BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.. Kriptografi Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi, di mana naskah asli diacak menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi. Dekripsi menggunakan kunci dekripsi mendapatkan kembali naskah asli (Kromodimoeljo, 2). Proses enkripsi dilakukan menggunakan suatu algoritma dengan beberapa parameter. Biasanya algoritma tidak dirahasiakan, bahkan enkripsi yang mengandalkan kerahasiaan algoritma dianggap sesuatu yang tidak baik. Rahasia terletak di beberapa parameter yang digunakan. Jadi, kunci ditentukan oleh parameter. Parameter penentu kunci dekripsi inilah yang harus dirahasiakan. Dalam kriptografi klasik, teknik enkripsi yang digunakan adalah enkripsi simetris, di mana kunci dekripsi sama dengan kunci enkripsi. Untuk teknik enkripsi asimetris atau biasa disebut public key cryptography, kunci dekripsi tidak sama dengan kunci enkripsi. Enkripsi, dekripsi, dan pembuatan kunci dalam kriptografi asimetris memerlukan komputasi yang lebih intensif dibandingkan dengan enkripsi simetris, karena enkripsi asimetris menggunakan bilangan-bilangan yang sangat besar. Namun, walaupun enkripsi asimetris lebih "mahal" dibandingkan enkripsi simetris, public key cryptography sangat bermanfaat untuk key management dan digital signature. Secara garis besar, proses enkripsi adalah proses pengacakan "naskah asli" (plain-text) menjadi "naskah acak" (cipher-text) yang "sulit untuk dibaca" oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi. Yang dimaksud dengan "sulit untuk dibaca" di sini adalah, probabilitas mendapat kembali naskah asli oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi dalam waktu yang tidak terlalu lama adalah sangat kecil. Jadi, suatu proses enkripsi yang baik menghasilkan naskah acak yang memerlukan waktu yang lama (contohnya satu juta tahun) untuk didekripsi oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi. Satu cara untuk mendapatkan kembali naskah asli tentunya dengan menerka kunci dekripsi. Jadi, proses menerka kunci dekripsi harus menjadi

7 sesuatu yang sulit. Tentunya naskah acak harus dapat didekripsi oleh seseorang yang memiliki kunci dekripsi untuk mendapatkan kembali naskah asli. Walaupun awalnya kriptografi digunakan untuk merahasiakan naskah teks, kini kriptografi digunakan untuk data apa saja yang berbentuk digital (Kromodimoeljo, 2). 2... Konsep acak (random) Sifat acak dalam kriptografi adalah sifat bebas dari kecenderungan sehingga tidak mudah untuk diterka. Dari segi matematika jika suatu variabel dianggap bersifat acak, maka teori probabilitas dapat digunakan untuk memrediksi "kelakuan" dari variabel tersebut, antara lain variabel akan memenuhi beberapa kriteria statistik. Metode statistika dapat digunakan berdasarkan apa yang sudah terjadi untuk menilai apakah variabel memenuhi kriteria statistik untuk variabel acak. Akan tetapi, jika kriteria statistik terpenuhi, belum tentu variabel benar acak, karena sesuatu yang deterministik seperti pseudo-random number generator dapat memenuhi kriteria statistik untuk variabel acak. Jadi, kriteria statistik bukan merupakan definisi untuk variabel acak. Sifat acak memang tidak dapat didefinisikan secara matematis, sebab sesuatu yang memiliki definisi matematis sudah pasti tidak bersifat acak. Apalagi jika definisi berupa rumus yang dapat digunakan untuk kalkulasi. Yang didefinisikan bukan saja mudah diterka, tetapi tidak perlu diterka. Sifat acak dapat dikaitkan dengan urutan events, dimana event berikutnya dalam suatu urutan tidak mudah untuk diterka berdasarkan apa yang sudah berlalu. Sifat ini diperlukan dalam pembuatan kunci (key generation), agar kunci dekripsi tidak mudah untuk diterka. Sifat acak juga dikaitkan dengan tidak adanya korelasi (atau korelasi yang mendekati nol). Dalam kriptografi, tidak diinginkan adanya korelasi antara naskah asli dengan naskah acak atau kunci dengan naskah acak. Ini untuk mempersulit analisa seperti analisa frekuensi (frequency analysis) atau analisa yang lebih canggih, seperti linear cryptanalysis atau differential cryptanalysis. Meskipun tidak sebenarnya acak, sesuatu yang pseudo-random bermanfaat dan digunakan dalam kriptografi, tetapi harus dikombinasikan dengan sesuatu yang benar acak. Sebagai contoh, pseudo-random number generator dikombinasikan dengan sumber entropi yang benar acak sebagai seed, untuk mendapatkan sesuatu yang praktis bersifat random number generator (Kromodimoeljo, 2).

8 2..2. Manajemen kunci Aspek manajemen kunci sangat penting dalam aplikasi kriptografi. Proses pembuatan kunci sangat penting dan sebaiknya dilakukan dengan acak. Sumber acak dapat diambil dari berbagai kejadian (events) yang muncul secara acak. Sistem operasi seperti unix menggunakan kombinasi system events termasuk interrupts sebagai sumber entropi yang kemudian dikombinasikan dengan algoritma pseudo-random number generator menjadi random number generator. Aplikasi kriptografi dapat menggunakan random number generator yang disediakan sistem operasi untuk pembuatan kunci, akan tetapi sebaiknya ini dilakukan hanya jika random number generator cukup acak. Distribusi kunci secara aman juga penting untuk keperluan pengamanan komunikasi. Sebagai contoh, untuk komunikasi yang diamankan dengan enkripsi simetris, tentunya kedua mitra dalam komunikasi harus menggunakan kunci yang sama. Kunci ini dapat dibuat oleh satu pihak dan dikirim secara aman ke mitra komunikasi. Pengiriman kunci dapat dilakukan out-of-band, yaitu menggunakan jalur khusus di luar jalur normal komunikasi, atau dilakukan in-band melalui jalur normal menggunakan sarana kriptografi kunci publik. Alternatif dari pengiriman kunci adalah key agreement, di mana kedua mitra berpartisipasi membuat kunci tanpa dapat diketahui oleh pihak ketiga. Key agreement juga menggunakan kriptografi kunci publik. Penyimpanan kunci jelas sangat penting untuk pengamanan sistem enkripsi secara menyeluruh. Kunci yang disimpan secara sembrono akan mudah untuk "dicuri" oleh pihak yang tidak diinginkan. Solusi untuk penyimpanan kunci beraneka ragam. Mulai dari penggunaan hardware khusus, di mana kunci dekripsi disimpan dan tidak dapat keluar dari hardware tersebut, sampai dengan penyimpanan dalam file yang dienkripsi menggunakan password atau passphrase (Kromodimoeljo, 2). 2.2. Matematika Dasar dalam Kriptografi Aritmatika modular sangat berperan dalam kriptografi karena banyak digunakan dalam algoritma enkripsi, baik untuk kriptografi simetris maupun kriptografi kunci publik. Dalam aritmatika modular, konsep GCD (Greatest Common Divisors) digunakan antara lain untuk operasi invers yang dapat dikalkulasi secara efisien menggunakan algoritma Euclidean, algoritma sangat penting yang telah berusia lebih dari 2 tahun. Sebelum mempelajari kriptografi lebih mendalam, akan dibahas terlebih dahulu studi tentang teori bilangan.

9 2.2.. Keterbagian dan GCD (Greatest Common Divisors) Sebagian besar kriptografi modern dibangun atas dasar-dasar aljabar dan teori bilangan. Pada tingkat yang paling dasar, teori bilangan adalah studi tentang bilangan asli, 2, 3, 4, 5,, atau lebih tepatnya, studi tentang bilangan bulat, 2,,,, 2,. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan simbol Z. Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka kedua bilangan bulat tersebut dapat ditambahkan a + b, dikurangi a b, dikalikan a b, dan memenuhi semua aturan umum aritmatika (hukum komutatif, asosiatif, distributif, dan lain-lain). Tetapi, suatu bilangan bulat tidak selalu bisa dibagi dengan bilangan bulat yang lain. Sebagai contoh, 3 tidak bisa dibagi dengan 2, karena tidak ada bilangan bulat 3. Hal inilah yang menjadi konsep dasar keterbagian. 2 Definisi 2.. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat, dengan b. Maka dapat dikatakan b membagi a, atau a habis dibagi dengan b, jika ada bilangan bulat c sedemikian rupa sehingga a = bc. Untuk menunjukkan bahwa a habis dibagi dengan b, dapat dilambangkan dengan b a. Jika b tidak dapat membagi a, maka dapat dilambangkan dengan a b (Hoffstein, et al. 28). Contohnya 847 485.33, karena 485.33 = 847 573. Contoh lainnya, 355 259943, karena ketika mencoba untuk membagi 259943 dengan 355, didapatkan sisa 83. Lebih tepatnya 259943 = 355 732 + 83. Jadi, 259943 bukan kelipatan 355. Semua bilangan bulat habis dibagi dengan. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 adalah bilangan bulat genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 adalah bilangan bulat ganjil. Dan berikut adalah sifat-sifat dari keterbagian. Misalkan a, b, c Z, maka: a) Jika a b dan b c, maka a c. b) Jika a b dan b a, maka a = ±b. c) Jika a b dan a c, maka a (b + c) dan a (b c) (Hoffstein, et al. 28). Definisi 2.2. Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilangan bulat positif d terbesar, sehingga d a dan d b. Faktor persekutuan terbesar dari a dan b dinotasikan dengan gcd(a, b) (dalam bahasa Indonesia disebut FPB). Jika kedua nilai a dan b adalah, maka gcd(a, b) tidak terdefinisi (Hoffstein, et al. 28). Contoh 2.. FPB dari 2 dan 8 adalah 6, karena 6 2 dan 6 8 dan tidak ada nilai lain yang lebih besar dari 6. Jadi, gcd(748, 224) = 44.

Algoritma yang efisien untuk menghitung FPB adalah division with remainder atau biasa disebut dengan metode pembagian panjang. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif dan a dibagi dengan b, maka akan diperoleh hasil bagi q dan sisanya r, di mana sisa r lebih kecil dari b. Sebagai contoh, 23 dibagi dengan 7 memberikan hasil bagi 3 dengan sisa 9. Atau dapat ditulis sebagai 23 = 7 3 + 9, di mana sisanya 9 lebih kecil dari pembagi 7. Definisi 2.3 (Algoritma Pembagian). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat positif. Kemudian a dibagi dengan b memiliki hasil bagi q dan sisanya r, berarti bahwa a = b q + r dengan r < b. () Jika d adalah pembagi untuk a dan b, maka jelas dari persamaan () bahwa d juga pembagi untuk r. Demikian pula, jika e adalah pembagi untuk b dan r, maka e juga pembagi untuk a. Dengan kata lain, pembagi a dan b adalah sama dengan pembagi untuk b dan r, karenanya gcd(a, b) = gcd (b, r) (Hoffstein, et al. 28). Dengan proses yang sama, membagi b dengan r untuk mendapatkan hasil bagi dan sisa lainnya, maka b = r q + r dengan r < r. Dan gcd(b, r) = gcd (r, r ). Jika proses ini terus berlanjut, maka sisanya akan terus menjadi lebih kecil sampai akhirnya mendapatkan sisa, di mana nilai akhir dari gcd(s, ) = s adalah sama dengan FPB dari a dan b. Melanjutkan Contoh 2. untuk mengetahui FPB dari 224 dan 748 dengan menggunakan algoritma division with remainder, 224 = 748 2 + 528 748 = 528 + 22 528 = 22 2 + 88 22 = 88 2 + 44 88 = 44 2 + Teorema 2. (Algoritma Euclidean). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a b. Berikut adalah algoritma untuk menghitung gcd(a, b): ) Misalkan r = a dan r = b. 2) i =. 3) Bagi r i dengan r i untuk mendapatkan hasil bagi q i dan sisa r i+, r i = r i q i + r i+ dengan r i+ < r i. FPB = 44 4) Jika sisa r i+ =, maka r i = gcd (a, b) dan algoritma berakhir. 5) Jika tidak, r i+ >, sehingga i = i + dan lanjut ke Langkah 3.

Pembagian pada Langkah 3 dilakukan sebanyak 2log 2 (b) + kali. Teorema 2.2 (Algoritma Extended Euclidean). Misal a dan b adalah bilangan bulat positif. Maka persamaan au + bv = gcd(a, b) selalu memiliki solusi dalam bilangan bulat u dan v. Jika (u, v ) adalah salah satu solusinya, maka setiap solusi memiliki bentuk: u = u + v = v + b k gcd (a, b) a k gcd (a, b) Definisi 2.4. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat. Dikatakan bahwa a dan b adalah relatif prima atau koprima, jika gcd(a, b) =. Secara umum, persamaan Au + Bv = gcd (A, B) dapat dijadikan relatif prima dengan membagi kedua sisi dengan gcd(a, B), sehingga A gcd (A, B) u + B gcd (A, B) v = di mana a = A/gcd(A, B) dan b = B/gcd(A, B) adalah relatif prima dan memenuhi au + bv = (Hoffstein, et al. 28). Berdasarkan Contoh 2., gcd(224,748) = 44 dan memenuhi 7 224 + 9 748 = 44. Agar menjadi relatif prima, kedua sisi dibagi dengan 44. Sehingga persamaan sebelumnya menjadi 7 46 + 9 7 =, dengan u = 7 dan v = 9 adalah koefisien kombinasi linear dari 46 dan 7 yang sama dengan. Contoh selanjutnya menjelaskan bagaimana menyubstitusi nilai-nilai dari algoritma Euclidean untuk menyelesaikan au + bv = gcd(a, b), serta menghitung u dan v jika a dan b relatif prima. Misalkan a = 73 dan b = 25. Dengan menggunakan algoritma Euclidean diperoleh hasil sebagai berikut: 73 = 25 2 + 23 25 = 23 + 2 23 = 2 + 2 = 2 +. Berdasarkan hasil bagi 2,, dan 2, tercipta sebuah algoritma seperti berikut: 2 2 a c e g b d f h Untuk semua k Z

2 2 2 2 c e g a = 2 + = 2 d f h b = 2 + = 2 2 2 3 e g c = 2 + = 3 f h d = + = 2 2 2 3 35 g e = 3 + 2 = 35 2 h f = + = 2 2 2 2 3 35 73 g = 2 35 + 3 = 73 2 25 h = 2 2 + = 25 Terlihat bahwa kolom terakhir adalah masing-masing nilai untuk a dan b. Dan kolom di samping kolom terakhir adalah nilai v dan u. Jadi, dari contoh ini ditemukan bahwa 73 2 25 35 = (Hoffstein, et al. 28). Secara umum, jika a dan b relatif prima dan jika q, q 2,, q t adalah sederetan hasil bagi dari penerapan algoritm Euclidean terhadap a dan b, maka q q 2 q t q t P P 2 P t a Q Q 2 Q t b Nilai-nilai pada kotak dihitung dengan terlebih dahulu melakukan inisialisasi sebagai berikut: P = q, Q =, P 2 = q 2 P +, Q 2 = q 2 Q lalu, selama i > 2, hitung P i = q i P i + P i 2 dan Q i = q i Q i + Q i 2. Empat nilai dari dua kolom terakhir memenuhi a Q t b P t = ( ) t. Dengan mengalikan kedua sisi dengan ( ) t memberikan penyelesaian: u = ( ) t Q t, v = ( ) t+ P t ke dalam persamaan au + bv = (Hoffstein, et al. 28). 2.2.2. Aritmatika modular Setiap orang pasti pernah membaca jam, di mana terdapat perhitungan yang aneh. Misalnya, 6 + 9 = 3 atau 2 3 =. Tetapi tidak ada yang salah dalam perhitungan

3 waktu tersebut, karena jam : adalah 3 jam sebelum jam 2:. Jadi, yang pertama sekali dilakukan adalah menghitung 2 3 =, lalu menambahkannya dengan 2. Demikian pula, 9 jam setelah jam 6: adalah jam 3:, karena 6 + 9 2 = 3. Teori kongruen adalah metode paling tepat dalam perhitungan yang didasarkan pada gagasan sederhana jam aritmatika. Definisi 2.5: Misalkan bilangan bulat m, maka bilangan bulat a dan b disebut kongruen modulo m jika selisih keduanya habis dibagi m. Sehingga dapat ditulis a b (mod m), dan nilai m disebut modulus (Hoffstein, et al. 28). Contoh jam sebelumnya dapat ditulis sebagai kongruen menggunakan modulus m = 2, 6 + 9 = 5 3 (mod 2) dan 2 3 = (mod 2). Angka-angka yang memenuhi a (mod m) adalah angka yang habis dibagi dengan m, yaitu kelipatan m. Teorema 2.3: Misalkan bilangan bulat m, a) Jika a a 2 (mod m) dan b b 2 (mod m), maka a ± b a 2 ± b 2 (mod m) dan a b a 2 b 2 (mod m). b) Misalkan bilangan bulat a, kemudian a b (mod m) untuk suatu bilangan bulat b jika dan hanya jika gcd(a, m) =. Jika bilangan bulat b ada, maka dapat dikatakan bahwa b adalah invers dari a modulo m (Hoffstein, et al. 28). Teorema 2.3(b) mengatakan bahwa jika gcd(a, m) =, maka ada invers b dari a modulo m. Misalkan m = 5 dan a = 2, jelas gcd(2, 5) =, sehingga ada invers untuk 2 modulo 5. Dan inversnya adalah 3, karena 2 3 (mod 5). Jadi, 2 3 (mod 5). Demikian pula, gcd(4, 5) = sehingga 4 ada dalam modulo 5. Dan karena 4 4 (mod 5), maka 4 adalah invers dalam modulo 5. Permasalahan modulo m dalam pecahan a/d dapat diselesaikan selama penyebut adalah relatif prima terhadap m. Sebagai contoh 5/7 modulo, dengan terlebih dahulu mengamati bahwa 7 8 (mod ), maka 7 8 (mod ). Selanjutnya: 5 7 = 5 7 5 8 4 7 (mod ) Selanjutnya jika a dibagi dengan m memiliki hasil bagi q dan sisa bagi r, dapat ditulis sebagai a = m q + r dengan r < m. Hal ini menunjukkan bahwa a r (mod m) untuk suatu bilangan bulat r antara sampai m. Jadi, jika ingin

4 menghitung bilangan bulat modulo m, cukup menggunakan bilangan r < m. Dan definisi selanjutnya adalah: Z/mZ = {,, 2,, m } di mana Z/mZ disebut ring bilangan bulat modulo m. Perhatikan bahwa setiap kali dilakukan penambahan atau perkalian dalam Z/mZ, hasilnya selalu dibagi dengan m dan mengambil sisanya untuk mendapatkan sebuah elemen dalam Z/mZ. Tabel 2. memperlihatkan ring Z/5Z dengan tabel penjumlahan dan perkalian dalam modulo 5 secara lengkap. + 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2 2 4 3 3 3 4 2 3 3 4 2 4 4 2 3 4 4 3 2 Tabel 2.: Penjumlahan dan perkalian dalam modulo 5. Definisi 2.6: Teorema 2.3(b) menjelaskan bahwa a memiliki invers modulo m jika dan hanya jika gcd(a, m) =. Bilangan-bilangan yang memiliki invers disebut unit. Himpunan semua unit dinotasikan sebagai (Z/mZ) = {a Z/mZ gcd (a, m) = } = {a Z/mZ a memiliki invers modulo m}, himpunan (Z/mZ) disebut kumpulan unit (group of units) modulo m. Perhatikan bahwa jika a dan a 2 adalah unit modulo m, hasilnya adalah a a 2. Jadi, ketika dua unit dikalikan, hasilnya selalu unit. Sedangkan jika dua unit ditambahkan, hasilnya belum tentu adalah unit. Group of units modulo 24 adalah (Z/24Z) = {, 5, 7,, 3, 7, 9, 23}. Tabel perkalian untuk (Z/24Z) seperti ditunjukkan pada Tabel 2.2: 5 7 3 7 9 23 5 7 3 7 9 23 5 5 7 7 3 23 9 7 7 5 9 23 3 7 7 5 23 9 7 3 3 3 7 9 23 5 7 7 7 3 23 9 5 7 9 9 23 3 7 7 5 23 23 9 7 3 7 5 Tabel 2.2: Perkalian group of units modulo 24.

5 Definisi 2.7: Fungsi phi Euler (sering juga disebut sebagai fungsi totient Euler) adalah fungsi φ(m) didefinisikan oleh aturan φ(m) = #(Z/mZ) = #{ a < m gcd(a, m) = }. Berdasarkan contoh sebelumnya, φ(24) = 8. Dengan kata lain hasil dari fungsi φ(m) adalah banyaknya bilangan bulat nonnegatif dan lebih kecil dari m yang relatif prima dengan m. Jadi, φ() = dan untuk bilangan prima p, φ(p) = p, karena, 2, 3,, p semua relatif prima terhadap p, sedangkan gcd(p, ) = p. Untuk bilangan prima p, φ(p a ) = p a p a (Hoffstein, et al. 28). 2.2.3. Bilangan prima, faktorisasi prima, dan finite field Di bagian sebelumnya telah dipelajari aritmatika modular dalam operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian bilangan bulat modulo m. Sedangkan pembagian, dapat menjadi masalah karena bilangan bulat dapat dibagi dengan a dalam Z/mZ hanya jika gcd(a, m) =. Jika bilangan bulat m adalah prima, maka m dapat dibagi dengan setiap elemen Z/mZ yang bukan nol. Maka, selanjutnya akan dipelajari ring Z/pZ dengan bilangan prima p. Definisi 2.8: Bilangan bulat p disebut prima jika p 2 dan bilangan bulat positif yang bisa membagi p hanya dan p (Hoffstein, et al. 28). Teorema 2.4 (Teorema Dasar Aritmatika). Misalkan bilangan bulat a 2, Maka a dapat difaktorkan sebagai hasil dari bilangan prima (Hoffstein, et al. 28) e a = p e p 2 e 2 p 3 e 3 p r r Definisi 2.9. Teorema dasar aritmatika mengatakan bahwa dalam faktorisasi bilangan bulat positif a ke bilangan prima p, setiap p memiliki pangkat tertentu. Pangkat ini dinotasikan dengan ord p (a). Untuk semua bilangan prima, ord p () = (Hoffstein, et al. 28). Contoh, faktorisasi 728 adalah 728 = 2 6 3 3, sehingga ord 2 (728) = 6, ord 3 (728) = 3, dan ord p (728) = untuk semua bilangan prima p 5. Jika p adalah prima, maka setiap bilangan bukan nol modulo p memiliki invers perkalian modulo p. Ini berarti bahwa operasi aritmatika modulo p, tidak hanya bisa menambah, mengurangi, mengalikan, tetapi juga bisa membagi dengan bilangan bukan nol, sama seperti operasi pada bilangan real.

6 Misalkan p adalah bilangan prima. Maka setiap anggota a dalam Z/pZ yang bukan nol memiliki invers perkalian, yaitu b yang memenuhi ab (mod p). Nilai b dinotasikan dengan a mod p. Definisi 2.. Jika p adalah bilangan prima, maka himpunan bilangan bulat Z/pZ modulo p dengan aturan penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagiannya adalah contoh dari sebuah field yang merupakan nama umum untuk (komutatif) ring, di mana setiap anggota bukan nol-nya memiliki invers perkalian. Beberapa contoh di antaranya adalah field untuk bilangan real R, field untuk bilangan rasional (pecahan) Q, dan field untuk bilangan kompleks C. Field Z/pZ dari bilangan bulat modulo p hanya memiliki jumlah anggota yang berhingga yang disebut sebagai finite field yang dilambangkan dengan F p. Jadi, F p dan Z/pZ adalah dua notasi yang berbeda untuk objek yang sama. Demikian pula, anggota dari group of units (Z/pZ) dilambangkan dengan F p. Finite field adalah aspek dasar yang paling penting dalam seluruh kriptografi (Hoffstein, et al. 28). Meskipun Z/pZ dan F p digunakan untuk menotasikan konsep yang sama, namun kesetaraan elemen di antaranya dinyatakan agak berbeda dalam dua aturan. Untuk a, b F p, kesetaraan a dan b dilambangkan dengan a = b. Sedangkan untuk a, b Z/pZ, kesetaraan a dan b dinotasikan dengan a b (mod p). 2.3. Advanced Encryption Standard (AES) AES (Advanced Encryption Standard) adalah teknik enkripsi yang dijadikan standar FIPS oleh NIST pada tahun 2. AES dimaksudkan secara bertahap akan menggantikan DES (Data Encryption Standard) sebagai standar enkripsi di Amerika Serikat untuk abad ke-2 (DES sebagai standard FIPS telah dicabut, Mei 25). AES menjadi standar melalui proses seleksi. Dari beberapa teknik enkripsi yang dicalonkan untuk menjadi AES, yang terpilih adalah enkripsi Rijndael. Jadi, algoritma AES dikenal juga dengan algoritma Rijndael. Teknik enkripsi ini termasuk jenis block cipher seperti halnya dengan DES. Perbedaan utama antara teknik enkripsi DES dengan AES adalah dalam transformasi subbytes (menggunakan S-boxes). AES melakukan transformasi secara langsung terhadap naskah, sedangkan DES menggunakan substitusi S-box hanya dalam fungsi cipher f, yang hasilnya kemudian dioperasikan terhadap naskah menggunakan exclusive OR. AES juga menggunakan kunci enkripsi yang lebih besar yaitu 28 bit, 92 bit, atau 256 bit (Kromodimoeljo, 2).

7 Secara umum, transformasi dalam algoritma Rijndael terdiri dari: subbytes, shiftrows, mixcolumns, dan AddRoundKey. Algoritma Rijndael beroperasi terhadap state dari naskah yang dipandang sebagai matriks berukuran 4 N b. Setiap kolom dari state merepresentasikan word, dengan s.i sebagai most significant byte untuk kolom ke-i. Beberapa operasi pada algoritma Rijndael didefinisikan pada tingkat byte yang mewakili anggota dalam polynomial field GF(2 8 ). Operasi lainnya didefinisikan dalam istilah 4-byte word (Daemen & Rijmen, 22). 2.3.. Matematika pengantar Polinomial field GF(2 8 ) Setiap anggota dalam finite field dapat direpresentasikan dalam beberapa cara yang berbeda. Untuk setiap pangkat bilangan prima ada sebuah finite field yang karenanya semua representasi dari GF(2 8 ) adalah isomorfik. Representasi dalam persamaan ini memiliki dampak pada kompleksitas implementasi. Sebuah byte b, terdiri dari serangkaian bit b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b b yang dianggap sebagai polinomial dengan koefisien dalam {, } (Daemen & Rijmen, 22): b 7 x 7 + b 6 x 6 + b 5 x 5 + b 4 x 4 + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b x + b x. Contoh, byte dengan dengan nilai heksadesimal 57 (biner: ) bersesuaian dengan polinomial: x 6 + x 4 + x 2 + x +. Penambahan Dalam representasi polinomial, jumlah dari dua elemen adalah polinomial dengan koefisien yang diberikan oleh penjumlahan dalam modulo 2 (yaitu, + = ) terhadap koefisien-koefisiennya. Contoh: 57 + 83 = D4, atau dengan notasi polinomial: (x 6 + x 4 + x 2 + x + ) + (x 7 + x + ) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2. Dalam notasi biner: + =. Operasi penambahan sesuai dengan bitwise XOR (dilambangkan dengan ) pada tingkat byte. Semua kondisi yang harus terpenuhi dalam kelompok Abelian adalah: internal, asosiatif, elemen netral (), elemen inverse dan komutatif (Daemen & Rijmen, 22). Perkalian Dalam representasi polinomial, perkalian dalam GF(2 8 ) bersesuaian dengan perkalian polinomial modulo suatu irreducible binary polynomial berderajat 8. Dalam Rijndael, polinomial ini adalah: m(x) = (x 8 + x 4 + x 3 + x + )

8 atau B dalam representasi heksadesimal. Contoh: 57 83 = C, atau: (x 6 + x 4 + x 2 + x + ) (x 7 + x + ) = x 3 + x + x 9 + x 8 + x 7 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + x 6 + x 4 + x 2 + x + = x 3 + x + x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 7 + x 6 + mod (x 8 + x 4 + x 3 + x + ) Jelas, hasilnya akan menjadi polinomial biner berderajat di bawah 8. Tidak seperti penambahan, tidak ada penyederhanaan operasi perkalian pada tingkat byte. Perkalian seperti yang telah didefinisikan sebelumnya adalah asosiatif dan ada elemen netral (). Untuk setiap polinomial biner b(x) berderajat di bawah 8, algoritma extended Euclidean digunakan untuk menghitung polinomial a(x), c(x) sedemikian rupa sehingga a(x) b(x) + c(x) m(x) =, oleh karena itu, a(x) b(x) mod m(x) atau b (x) a(x) mod m(x). Selain itu, dapat dinyatakan bahwa a(x) (b(x) + c(x)) = a(x) b(x) + a(x) c(x). Ini memungkinkan himpunan byte sebesar 256 dengan XOR sebagai penambahan dan perkalian yang didefinisikan seperti pada struktur finite field GF(2 8 ) (Daemen & Rijmen, 22). Perkalian dengan x Jika b(x) dikalikan dengan polinomial x, hasilnya: b 7 x 8 + b 6 x 7 + b 5 x 6 + b 4 x 5 + b 3 x 4 + b 2 x 3 + b x 2 + b x dalam modulo m(x). Jika b 7 =, penyederhanaan ini disebut operasi identitas, jika b 7 =, maka m(x) harus dikurangi (dengan operasi XOR). Oleh karena itu, perkalian dengan x (heksadesimal 2) dapat diimplementasikan pada tingkat byte sebagai pergeseran ke kiri dan dengan kondisi tertentu di-xor-kan dengan B. Operasi ini dilambangkan dengan b = xtime(a). Dalam kondisi tertentu, xtime hanya membutuhkan 4 kali XOR. Perkalian dengan pangkat yang lebih tinggi dari x dapat diimplementasikan dengan xtime berulang kali. Dengan penambahan terpisah, perkalian dengan konstanta apapun dapat diimplementasikan dengan mudah (Daemen & Rijmen, 22). Contoh: 57 3 = FE. 57 2 = xtime(57) = AE 57 4 = xtime(ae) = 47 57 8 = xtime(47) = 8E 57 = xtime(8e) = 7 57 3 = 57 ( 2 ) = 57 AE 7 = FE

9 Polinomial dengan koefisien dalam GF(2 8 ) Polinomial dapat didefinisikan dengan koefisien dalam GF(2 8 ). Dengan cara ini, vektor 4-byte bersesuai dengan polinomial berderajat di bawah 4. Polinomial dapat ditambahkan dengan hanya menambahkan koefisien yang sesuai. Sebagaimana penambahan dalam GF(2 8 ) adalah operasi XOR, penambahan dua vektor juga menggunakan operasi XOR. Anggaplah dua polinomial dalam GF(2 8 ), yaitu: a(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a dan b(x) = b 3 x 3 + b 2 x 2 + b x + b. Hasilnya adalah c(x) = a(x) b(x) c(x) = c 6 x 6 + c 5 x 5 + c 4 x 4 + c 3 x 3 + c 2 x 2 + c x + c di mana, c = a b c 4 = a 3 b a 2 b 2 a b 3 c = a b a b c 5 = a 3 b 2 a 2 b 3 c 2 = a 2 b a b a b 2 c 6 = a 3 b 3 c 3 = a 3 b a 2 b a b 2 a b 3 Jelas, c(x) tidak dapat lagi diwakili oleh vektor 4-byte. Dengan menjadikan c(x) dalam modulo polinomial berderajat 4 hasilnya dapat disederhanakan menjadi polinomial berderajat di bawah 4. Pada algoritma Rijndael, hal ini dilakukan dengan polinomial M(x) = x 4 +. Karena x i mod x 4 + = x i mod 4 adalah hasil modular dari a(x) dan b(x), dapat dinotasikan dengan d(x) = a (x) b(x) = d 3 x 3 + d 2 x 2 + d x + d. Di mana, d = a b a 3 b a 2 b 2 a b 3 d = a b a b a 3 b 2 a 2 b 3 d 2 = a 2 b a b a b 2 a 3 b 3 d 3 = a 3 b a 2 b a b 2 a b 3 Operasi perkalian dengan polinomial tetap a(x) dapat ditulis sebagai perkalian matriks sebagai berikut: [ d d d 2 d 3 ] = [ a a a 2 a 3 a 3 a a a 2 a 2 a 3 a a a b a 2 b a ] [ ] 3 b 2 a b 3 x 4 + bukan merupakan irreducible polynomial dalam GF(2 8 ), ini dikarenakan perkalian dengan polinomial tetap belum tentu memiliki invers. Dalam cipher Rijndael, harus menggunakan polinomial tetap yang memiliki invers (Daemen & Rijmen, 22).

2 Perkalian dengan x Jika b(x) dikalikan dengan x, maka hasilnya adalah b 3 x 4 + b 2 x 3 + b x 2 + b x. Hasil b(x) x diperoleh dengan mereduksi hasil di atas dengan modulo x 4 +. Sehingga menjadi b 2 x 3 + b x 2 + b x + b 3. Perkalian dengan x setara dengan perkalian dengan matriks seperti di atas di mana semua a i = kecuali a =. Misalkan c(x) = x b(x), maka: c c [ c ] = [ 2 c 3 b b ] [ ] b 2 b 3 Oleh karena itu, perkalian dengan x atau pemangkatan dengan x, sesuai dengan pergeseran siklik byte di dalam vektor (Daemen & Rijmen, 22). 2.3.2. State, cipher key dan jumlah putaran Rijndael menghasilkan blok yang diacak berulang kali berdasarkan variabel panjang blok dan kunci yang masing-masing dapat berukuran 28, 92 atau 256 bit. Naskah asli atau naskah acak (cipher) yang belum selesai ditransformasi disebut state. Suatu state digambarkan sebagai array dua dimensi dalam byte. Array ini memiliki empat baris dan jumlah kolom dilambangkan dengan N b yang sama dengan panjang blok dibagi dengan 32. Cipher key juga digambarkan sebagai array dua dimensi dengan empat baris dan jumlah kolom dilambangkan dengan N k yang sama dengan panjang kunci dibagi dengan 32. Dalam beberapa kasus, blok ini juga dianggap sebagai array satu dimensi dari vektor 4-byte, di mana setiap vektor terdiri dari kolom yang sesuai dalam representasi array dua dimensi. Array ini memiliki panjang masing-masing 4, 6, atau 8, dan indeks dalam rentang..3,..5, atau..7. Vektor 4-byte ini disebut dengan word. Input yang diproses dan output yang dihasilkan oleh Rijndael adalah array satu dimensi berukuran 4 (N b ) byte atau setara dengan 6, 24 atau 32 byte dan indeks dalam rentang..5,..23 atau..3. Setiap input dalam satuan byte dipetakan ke dalam state dengan urutan b,, b,, b 2,, b 3,, b,, b,, b 2,, b 3,,, b 3,Nb, begitu juga dengan cipher key yang dipetakan dengan urutan k,, k,, k 2,, k 3,, k,, k,, k 2,, k 3,,, k 3,Nk. Di akhir operasi, output diekstrak kembali dari state dengan urutan yang sama (Daemen & Rijmen, 22).

2 b, b, b,2 b,3 b,4 b,5 k, k, k,2 k,3 b, b, b,2 b,3 b,4 b,5 k, k, k,2 k,3 b 2, b 2, b 2,2 b 2,3 b 2,4 b 2,5 k 2, k 2, k 2,2 k 2,3 b 3, b 3, b 3,2 b 3,3 b 3,4 b 3,5 k 3, k 3, k 3,2 k 3,3 Tabel 2.3: Contoh representasi state (N b = 6) dan cipher key (N k = 4). Jika indeks array satu dimensi dalam byte suatu blok adalah n dan indeks array dua dimensi adalah (i, j), maka: i = n mod 4, j = n/4, n = i + 4j Nilai i adalah jumlah vektor 4-byte atau word, sedangkan j menunjukkan indeks vektor atau word dalam blok. Banyaknya jumlah putaran N r bergantung pada panjang blok N b dan kunci N k (Daemen & Rijmen, 22), seperti ditunjukkan pada Tabel 2.3. N r N b = 4 N b = 6 N b = 8 N k = 4 2 4 N k = 6 2 2 4 N k = 8 4 4 4 Tabel 2.4: Jumlah putaran N r sebagai fungsi blok terhadap panjang kunci. 2.3.3. Enkripsi Pada proses enkripsi AES dilakukan transformasi subbytes, shiftrows, mixcolumns, dan addroundkey berulang kali hingga N r. Di putaran ke-n r, transformasi yang dilakukan tetap sama, tetapi tanpa transformasi mixcolumns. Berikut pseudocode enkripsi AES: Round(state, roundkey). subbytes(state); 2. shiftrows(state); 3. mixcolumns(state); 4. addroundkey(state, roundkey); Transformasi subbytes Transformasi subbytes adalah substitusi byte non-linear, yang beroperasi pada setiap byte pada state secara independen. Tabel substitusi (S-box) dapat diinvers dan dibuat dengan dua transformasi. Pertama, menggunakan invers perkalian dalam GF(2 8 ), kemudian menerapkan transformasi affine dalam GF(2 8 ) (Daemen & Rijmen, 22) yang didefinisikan sebagai berikut:

22 Contoh: subbytes(a7) = 5C, subbytes(3f) = 75 (Paar, 2). y y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 [ y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ransformasi shiftrows Tabel 2.5: AES S-Box. Pada transformasi shiftrows, deretan baris pada state digeser ke kiri sebanyak n kali. Untuk N b < 8, baris pertama tidak bergeser, baris kedua digeser sekali ke kiri, baris ketiga digeser dua kali ke kiri, dan baris keempat digeser sebanyak tiga kali ke kiri atau digeser sekali ke kanan. Pergeseran ini dinotasikan dengan C, C 2, dan C 3 tergantung pada panjang blok N b (Daemen & Rijmen, 22) seperti pada Tabel 2.5: N b C C 2 C 3 4 2 3 6 2 3 8 3 4 Tabel 2.6: Besarnya pergeseran baris pada shiftrows terhadap panjang blok. x x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ] [ x 7 ] + mod 2 [ ]

23 S S 4 S 8 S 2 S S 5 S 9 S 3 S 2 S 6 S S 4 S 3 S 7 S S 5 Tidak digeser Digeser C kali Digeser C 2 kali Digeser C 3 kali S S 4 S 8 S 2 S 5 S 9 S 3 S S S 4 S 2 S 6 S 5 S 3 S 7 S mixcolumns(state, Nb). C = {,, 2, 3 }; 2. if(nb > 6) 3. C = {,, 2, 4 }; 4. for (i ; i < Nb; i i + ) 5. for (j ; j < 4; j j + ) 6. block[i][j] = state[(i + C[j]) % Nb][j]; 7. return block; Transformasi mixcolumns Pada transformasi mixcolumns, setiap kolom pada state dapat dipandang sebagai polinomial dalam GF(2 8 ) dan dikalikan dengan polinomial tetap modulo x 4 +, yaitu: c(x) = 3x 3 + x 2 + x + 2. Polinomial ini adalah relatif prima untuk x 4 + dan memiliki invers (Daemen & Rijmen, 22). Misalkan b(x) = c(x) a(x), maka perkalian matriksnya adalah: b b b 2 2 [ ] = [ b 3 3 3 2 3 2 a a ] [ 3 a ] 2 2 a 3 Contoh: Misalkan state seperti berikut, dan akan dilakukan transformasi mixcolumns, D4 E B8 E 2 3 4 E 48 28 BF B4 4 27 5D 52 98. 2 3 2 3 = 66 CB F8 6 8 9 D3 26 3 AE F E5 3 2 E5 9A 7A 4C S = (D4 2) (BF 3) (5D ) (3 ) = 4 S = (D4 ) (BF 2) (5D 3) (3 ) = 66 S 2 = (D4 ) (BF ) (5D 2) (3 3) = 8 S 3 = (D4 3) (BF ) (5D ) (3 2) = 5E S 5 = (E 3) (27 ) (98 ) (E5 2) = 4C

24 Transformasi addroundkey Transformasi ini cukup sederhana, yaitu dengan melakukan operasi XOR terhadap cipher key dengan state. Cipher key diperoleh melalui proses key schedule, sebagian menyebut proses ini dengan ekspansi kunci. Panjang cipher key bervariasi tergantung dengan panjang kuncinya (Daemen & Rijmen, 22). Untuk AES 28-bit dengan state sebesar 4 word, diperlukan cipher key dengan panjang 44 word. Hal ini dikarenakan jumlah putarannya sebanyak kali, dengan setiap putaran diperlukan N k sebesar 4 word untuk dilakukan XOR terhadap state dengan besar yang sama (N b = 4 word). Dengan demikian, total panjang kunci adalah 4 word = 4 word ditambah dengan addroundkey yang pertama kali, sehingga 4 word + 4 word = 44 word. Hal yang sama untuk AES 92-bit dan AES 256-bit, panjang cipher key yang diperlukan masing-masing 52 word dan 6 word. Panjang state N b harus sama dengan panjang kunci N k, seperti berikut: 4 E 48 28 66 CB F8 6 8 9 D3 26 E5 9A 7A 4C A 88 23 2A FA 54 A3 6C = FE 2C 39 76 7 B 39 5 A4 68 6B 2 9C 9F 5B 6A 7F 35 EA 5 F2 2B 43 49

25 Start Nr, key, message cipherkey = keyschedule(key) addroundkey(message, key) i = subbytes(state, cipherkey[i]) False i < Nr - True subbytes(state, cipherkey[i]) shiftrows(state, cipherkey[i]) shiftrows(state, cipherkey[i]) i = i + addroundkey(state, cipherkey[i]) mixcolumns(state, cipherkey[i]) cipher addroundkey(state, cipherkey[i]) End Gambar 2.: Flowchart algoritma enkripsi AES. 2.3.4. Dekripsi Algoritma dekripsi AES adalah kebalikan dari algoritma enkripsi AES. Jumlah putaran tetap sama, hanya saja pada putaran pertama transformasi yang dilakukan adalah addroundkey, shiftrows, dan subbytes yang sama dengan kebalikan dari transformasi pada proses enkripsi AES di putaran terakhir. Sisa putaran selanjutnya dilakukan transformasi dengan urutan sebagai berikut: addroundkey, mixcolumns, shiftrows, dan subbytes.

26 Start Nr, key, cipher cipherkey = keyschedule(key) addroundkey(cipher, cipherkey[nr - ]) shiftrows(state, cipherkey[nr - ]) subbytes(state, cipherkey[nr - ]) i = Nr - 2 addroundkey(state, key) False i > - True addroundkey(state, cipherkey[i]) cipher mixcolumns(state, cipherkey[i]) End i = i - shiftrows(state, cipherkey[i]) subbytes(state, cipherkey[i]) Gambar 2.2: Flowchart algoritma dekripsi AES. Transformasi subbytes invers Sama seperti proses enkripsi, hanya saja transformasi subbytes invers pada proses dekripsi menggunakan tabel S-box invers yang diperoleh dari invers pemetaan affine, diikuti perkalikan invers dalam GF(2 8 ). Tabel 2.6 adalah tabel S-Box.

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abel 2.7: AES S-Box. Transformasi shiftrows invers Pada dekripsi, shiftrows invers ditransformasikan dengan arah yang berlawanan dengan shiftrows pada proses enkripsi. Jadi, arah pergeserannya adalah ke kanan. S S 4 S 8 S 2 S 5 S 9 S 3 S S S 4 S 2 S 6 S 5 S 3 S 7 S S S 4 S 8 S 2 S S 5 S 9 S 3 S 2 S 6 S S 4 S 3 S 7 S S 5 Transformasi mixcolumns invers Transformasi mixcolumns invers pada dekripsi sama seperti mixcolumns pada proses enkripsi, hanya saja setiap kolom state ditransformasikan dengan perkalian terhadap polinomial Bx 3 + Dx 2 + 9x + E. Yang memenuhi hukum invers: (3x 3 + x 2 + x + 2) (Bx 3 + Dx 2 + 9x + E) =, sehingga perkalian matriksnya adalah: b b b 2 E [ ] = [ 9 D b 3 B B E 9 D D B E 9 a 9 D a ] [ B a ] 2 E a 3

28 2.3.5. Key sechedule Round key berasal dari Cipher key dengan menggunakan proses Key schedule yang nantinya diperlukan pada transformasi addroundkey, di mana dilakukan proses XOR terhadap state dengan round key. Proses ini terdiri dari dua tahap, yaitu ekspansi kunci dan pemilihan round key. Prinsip dasarnya adalah sebagai berikut: Jumlah round key dalam bit adalah sama dengan panjang blok dikalikan dengan jumlah putaran ditambah satu. (Misalnya, untuk panjang blok 28 bit dan putaran, jumlah round key yang diperlukan sebesar 48 bit). Cipher key yang sudah diperbesar disebut Expanded key. Round key diambil dari expanded key dengan cara berikut: round key yang pertama diambil dari N b word pertama, round key yang kedua diambil dari N b word berikutnya, dan begitu seterusnya. Expanded key adalah array sebesar 4-byte word dan dilambangkan dengan W[N b (N r + )]. N k word pertama berisi cipher key, sementara word lainnya didefinisikan secara rekursif dalam word dengan indeks yang lebih kecil. Fungsi ekspansi kunci tergantung pada nilai N k. Dalam uraian ini, subbyte(w) adalah fungsi yang mengembalikan 4-byte word, di mana setiap byte adalah hasil dari penerapan Rijndael S-box terhadap byte yang posisinya sesuai dengan word masukan. Fungsi rotbyte(w) mengembalikan sebuah word di mana suatu word masukan (a, b, c, d) menghasilkan word keluaran (b, c, d, a). Pada N k pertama diisi dengan cipher key. Setiap word berikutnya W[i] adalah sama dengan XOR dengan word sebelumnya W[i ] dan N k word diposisikan dengan W[i N k ]. Untuk word dalam posisi yang merupakan kelipatan N k, transformasi dengan operasi XOR diterapkan terlebih dahulu terhadap W[i ] dengan dan konstanta putaran. Konstanta putaran ini didefinisikan dengan: Rcon[i] = [RC[i] ], di mana RC[i] mewakili elemen dalam GF(2 8 ) dengan nilai x i. Round key ke-i sama dengan word W[N b i] sampai W[N b (i + )] (Daemen & Rijmen, 22).

29 2.4. Algoritma Percobaan Bilangan Prima Miller-Rabin Teorema kecil Fermat menjelaskan bahwa jika p adalah bilangan prima, maka berlaku: a p (mod p), untuk setiap bilangan bulat a dan p a. Jika kedua sisi dikalikan dengan a, maka teorema Fermat akan menjadi a p a (mod p). Selanjutnya dikatakan bahwa a adalah witness terhadap n jika a n a (mod n). Witness terhadap n dikombinasikan dengan teorema Fermat cukup untuk membuktikan tanpa keraguan bahwa n adalah komposit. Sedangkan cara untuk menilai kemungkinan bahwa n adalah prima, dengan mencoba berbagai nilai a, a 2, a 3 dan seterusnya. Jika salah satunya adalah witness terhadap n, maka disimpulkan bahwa n adalah komposit. Akan tetapi jika di antaranya tidak ada witness terhadap n, maka n diduga adalah prima. Diketahui sebuah bilangan komposit 56 = 3 7, dan tentu saja bilangan ini memiliki witness. Dan ternyata setelah diteliti, bilangan tersebut tidak memiliki witness. Dengan kata lain a 56 a (mod 56), untuk setiap bilangan bulat a. Dialah R.D. Carmichael yang pada tahun 9 telah menemukan bilangan komposit yang tidak memiliki witness ini, dan dia menyebutnya dengan bilangan Carmichael. Dan pada tahun 984, Alford, Granville, dan Pomerance telah menemukan ada tak berhingga bilangan Carmichael. Jadi, teorema Fermat tidak lagi dapat mengungkap apakah n adalah (mungkin) prima atau komposit. Berikut adalah aturan-aturan dalam bilangan prima yang akan diformulasikan menjadi pengecekan bilangan prima Miller-Rabin dengan menyetujui bahwa setiap bilangan komposit memiliki sejumlah besar witness. Misalkan p adalah sebuah bilangan prima, maka p = 2 k q, q adalah bilangan ganjil. Misalkan a adalah bilangan bulat apapun yang tidak bisa dibagi dengan p, maka satu dari dua kondisi berikut adalah benar: a q (mod p). Salah satu dari a q, a 2q, a 4q,, a 2k q adalah kongruen modulo p. Definisi 2.2. Misalkan n adalah sebuah bilangan ganjil, maka n = 2 k q. Bilangan bulat a yang memenuhi gcd(a, n) = disebut witness Miller-Rabin terhadap n jika kedua kondisi berikut adalah benar:

3 a q (mod n). a 2iq (mod n), untuk setiap i =,, 2,, k (Hoffstein, et al. 28). Jika ada a yang merupakan witness Miller-Rabin terhadap n, maka dapat dipastikan n adalah bilangan komposit. Dan sedikitnya 75% bilangan antara dan - adalah witness Miller-Rabin terhadapa n. Miller-Rabin adalah algoritma pengecekan bilangan prima secara probabilistik terhadap n. Caranya adalah dengan menghitung n 2 k q (mod n). Lalu hitung a q (mod n), jika hasilnya kongruen, maka n mungkin prima. Tetapi, jika hasilnya tidak kongruen, maka hitung nilai dari setiap a q a 2q a 22q a 2k q (mod n). Jika pada salah satu nilai kongruen dengan, maka n mungkin prima. Dan jika sampai pada k tidak diperoleh nilai yang kongruen dengan, maka n adalah komposit. Misalkan bilangan ganjil n = 72947529 akan diperiksa apakah (mungkin) prima atau komposit dengan a = 7, maka n = 72947528 = 2 3 26844. Selanjutnya hitung 7 26844 (mod 72947529), maka a = 7 bukan witness Miller-Rabin terhadap n. Ganti a = 3, diperoleh 3 26844 (mod 72947529). Nilai a = 3 juga gagal menjadi witness Miller-Rabin terhadap n, ini berarti n mungkin prima. Akan tetapi jika dicoba dengan a = 23, 2 26844 46386 (mod 72947529), 2 2 26844 225765 (mod 72947529), 2 4 26844 (mod 72947529), diperoleh hasil yang berarti a = 23 adalah witness Miller-Rabin terhadap n, sehingga dapat disimpulkan bahwa n adalah bilangan komposit. Dan faktanya n adalah bilangan Carmichael (Hoffstein, et al. 28).

3 2.5. Elliptic Curve (Kurva Eliptik) Kurva eliptik adalah himpunan solusi dalam bentuk persamaan: Y 2 = X 3 + AX + B. Persamaan jenis ini disebut persamaan Weierstrass, seorang ahli matematika yang telah mempelajarinya secara ekstensif selama abad ke-9. Gambar 2.3 adalah dua contoh kurva eliptik, E : Y 2 = X 3 3X + 3 dan E 2 : Y 2 = X 3 6X + 5. E : Y 2 = X 3 3X + 3 E 2 : Y 2 = X 3 6X + 5 Gambar 2.3: Dua contoh kurva eliptik Sebuah fitur yang mengagumkan dari kurva eliptik adalah bahwa ada cara alami untuk mengambil dua buah titik pada sebuah kurva eliptik dan "menambahkan"-nya untuk menghasilkan titik ketiga. Cara yang paling tepat untuk menggambarkan hukum "penambahan" pada kurva eliptik ini adalah dengan menggunakan geometri. Gambar 2.4: Hukum penambahan pada kurva eliptik. Misalkan P dan Q adalah dua titik pada kurva eliptik E, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.4. Jika ada garis L melalui titik P dan Q, maka garis ini akan memotong E di tiga titik, yaitu P, Q, dan satu titik lainnya R. Selanjutnya, titik R ini dicerminkan terhadap sumbu X (dengan mengalikan koordinat Y dengan ) untuk mendapatkan titik yang baru, R. Titik R ini adalah hasil "penambahan" dari P dan Q

32 yang tidak sama seperti proses penambahan pada umumnya. Hukum penjumlahan ini dilambangkan dengan. Sehingga dapat ditulis P Q = R (Hoffstein, et al. 28). Contoh 2.2. Misalkan kurva eliptik E sebagai berikut: Y 2 = X 3 5X + 8 () Titik P = (7, 6) dan Q = (, 2) berada di kurva E. Persamaan garis L yang menghubungkan kedua titik itu adalah L Y = 7 3 X 3 (2) Untuk mencari titik-titik di mana kurva E dan garis L berpotongan, substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (), sehingga: ( 7 3 X 3 ) 2 = X 3 5X + 8 49 9 X2 4 9 + 9 = X3 5X + 8 = X 3 49 9 X2 2 6 X + 9 9 Selanjutnya, perlu ditemukan akar kubik dari persamaan polinomial ini. Secara umum, menemukan akar kubik sangat sulit. Namun, dalam hal ini dua akar sudah diketahui, yaitu X = 7 dan X =, karena P dan Q berada di perpotongan E L. Hal ini menjadi mudah untuk menemukan akar yang lain, X 3 49 9 X2 2 6 X + 9 9 = (X 7) (X ) (X + 23 9 ) sehingga titik ketiga dari perpotongan garis L dan kurva E memiliki koordinat X sama dengan 23 9. Selanjutnya mencari koordinat Y dengan menyubstitusikan X = 23 9 ke dalam persamaan (2), sehingga diketahui titik R = ( 23, 7 ). Terahir, refleksikan titik 9 R ini dengan sumbu X untuk mendapatkan P Q = ( 23 9, 7 27 ) Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan pada penambahan kurva eliptik. Bayangkan apa yang terjadi pada garis L yang menghubungkan titik P dan Q, jika titik Q digeser sepanjang kurva dan semakin dekat ke titik P. Dalam limit Q mendekati P, garis L akan menjadi garis tangen pada kurva E di titik P. Jadi, dapat dikatakan titik P ditambahkan ke dirinya sendiri. Untuk menambahkan titik P dengan P, garis L harus menjadi garis tangen terhadap kurva E di titik P, seperti pada Gambar 2.5. Maka garis 27

33 L memotong E di titik P dan satu titik lainnya, R. Sama seperti sebelumnya, garis L tetap memotong kurva E di tiga titik, namun P dihitung sebagai dua di antaranya. L menjadi garis tangen kurva E di titik P Gambar 2.5: Penambahan titik P dengan dirinya sendiri. Melanjutkan dengan kurva E dan titik P pada Contoh 2.2 untuk menghitung P P, kemiringan λ dapat dihitung dengan diferensiasi dari persamaan (). 2Y dy dx = 3X2 5, dy dx = 3X2 5 2Y Dengan menyubstitusikan titik P = (7, 6), diperoleh kemiringan λ = 33 8. Jadi, persamaan garis tangen E di titik P adalah: L: Y = 33 8 X 3 8 Sekarang substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan () untuk kurva E, sederhanakan, lalu faktorkan: ( 33 2 3 X 8 8 ) = X 3 5X + 8 X 3 89 64 X2 + 299 9457 X + 32 64 = (X 7) 2 (X 93 64 ) = Koordinat X pada titik P, yaitu X = 7, muncul sebagai akar kuadrat dari polinomial kubik, sehingga mudah untuk mencari akar ketiga. Akhirnya, substitusikan X = 93 64 223 ke persamaan (3) pada garis L, sehingga didapatkan Y =, lalu ganti tanda pada Y untuk mendapatkan P P = ( 93 64, 223 52 ) 52 (3)

34 Muncul permasalahan pada "hukum penambahan" jika mencoba untuk menambahkan titik P (a, b) dengan refleksinya dengan sumbu X, yaitu P (a, b). Garis L yang melalui titik P dan P adalah garis vertikal X = a, dan garis ini memotong kurva E hanya di dua titik, yaitu P dan P. Tidak ada titik ketiga yang memotong kurva, sehingga tampak terjebak dalam permasalahan ini. Tapi, sebenarnya inilah jalan keluarnya. Solusinya adalah dengan membuat titik tambahan, O yang ada di "tak terhingga". Lebih tepatnya titik O tidak ada dalam koordinat XY, tapi diandaikan bahwa titik ini terletak di sepanjang garis vertikal. Selanjutnya ditetapkan P P = O Garis L yang menghubungkan P ke O adalah garis vertikal yang melalui titik P dan O yang diandaikan ada dan terletak di sepanjang garis vertikal dan garis vertikal ini memotong kurva E pada titik-titik P, O, dan P (a, b). Untuk menambahkan P dengan O, refleksikan P pada sumbu X yang mendapat kembali titik P. Dengan kata lain, P O = P. Jadi, O bertindak seperti nol pada penjumlahan kurva. Gambar 2.6: Garis vertikal L yang melalui P(a, b) dan P (a, b). Maka dapat diambil kesimpulan baru, kurva eliptik E adalah himpunan solusi untuk persamaan Weierstrass E: Y 2 = X 3 + AX + B bersama dengan titik tambahan O, di mana konstanta A dan B harus memenuhi 4A 3 + 27B 2. Hukum penambahan pada kurva E didefinisikan sebagai berikut: misalkan P dan Q adalah dua titik pada kurva E, dan L adalah garis yang menghubungkan P dan Q, atau garis singgung terhadap E di titik P jika P = Q. Kemudian perpotongan E dengan L terdiri dari tiga titik P, Q, dan R, dan dengan pemahaman bahwa O diandaikan

35 ada dan terletak di sepanjang garis vertikal. Jika R (a, b) adalah hasil penjumlahan dari P dan Q yang didefinisikan sebagai pencerminan dari R terhadap sumbu X, yaitu R (a, b). Penjumlahan ini dinotasikan dengan P Q, atau hanya dengan P + Q (Hoffstein, et al. 28). Selanjutnya, jika P = (a, b), maka refleksi P terhadap sumbu X dapat dinotasikan dengan P = (a, b), atau hanya dengan P, dan dapat didefinisikan P Q (atau P Q) menjadi P ( Q). Demikian pula, penambahan berulang dapat direpresentasikan sebagai perkalian suatu titik dengan integer (Hoffstein, et al. 28), np = P + P + P + + P n kali Hasil dari E = 4A 3 + 27B 2 disebut diskriminan E. Kondisi E adalah setara dengan kondisi bahwa polinomial kubik X 3 + AX + B tidak memiliki akar yang diulang, yaitu jika X 3 + AX + B difaktorkan secara lengkap menjadi: X 3 + AX + B = (X e )(X e 2 )(X e 3 ) di mana e, e 2, e 3 adalah bilangan kompleks, kemudian 4A 3 + 27B 2 jika dan hanya jika e, e 2, dan e 3 semua berbeda. Kurva dengan E = memiliki titik tunggal. Hukum penambahan tidak bekerja dengan baik pada kurva tersebut. Itulah sebabnya mengapa diperlukan kondisi E dalam sebuah kurva eliptik. Teorema 2.5. Misalkan E menjadi kurva eliptik, maka hukum penambahan E memiliki sifat sebagai berikut: a) P + O = O + P = P untuk semua P E. (Identitas) b) P + ( P) = O untuk semua P E. (Invers) c) (P + Q) + R = P + (Q + R) untuk semua P, Q, R E. (Asosiatif) d) P + Q = Q + P untuk semua P, Q E. (Komutatif) Dengan kata lain, hukum penambahan menjadikan titik-titik pada E menjadi grup abelian (Hoffstein, et al. 28). Teorema 2.6: (Algoritma Penambahan pada Kurva Eliptik). Misalkan E: Y 2 = X 3 + AX + B adalah sebuah kurva eliptik, dan misalkan P dan P 2 adalah titik-titik pada E. Maka: a) Jika P = O, maka P + P 2 = P 2. b) Sebaliknya, jika P 2 = O, maka P + P 2 = P.

36 c) Sebaliknya, nyatakan P = (x, y ) dan P 2 = (x 2, y 2 ). d) Jika x = x 2 dan y = y 2, maka P + P 2 = O. e) Sebaliknya, definisikan λ dengan: y 2 y, jika P x 2 x P 2 λ = 3x 2 + A, jika P { 2y = P 2 lalu tentukan x 3 = λ 2 x x 2 dan y 3 = λ(x x 3 ) y. Maka P + P 2 = (x 3, y 3 ) Untuk bagian (e), diketahui bahwa jika P P 2, maka λ adalah kemiringan garis yang melalui P dan P 2, dan jika P = P 2, maka λ adalah kemiringan garis singgung di P = P 2. Dalam kedua kasus, garis L diberikan oleh persamaan Y = λx + v dengan v = y λx. Dengan menyubstitusikan persamaan garis L ke dalam persamaan untuk E, maka: (λx + v) 2 = X 3 + AX + B X 3 λ 2 X 2 + (A 2λv)X + (B v 2 ) = X 3 λ 2 X 2 + (A 2λv)X + (B v 2 ) = (X x )(X x 2 )(X x 3 ) Koefisien X 2 di sisi kanan adalah x x 2 x 3, yang sama dengan λ 2, koefisien X 2 di sisi kiri. Dengan demikian dapat diperoleh: λ 2 = x x 2 x 3 x 3 = λ 2 x x 2, dan kemudian untuk mendapatkan koordinat Y dari titik ketiga yang memotong kurva E adalah: y 3 = λx 3 + v y 3 = λx 3 + y λx y 3 = λ(x 3 x ) + y Akhirnya untuk mendapatkan P + P 2, refleksikan y 3 terhadap sumbu X yang berarti mengalikan koordinat Y dengan, y 3 = λ(x x 3 ) y (Hoffstein, et al. 28). 2.5.. Kurva eliptik dalam finite field Untuk menerapkan teori kurva eliptik ke dalam kriptografi, hanya perlu melihat kurva eliptik di mana titik-titiknya memiliki koordinat dalam finite field F p. Secara sederhana, persamaan kurva eliptik dalam finite field F p dapat didefinisikan dalam bentuk: E: Y 2 = X 3 + AX + B

37 di mana A, B F p harus memenuhi kondisi 4A 3 + 27B 2, kemudian titik-titik pada E dengan koordinatnya dalam F p, dapat dinotasikan sebagai E(F p ) = {(x, y) x, y ϵ F p memenuhi y 2 = x 3 + Ax + B} {O}. Misalkan sebuah kurva eliptik E Y 2 = X 3 + 3X + 8 dalam finite field F 3. Titik-titik pada E(F 3 ) dapat ditemukan dengan menyubstitusikan semua kemungkinan nilai X =,, 2,, 2 dan melihat nilai X mana yang sama dengan kuadrat dari X 3 + 3X + 8 (mod 3). Misalkan, untuk X =, maka X 3 + 3X + 8 = () 3 + 3() + 8 = 8, dan X 2 8 (mod 3). Selanjutnya untuk X =, maka 3 + 3() + 8 = 2 dan merupakan kuadrat modulo 3. Pada kenyataannya, nilai tersebut selalu memiliki dua akar kuadrat, yaitu: 5 2 2 (mod 3) dan 8 2 2 (mod 3). Hasilnya adalah dua titik (, 5) dan (, 8) pada E(F 3 ). Dan berikut adalah daftar seluruh titik pada E(F 3 ), E(F 3 ) = { O, (, 5), (, 8), (2, 3), (2, ), (9, 6), (9, 7), (2, 2), (2, ) }. Jadi, E(F 3 ) terdiri dari 9 buah titik atau #E(F 3 ) = 9. Selanjutnya, gunakan algoritma penambahan dua buah titik untuk menambahkan titik P = (9, 7) dan Q = (, 8) pada E(F 3 ). Langkah pertama adalah hitung kemiringan garis, λ. Karena P P 2, maka: λ = y 2 y x 2 x = 8 7 9 = 8 5 (mod 3) 8 (mod 3) Selanjutnya hitung: v = y λx = 7 8(9) = 65 (mod 3). Terakhir hitung x 3 dan y 3 yang merupakan koordinat dari titik hasil penambahan P dan Q, x 3 = λ 2 x x 2 = 64 9 = 54 2 (mod 3) y 3 = (λx 3 + v) = (8(2) + ) = 6 (mod 3) Jadi, P + Q = (, 8) + (9, 7) = (2, ) dalam E(F 3 ). Demikian pula, jika ingin menambahkan P = (9, 7) ke dirinya sendiri. Karena P = P 2, maka hitung λ dengan: kemudian hitung: λ = 3x 2 + A = 3(92 ) + 3 = 246 (mod 3) 2y 2(7) 4 x 3 = λ 2 x x 2 = 9 9 = 7 9 (mod 3) y 3 = λ(x x 3 ) y = (9 9) 7 = 7 6 (mod 3). Jadi, P + P = (9, 7) + (9, 7) = (9, 6) dalam E(F 3 ).

38 Hal ini jelas bahwa himpunan titik-titik E(F p ) adalah himpunan berhingga, karena banyaknya kemungkinan untuk koordinat X dan Y juga berhingga. Lebih tepatnya ada kemungkinan p untuk X, dan untuk setiap X dalam persamaan Y 2 = X 3 + AX + B menghasilkan paling banyak dua kemungkinan nilai untuk Y. Penambahan dengan titik O menunjukkan bahwa E(F p ) memiliki paling banyak 2p + titik. Namun, perkiraan ini jauh lebih besar dari ukuran sebenarnya. (Hoffstein, et al. 28) 2.5.2. Masalah logaritma diskrit kurva eliptik Kriptografi kurva eliptik pertama kali dikembangkan oleh Neal Koblitz dan Victor S. Miller pada tahun 985. Untuk menciptakan sistem kriptografi berdasarkan masalah logaritma diskrit dalam finite field F p, publikasikan dua buah parameter g dan h, dan parameter rahasianya adalah pangkat x yang memenuhi kongruensi h g x (mod p). Selanjutnya parameter g dan h dapat dipandang sebagai anggota dari group F p, maka parameter rahasia x dapat ditemukan sedemikian rupa sehingga h g g g g (mod p). x kali Dengan kata lain, untuk mendapatkan h perlu menentukan berapa kali g harus dikalikan. Dengan formulasi ini, jelas bahwa Alice dapat melakukan hal yang sama dengan titik-titik pada group E(F p ) dari sebuah kurva elips E dalam finite field F p. Alice memilih dan memublikasikan dua buah titik P dan Q dalam E(F p ), dan parameter rahasianya adalah sebuah bilangan bulat n yang membuat Q = P + P + P + + P = np. n kali penambahan Kemudian Eve perlu mencari tahu berapa kali titik P harus ditambahkan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan Q. Meskipun "hukum penambahan" pada kurva eliptik secara konvensional ditulis dengan tanda tambah, penambahan pada E sebenarnya operasi yang sangat rumit, sehingga masalah kurva eliptik ini dapat dianalogikan dengan masalah logaritma diskrit yang mungkin cukup sulit untuk dipecahkan. Definisi 2.. Misalkan E adalah kurva eliptik dalam finite field F p, lalu P dan Q menjadi titik-titik di E(F p ). Masalah logaritma diskrit kurva eliptik adalah masalah

39 menemukan bilangan bulat n sedemikian rupa sehingga Q = np. Dengan menganalogikan masalah logaritma diskrit untuk F p, bilangan bulat n dapat dinotasikan sebagai n = log P (Q), dan n dapat disebut logaritma diskrit eliptik Q terhadap P (Hoffstein, et al. 28). Definisi log P (Q) tidak cukup tepat. Kesulitan pertama adalah bahwa mungkin ada titik-titik P, Q E(F p ), tetapi Q bukan kelipatan dari P. Dalam kasus ini, log P (Q) tidak terdefinisi. Namun untuk tujuan kriptografi, log P (Q) ada dan nilainya adalah parameter rahasia milik Alice. Kesulitan kedua adalah bahwa jika ada suatu nilai n yang memenuhi Q = np, maka ada banyak nilai untuk n. Untuk memahaminya, pertama perhatikan bahwa ada bilangan bulat positif s sehingga sp = O. Karena E(F p ) adalah berhingga, maka titik P, 2P, 3P, seluruhnya tidak bisa menjadi berbeda. Oleh karena itu, ada bilangan bulat k > j, sehingga kp = jp dan s = k j. Bilangan terkecil di mana s disebut order dari P. Jadi, jika s adalah order dari P dan jika n adalah bilangan bulat apapun di mana Q = n P, maka solusi Q = np adalah bilangan bulat n = n + i s dengan i Z. Ini berarti bahwa nilai log P (Q) adalah anggota Z/sZ, yaitu log P (Q) yang merupakan bilangan bulat modulo s, di mana s adalah order dari P. Keuntungan dari mendefinisikan nilai-nilai menjadi Z/sZ adalah bahwa logaritma diskrit eliptik akan memenuhi log P (Q + Q 2 ) = log P (Q ) + log P (Q 2 ) untuk semua Q, Q 2 E(F p ). 2.6. Elliptic Curve ElGamal Public Key Cryptosystem Sangat mudah untuk membuat analogi langsung sistem kriptografi kunci publik ElGamal terhadap kriptografi kurva eliptik. Secara singkat, Alice dan Bob setuju untuk menggunakan bilangan prima tertentu p, kurva eliptik E, dan titik P E(F p ). Alice memilih pengali rahasia n A dan memublikasikan titik Q A = n A P sebagai kunci publiknya. Pesan rahasia Bob adalah titik M E(F p ), dia memilih sebuah bilangan bulat k untuk dijadikan kunci ephemeral dan menghitung C = kp dan C 2 = M + kq A. Bob mengirimkan dua titik (C, C 2 ) ke Alice, yang akan digunakan untuk menghitung C 2 n A C = (M + kq A ) n A (kp) = M + k(n A P) n A (kp) = M dan mendapatkan kembali pesan rahasia.

4 Pembuatan Parameter Publik Bangkitkan sebuah bilangan prima p yang besar. Bangkitkan sebuah persamaan kurva eliptik E dalam F p. Pilih sebuah titik P E(F p ). Bob Alice Pilih sebuah kunci rahasia n A. Meminta kunci publik Hitung Q A = n A P E(F p ). Kirim kunci publik Q A Pilih plaintext M E(F p ). Pilih sebuah kunci ephemeral k. Gunakan kunci publik Q A dari Alice untuk menghitung: C = kp E(F p ) C 2 = M + kq A E(F p ). Hitung C 2 n A C E(F p ) untuk mendapatkan pesan M. Kirim cipher C dan C 2 Gambar 2.7: Sistem kriptografi kunci publik ElGamal kurva eliptik.