SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Suciati 1, Kuntjoro Adji Sidarto 1. Guru SMAN I Talegong Kab, Garut Jawa Barat. Prodi Matematika FMIPA, Institut Teknologi Bandung Abstrak Makala ini membaas tentang inverse problems yang berkaitan dengan ukum Torricelli. Jika suatu tangki berisi air yang pada bagian dasarnya terdapat sebua lubang kecil, maka kecepatan air keluar dari lubang beruba sesuai dengan perubaan ketinggian air dalam tangki. Diberikan dua conto inverse problems yang melibatkan ukum Torricelli. Berbeda dengan direct problems yang selalu mengasilkan solusi yang tunggal dan stabil, suatu inverse problems dapat mempunyai solusi yang tidak tunggal dan tidak stabil. Makala ini tidak anya membaas bagaimana menyelesaikan suatu inverse problems tetapi juga bagaimana sifat solusinya. Kata kunci : ukum Torricelli, inverse problems PENDAHULUAN Materi perkuliaan matematika pada tingkat dasar biasanya didominasi ole permasalaan direct problems. Misalkan K suatu operator yang memodelkan suatu proses, u adala nilai suatu masukan dalam daera definisi dari K dan v adala asil atau keluaran yang diperole. Dalam al K merupakan suatu fungsi maka untuk setiap masukan u dalam daera definisi dari K terdapat tepat satu asil v. Direct problems merupakan permasalaan yang membaas proses untuk mengasilkan solusi yang tunggal tersebut. Untuk setiap direct problem terdapat dua inverse problem yang terkait. Pertama causation problem yaitu masala menentukan nilai masukan u apabila diketaui asil v dan model K. Inverse problem lainnya adala model identification problem, yaitu menentukan operator K, apabila diketaui pasangan nilai masukan dan nilai asil (u,v). Groetsc(1993) dalam tulisannya membaas mengenai inverse problem dan ukum Torricelli. Ada tiga al yang berubungan dengan inverse problem. Pertama adala masala eksistensi. Pada causation problem, diberikan model K, permasalaannya adala apaka terdapat suatu masukan u yang menyebabkan munculnya v. Pada model identification problem permasalaannya adala apabila diberikan pasangan nilai masukan dan nilai asil, (u,v) adaka model yang dapat menjelasknanya. Hal yang kedua adala masala ketunggalan. Mungkinka dua masukan yang berbeda mengasilkan suatu asil yang sama. Hal yang terakir adala kestabilan, apaka solusi yang tela diperole merupakan solusi yang stabil. Makala ini akan membaas dua conto inverse problems. PEMBAHASAN Hukum Torricelli Suatu tangki diisi ole cairan yang bermassa m, Pada dinding dibagian dasar tangki dibuat suatu lubang yang relatif kecil, dibandingkan dengan ukuran tangki, seperti diilustrasikan ole gambar 1. Gambar M-37

Suciati / Suatu Conto Inverse Sesaat sebelum cairan keluar dari tangki pada ketinggian,cairan mempunyai energi potensial. Ketika air keluar dari lubang, energi potensial beruba menjadi energi kinetik. Energi potensial pada saat ketinggian air adala m g, dengan g adala gaya gravitasi bumi. Misalkan kecepatan cairan keluar dari lubang pada saat ketinggian cairan adala v(), maka energi kinetik yang 1 diasilkan adala ( ) mv. Menurut ukum kekekalan energi, energi potensial yang diasilkan dalam keadaan diam dikonversi menjadi energi kinetik, seingga diperole suatu kesamaan (gesekan antara air dengan tangki diabaikan) 1 mg= m v( ) Dengan menyederanakan kesamaan tersebut diperole rumus untuk kecepatan,v() yaitu v( ) = g Artinya kecepatan cairan keluar dari lubang dipengarui ole ketinggian cairan. Semakin lama, kecepatan cairan keluar semakin kecil sesuai dengan ketinggian cairan yang semakin menurun. Rumus ini ditemukan ole Evangelista Torricelli (1608-1647) dan dikenal sebagai ukum Torricelli. Misalkan lubang dibuat pada ketinggian, seperti diilustrasikan ole gambar y H -m g v R x Gambar Menurut ukum Torricelli kecepatan cairan keluar dari lubang adala v= g( H ) dengan ara mendatar sejajar sumbu x (peratikan gambar). Ketika cairan keluar dari lubang, partikel cairan juga mendapat gaya gravitasi sebesar - m g, dengan ara vertikal kebawa sejajar sumbu y. Hukum Newton kedua menyatakan F = m a Dalam persamaan tersebut F menyatakan jumla (vektor) semua gaya yang bekerja pada benda (dalam al ini cairan), m adala massa benda, dan a menyatakan (vektor) percepatannya. Dengan mensubstitusi F ole gaya gravitasi maka diperole dv a = = g dt Setela diselesaikan diperole v() t = gt+ c Karena pada saat t = 0, v(0) = 0 maka diperole kecepatan vertical M-38

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 v() t = gt Berdasarkan ukum Torricelli dan ukum Newton, vektor kecepatan cairan pada saat t dinyatakan ole ( ) v() t = g H i gtj Menentukan Ketinggian Lubang Saluran Air Sebua tabung diisi air sampai ketinggian H. Kemudian pada ketinggian, pada sisi tabung diberi lubang kecil. Sebua direct problem yang umum adala menentukan nilai R yang merupakan jangkauan dari awal semburan. Permasalaan ini mempunyai solusi R yang tunggal untuk setiap [0.H]. Inverse problems yang bersesuaian adala menentukan nilai apabila R dan H diketaui. Apabila jarak semburan dan ketinggian awal air diketaui, pada ketinggian berapaka lubang berada? Untuk menganalisisnya dibuat sebua sistem koordinat seperti dijelaskan ole gambar 3. y H R x Misalkan r ( t) ( 0) = Gambar 3 Kecepatan air pada saat t menurut ukum Torricelli dan Newton diberikan ole v() t = g( H ) i gtj (1) adala vektor posisi pada setiap saat t, karena pada saat t = 0 diketaui r maka dari persamaan (1) diperole: 1 () t g( H ) t r = i+ gt j () Waktu yang diperlukan ole air untuk menyentu dasar (lantai) dapat diperole dari ubungan 1 gt = 0 yang mengasilkan r = ( H ) = R g i i Seingga diperole solusi untuk yaitu t =. Substitusikan asil ini ke persamaan (), diperole g M-39

Suciati / Suatu Conto Inverse = H ± H R Agar diperole solusi real, arusla R [0.H]. Solusi akan tunggal jika dan anya jika R = H, selain itu terdapat dua solusi. Nilai yang lebi kecil menunjukan ydraulic ead yang lebi besar yang akan mengasilkan kecepatan orizontal yang lebi besar. Seingga walaupun ketinggiannya renda dapat menjangkau titik R yang cukup jau. Sebaliknya nilai yang lebi besar akan mengasilkan kecepatan orizontal yang lebi kecil dan waktu yang dibutukan untuk menjangkau titik R akan lebi lama. Jadi kedua titik ini dapat mengasilkan semburan yang dapat menjangkau titik ( R,0 ) tetapi dengan waktu tempu yang berbeda. Sebagai conto untuk nilai H = 10 dan R = 8 diperole 1 = dan = 8. Grafik ubungan antara nilai dengan nilai R untuk nilai H = 10 diperliatkan ole gambar 4. Grafik Hubungan dengan R 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1 R Gambar 4 Menentukan Luas Daera Penampang Melintang Suatu Bejana tidak Beraturan Misalkan terdapat suatu bejana yang bentuk penampang melintangnya tidak beraturan. Didasar bejana terdapat lubang seingga air keluar melalui lubang tersebut. Permasalaannya adala bagaimana menentukan luas daera penampang melintang dari bejana yang tidak beraturan dengan cara mengamati laju aliran air yang keluar. Bagaimana bentuk sebua bejana dapat mempengarui laju alirannya. Bejana air tak beraturan dapat diilustrasikan ole gambar 5 berikut A(y) y M-40 Gambar 5

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 Misalkan luas daera penampang melintang bejana pada ketinggian y adala A(y) (asumsikan A(y) kontinu). Air didalam bejana mengalir keluar melalui keran didasar bejana yang luas penampangnya a. Misalkan dalam selang waktu Δt ketinggian air turun sebesar Δy. Penurunan volume air selama selang waktu Δt sama dengan volume air yang keluar melalui keran selama selang waktu yang sama. Berdasarkan ukum Torricelli A( y) y= a gy t Apabila selang waktu mendekati nol diperole persamaan diferensial dy A( y) a gy (3) dt = Sebua direct problem yang biasa adala menentukan ketinggian air y(t), jika diketaui luas penampang melintangnya, A(y). Model identification problem yang bersesuaian adala inverse problem dari menentukan A(y) apabila diketaui y, yang tidak lain adala mengidentifikasi bentuk koefisien pada persamaan diferensial. Karena nilai tidak akan sama dengan nol, maka persamaan diferensial diatas akan selalu mempunyai solusi yang tunggal. Bagaimana dengan kestabilannya? Apaka perubaan kecil pada y akan mengakibatkan perubaan yang kecil pula pada nilai A(y). Untuk meliat kestabilan solusi inverse problems yang dimaksud dapat diambil sebua conto sebagai berikut. Misalkan bejana berbentuk silinder dengan tinggi 1 satuan dan luas daera penampang melintang tetap, A(y) = C. Persamaan (3) menjadi dy C a gy dt = Karena pada saat t = 0, y = 1, diperole a g y = 1 C t atau ( 1 bt) y = dengan a g b = dan C 0 t 1 b Misalkan adala suatu bilangan positif yang sangat kecil, dan untuk suatu bilangan positif yang besar M, buat suatu fungsi baru yang kontinu bagian demi bagian (piecewise) sebagai η(t) yang didefinisikan sebagai M-41

Suciati / Suatu Conto Inverse 1 0, t 0, b M 1 1 1 η() t = M t, t, + b M b M b M 1 1, t +, b M b Maka η mempunyai gradien sebesar M pada dan memenui 0 η(t). Kesalaan (galat) dalam pengamatan dapat dipertimbangkan dalam fungsi perturbasi berikut y() t = yt () +η() t Berdasarkan persamaan (3) A( y )( b (1 bt) + η ( t)) = a g ((1 bt) + η( t)) pada dengan η () t = M. Karena pada saat, η () t = maka luas daera penampang melintang untuk pengamatan y memenui 1 a g + 4 Ay ( ) = b+ M Dengan memili nilai M yang cukup besar maka perbedaan fungsi y () t dengan fungsi y (t) sangat kecil. Dengan memili M yang cukup besar pula A (y ) menjadi sangat kecil mendekati nol padaal luas daera penampang mendatar adala tetap yaitu C. Dengan kalimat lain gangguan sedikit pada y mengasilkan perubaan yang besar teradap A(y). Jadi inverse problems pada kasus ini mempunyai solusi yang tidak stabil. PENUTUP Menurut ukum Torricelli kecepatan cairan keluar dari lubang berbanding lurus dengan akar ketinggian cairan. Lebi tepatnya apabila g menyatakan gaya gravitasi, maka kecepatan cairan keluar dari lubang pada saat ketinggian cairan, v() dinyatakan ole g Pada bagian selanjutnya tela dibaas dua conto inverse problems. Permasalaan pertama yaitu menentukan ketinggian lubang saluran air mengasilkan solusi yang tidak selalu tunggal. Sedangkan pada permasalaan kedua yaitu permasalaan menentukan luas penampang bejana tak beraturan, mengasilkan solusi yang tunggal, tetapi tidak stabil.. Pembaasan permasalaan ini memberikan justifikasi bawa berbeda dengan direct problems yang selalu mengasilkan solusi yang tunggal dan stabil, inverse problems dapat mengasilkan solusi yang tidak tunggal dan tidak stabil. DAFTAR PUSTAKA Groetsc, C.W. (1993) : Inverse Problems and Torricelli s Law, Te College Matematics Journal, 4, 10-17. M-4