalui ekspansi kofaktor pada baris atau kolom det(a) = a i C i + a i2 C i2 + + a in C in det(a) = a j C j + a 2j C 2j + + a nj C nj Contoh 3
Aplikasi Contoh Simpulan Latihan Sistem linear m persaman n variabel A x = λ x eigenvector skalar (eigenvalue) Sistem memiliki solusi jika det(λi-a) = Contoh 4
Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4
Teori CONTOH Contoh Dapatkan determinan dari matriks elementer berikut: 3 = 3 = 5 Baris kedua dari I 4 dikalikan 3 Baris pertama ditukar dengan baris ketiga = 5 kali baris ketiga ditambahkan pada baris pertama Simpulan Latihan
Teori CONTOH Contoh 2 Simpulan Latihan Dapatkan determinan matriks berikut menggunakan operasi baris: A = 3 2 6 6 5 9 Jawab
Teori CONTOH Contoh 2 Simpulan Latihan Tukarkan baris pertama dengan baris kedua: det(a) = 5 3 6 9 3 6 9 = 5 2 6 2 6 Keluarkan faktor bersama (3) 2 3 dari baris : = 3 5 2 6 2 3 Tambahkan 2 kali baris pertama pada baris ketiga: = 3 5 5
Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh 2 Tambahkan baris kedua pada baris ketiga: det(a) 2 3 = 3 5 55 Keluarkan faktor bersama ( 55) 2 3 dari baris ketiga: = 3( 55) 5 det(a) = 3( 55)() = 65
Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh 3 Dapatkan determinan matriks A melalui ekspansi kofaktor: Ekspansi kofaktor: kolom ke-3 2 4 C 3 = +M 3 = = 2 5 4 A = 3 2 5 4 4 3 2 C 23 = M 23 = C 33 = +M 33 = 3 5 4 3 2 4 = 7 = det(a)= a 3 C 3 + a 23 C 23 + a 33 C 33 = (2)+3( 7)+( 2)( )=
Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh 4 Dapatkan eigenvalue matriks: A = 4 3 2 Persamaan karakteristik λ 3 det( λi A) = = 4 λ 2 ( λ + 2)( λ 5) = Eigenvalue A: λ= 2 dan λ=5
Teori Contoh SIMPULAN Latihan Determinan Determinan dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu reduksi baris ekspansi kofaktor
Teori Contoh Simpulan LATIHAN Soal: Hitung determinan matriks berikut: A = 3 2 6 7 9 2 5
Teori Contoh Simpulan LATIHAN Solusi Latihan: Determinan dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor pada baris ke-3: C 3 = +M 3 = 6 9 7 2 = 5 C 32 = M 32 = 3 9 2 2 = 2 C 33 = +M 33 = 3 6 2 7 = 9 det(a)= a 3 C 3 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = ( 5)+( 2)+(5)(9)= 33