1 Penusun Editor : Rifan Nadhifi, S.Si. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelna satu. suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah himpunan pasangan titik (,) ang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. dari pertidaksamaan a + b c dapat ditentukan dengan metode grafik dan uji titik, dengan langkah-langkah sebagai berikut : (i) Gambar garis a + b = c (ii) Uji titik : ambil sembarang titik diluar garis a + b = c kemudian substitusikan ke pertidaksamaan a + b c, jika : a. BENAR, maka adalah daerah ang memuat titik tersebut dengan batas garis a + b = c b. SALAH, maka adalah daerah ang TIDAK memuat titik tersebut dengan batas garis a + b = c Contoh Tentukan daerah himpunan penelesaian dari 4 + 5 2 Jawab : 4 + 5 = 2 5 4 Garis 4+5 = 2 ang tampak pada gambar membagi bidang menjadi 2 daerah (,4) (5,) Untuk mengetahui daerah penelesaian, misalkan kita ambil titik diluar garis aitu titik (,) subtitusikan ke pertidaksamaan 4 + 5 2 4() + 5() 2 2 Benar Daerah tempat titik (,) berada merupakan daerah himpunan Penelesaian (daerah ang diarsir) Beberapa pertidaksamaan ang sering dipakai antara lain : 2 2 1 3 1 3
www.matematika-pas.blogspot.com 2 5 4 4 5 Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear. suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah himpunan pasangan titik (,) ang memenuhi semua pertidaksamaan linear tersebut. Contoh + 14 3 2 12 Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan Jawab : + = 14 3 2 = 12 14 14 4 6 kanan sumbu Uji titik diluar garis misal (,) Uji titik diluar garis misal (2,1) + 14 3 2 12 atas sumbu + 14 3.2 2.1 12 14 Benar 4 12 Salah (,14) (2,1) (4,) ( 6,) 3 2 = 12 (14,) Lihat garis + = 14, karena uji titik (,) benar maka adalah daerah ang memuat titik (,). Lihat garis 3 2 = 12, karena uji titik (2,1) salah maka adalah daerah ang tidak memuat titik (2,1). daerah tidak boleh negatif (kanan sumbu ). daerah tidak boleh negatif (atas sumbu ). Daerah ang memenuhi keempat pertidaksamaan disebut sistem pertidaksamaan. Latihan 1 Tentukan himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut: 1. 2 + 5 2 ; ; ;, Є R 2. 5 + 8 4 ; ; ;, Є R 3. 2 + 12 ; 4 + 3 12 ; ; ;, Є R 4. + 25 ; 2 + 4 ; ; ;, Є R 5. + 3 6 ; 4 + 8 ; ; ;, Є R 6. + 2 6 ; 3 + 9 ; ; ;, Є R + = 14
3 Menentukan pertidaksamaan linear apabila grafikna diketahui (i) Tentukan persamaan garisna Garis melalui dua titik aitu ( 1, 1 ) dan ( 2, 2 ) ; rumus persamaan garis lurusna : 1 = 1 ; sesuaikan hasilna dalam bentuk : a + b = c 2 1 2 1 (ii) Uji titik sembarang diluar garis pada daerah ang diarsir. Substitusi titik tersebut ke persamaan a + b = c kemudian sesuaikan tandana atau atau > atau < berdasarkan hasil ruas kiri terhadap ruas kanan. (iii) Jika terdapat lebih dari satu pertidaksamaan (sistem pertidaksamaan linear) maka ulangi langkah (i) dan (ii) untuk masing-masing garis. (iv) Beberapa cara cepat menentukan persamaan garis bila memotong sumbu dan sumbu aitu : a Tips Menentukan Persamaan Garis Berdasarkan Grafikna b b a a a b b a + b = ab a + b = ab a b = ab a b = ab Contoh Tentukan pertidaksamaan linear ang sesuai dengan grafik di bawah! Jawab: (i) persamaan garis melalui titik ( 2, 1) dan (3, 2) 1 = 1 (,3) 2 1 2 1 2 1 ( 2) = 2 1 3 ( 2) 1 + 2 1 = 1 5 5 ( 1) = + 2 2 3 5 5 = + 2 + 5 = 2 + 5 + 5 = 7 (ii) Substitusi titik (,3) berada diluar garis dan didalam daerah arsiran ke persamaan : + 5 = 7 + 5.3 = 7 15 = 7 Dari hasil diatas dan karena garis penuh maka tanda ang sesuai adalah Jadi pertidaksamaan linearna + 5 7
4 Contoh Tentukan sistem pertidaksamaan linear ang sesuai dengan grafik di bawah! Jawab Garis p garis p a b = ab 6 3 4 = (3.4) 3 4 = 12 Substitusi titik (2,1) diluar garis p di dalam arsiran 3 garis q 3.2 4.1 = 12 (2,1) 2 = 12 Tanda ang sesuai adalah, sehingga 3 4 12 4 5 Garis q a + b = ab 6 + 5 = 6.5 6 + 5 = 3 Substitusi titik (2,1) diluar garis q di dalam arsiran 6.2 5.1 = 3 7 = 3 Tanda ang sesuai adalah, sehingga 6 + 5 3 Lihat daerah ang diarsir Daerah sebelah kiri sumbu tidak diarsir maka tidak boleh negatif sehingga Daerah sebelah bawah sumbu tidak diarsir maka tidak boleh negatif sehingga 3 4 12 6 + 5 3 Jadi sistem pertidaksamaan ang sesuai adalah Latihan 2 1. Tentukan pertidaksamaan linear ang sesuai dengan grafik berikut : a. b. c. 4 3 5 1 5 4 3 2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear ang sesuai dengan grafik berikut : a. b. c. 7 6 4 2 1 3 8 3 5 2 4 2
5 B. Program Linear Program linear adalah bagian matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimumkan / meminimumkan) suatu tujuan. Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif adalah fungsi f(,) = a + b ang hendak dioptimumkan. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan : (i) metode titik pojok (titik ekstrem) Titik ekstrem adalah titik-titik pojok pada daerah penelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai optimum didapat dengan cara menghitung nilai fungsi objektif f(,) = a + b untuk setiap titik ektrem pada daerah himpunan penelesaian. (ii) garis selidik Garis selidik dari fungsi objektif f(,) = Z = a + b mempunai persamaan a + b = k. Dengan mengambil beberapa nilai k akan diperoleh himpunan garisgaris saling sejajar ang dinamakan garis selidik.satu diantara garis-garis selidik tersebut akan melalui suatu titik ang mengakibatkan nilai bentuk objektif mencapai optimum. Contoh : + 25 2 + 4 Tentukan nilai maksimum Z = 1 + 15 pada sistem pertidaksamaan untuk setiap, Є R Jawab : + = 25 (,4) 2 + = 4 25 25 2 + = 4 C(,25) B(15,1) + = 25 2 4 (25,) Koordinat titik B (titik potong kedua garis) A(2,) 2 + = 4 + = 25 Titik Ekstrem Z = 1 + 15 = 15 O (, ) Z = 1. + 15. = Sustitusi ke: + = 25 A (2, ) Z = 1.2 + 15. = 2 = 25 B (15, 1) Z = 1.15 + 15.1 = 3 = 25 15 = 1 C (, 25) Z = 1. + 15.25 = 375 Koordinat titik B (15,1) Jadi nilai maksimum Z adalah Z maks = 375 dicapai di titik C(, 25)
6 Contoh : Dengan menggunakan metode garis selidik, tentukan nilai minimum Z = 5 + 4 pada + 18 + 2 26 sistem pertidaksamaan ; untuk setiap, Є R Jawab : Metode garis selidik mengharuskan menggambar grafik harus sesuai dengan proporsina/perbandinganna (disarankan menggunakan kertas Persamaan garis selidik 5 + 4 = k Garis g 1 Misal nilai k = 8 sehingga persamaan g 1 adalah 5 + 4 = 8 berpetak/strimin) 16 + = 18 2 18 Garis g 2 18 Misal nilai k = 1 sehingga persamaan + 2 = 26 g 2 adalah 5 + 4 = 1 26 2 13 25 Koordinat titik B (titik potong kedua garis) + 2 = 26 + = 18 = 8 Sustitusi ke: + = 18 = 18 = 18 8 = 1 Koordinat titik B (1,8) Lihat gambar, nilai k semakin besar bila garis selidik digeser ke kanan dan sebalikna jika garis selidik digeser ke kiri maka nilai k semakin kecil. Pada daerah penelesaian, jika digeser kekiri titik C(,18) adalah titik terakhir ang dilalui garis selidik sehingga nilai minimum Z dicapai di titik C dengan Z min = 5 + 4 = 5. + 4.18 = 72.
7 Latihan 3 1. Diketahui Z=1+8. Tentukan nilai minimum dari Z pada daerah penelesaian sistem pertidaksamaan: 5 + 3 3 ; 2 + 11 ; ; ;, Є R 2. Tentukan nilai minimum dari Z = 1 + 15 untuk + 2 8, 3 + 2 12,,,, Є R 3. Diketahui Z = 1 + 3. tentukan nilai maksimum dari Z jika + 15, + 2 2,,,, Є R 4. Tentukan nilai maksimum fungsi objektif f(,) = 4 + 3 dari sistem pertidaksamaan : 2 + 11 ; + 2 1 ; ; C. Program Linear dan Model Matematika Dalam memecahkan pengoptimalan terdapat kendala-kendala / batasan-batasan ang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear (model matematika). Contoh : P.T Ribut bermaksud membeli dan menimpan dua jenis barang A dan B. setiap barang A biaa Rp 2,- dan menempati seluas,2 m 2, setiap barang B biaa Rp 3,- dan menempati seluas,1 m 2. Perusahaan itu menediakan Rp 1.2.,- untuk membeli barang-barang dan 8 m 2 luas lantai untuk penimpananna. Buat model matematika dan grafikna. Jawab : Misal : barang A = barang B = Maka model matematikana: 1. 2 + 3 1.2. atau 2 + 3 1.2 2.,2 +,1 8 atau 2 + 8 3. karena, merupakan bilangan bulat dan tidak negatif 4. karena, merupakan bilangan bulat dan tidak negatif Grafik : Y 1. 2 + 3 = 1.2 2 + = 8 6 8 4 4 2. 2 + = 8 2 + 3 = 12 4 HP 8 6 X 4 Contoh Seorang ingin mengirimkan barang dagangna ang terdiri atas 12 kursi lipat dan 4 meja lipat, untuk keperluan tersebut ia akan menewa truk dan colt. Truk dapat memuat 3 kursi lipat dan 2 meja lipat, sedangkan colt memuat 4 kursi lipat dan 1 meja lipat. Ongkos sewa truk Rp. 1.,- sedangkan sewa colt Rp. 8.,- Tentukan : a. Model matematikana b. Fungsi objektif c. himpunan penelesaian () d. Banakna truk dan colt ang harus disewa agar ongkos seminimal mungkin
Jawab : Misal : Truk = Colt = a. Model matematikanna 1) 3 + 4 12 3 + 4 12 2) 2 + 1 4 2 + 4 3) 4) b. Fungsi objektif Z = 1 + 8 c. Daerah HP (grafik) 3 + 4 = 12 4 3 2 + = 4 2 4 www.matematika-pas.blogspot.com 8 Y C (,4) 4 C (,11) 3 B (8,24) A (4,) X 2 4 d. Banak truk dan colt ang harus disewa agar ongkas seminimal mungkin Titik potong 3 + 4 = 12 1 3 + 4 = 12 2 + = 4 4 8 +4 = 16 5 = 4 = 8 = 8 substitusikan (2) 2 + = 4 2.8 + = 4 16 + = 4 = 4 16 = 24 Titik potongna adalah (8,24) Titik Ekstrem Z = 1 + 8 A (4, ) Z = 1.4 + = 4.. B (8, 24) Z = 1.8 + 8.24 = 2.72. C (, 4) Z = + 8.4 = 3.2. Jadi minimal ongkos angkutan Rp.2.72. dengan jumlah truk = 8 dan colt = 24 Latihan 4 1. Makan jenis A dibuat dari 4 ons tepung dan 2 ons mentega. Sedangkan Makan jenis B dibuat dari 2 ons tepung dan 3 ons mentega, jika tersedia 6 kg tepung dan 4 kg mentega, tentukan model matematikana! 2. Luas daerah parkir 6 m 2. luas rata-rata sebuah Sedan 6m 2 dan sebuah Bus 24m 2 Jika derah parkir itu tidak dapatmemuat lebih dari 45 kendaraan, banak mobil sedan buah dan banak bus buah maka tentukan model matematikana!
9 3. Sebuah pesawat terbang mempunai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang, setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 6 kg dan setiap penumpang kelas ekonomi bagasina dibatasi 2 kg, pesawat itu hana dapat membawa bagasi 1,44 kg.tentukan model matematikana dari pernataan tersebut! 4. Sebuah Kramik A membutuhkan 15 grm tanah liat jenis I dan 5 grm jenis II, Kramik bentuk B membutuhkan tanah liat 75 grm jenis I dan 75 grm jenis II, Jika tersedia 3 kg tanah liat jenis I dan 1,5 kg liat jenis II,akan dibuat sebanakbaakna dari kedua jenis kramik tersebut. Tentukan model matematikana! 5. Seorang penjahit mempunai 65 m bahan katun dan 95 m bahan wol. Satu baju model A memerlukan.5 m katun dan 1.5 m wol sedangkan satu baju model B memerlukan 2 m untuk masing-masing bahan. Tentukan model matematikana! 6. Seorang pengusaha ingin menewakan rumah kepada 54 orang mahasiswa. Pengusaha tersebut membagun rumah tidak lebih dari 12 rumah angterdiri atas tipe I (untuk 4 orang) di sewakan Rp.9.,-/ bulan dan tipe II (untuk 6 orang) disewakan Rp. 17.,- / bulan. Buatlah model matematikana! 7. Seorang agen akan membeli 25 buah Sandal. Ia ingin membeli sandal biasa seharga @ Rp3. dan sepatu sandal @ Rp 4. jumlah uang ang ia miliki hana Rp. 84.,- a. Tulislah 4 buah pertidaksamaan dalam dan b. Perlihatkan dengan grafik HP c. Apabila agen mengharapkan laba Rp. 1. setiap sandal biasa dan Rp. 12. setiap sepatu sandal. Tentukan masing-masing jenis sandal ang harus dibeli. d. Berapa laba maksimumna? 8. Sebuah rumah sakit memerlukan 15 unit kalori dan 13 unit protein untuk setiap pasien perharina. Apabila setiap kg daging sapi mengandung 5 unit kalori dan 2 unit protein. Sedangkan setiap 1 ikan segar mengandung 3 unit kalori dan 4 unit protein. Harga 1 daging sapi Rp. 3. sedangkan harga 1 kg ikan segar Rp. 15.,-. Tentukan biaa minimal kebutuhan 1 orang pasien perhari pada rumah sakit tersebut! == ooo ==
1 EVALUASI (waktu : 2 45 menit) I. Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, dan d pada jawaban ang paling benar! 1. Luas daerah ang di batasi oleh 1 5 dan 4 4 a. 16 satuan luas b. 1 satuan luas c. 12 satuan luas d. 8 satuan luas 2. = Daerah ang diarsir pada grafik di samping adalah.. a. -, -3 + 5 15, b. +, -3 + 5 15, c. -, -3-5 15, d. +, -3-5 15, (,3) (-5,) 3. 6 4 C (,11) Nilai minimum dari P = 5 + 3 pada daerah ang diarsir pada gambar di samping adalah a. 14 b. 16 c. 15 d. 18 2 4 4. Nilai maksimum dari P = 2 + 3 pada sistem pertidaksamaan 3 + 72, + 48,, adalah a. 48 b. 96 c. 15 d. 144 5. = 2 Daerah ang disampingadalah himpunan penelesaian dari a. 3 + 4 12,, b. 3 + 4 12,, c. 3 + 4 12, 1, 2 d. 1, 2, 3 + 4 12, =1 3+4 = 12
11 6. Diketahui luas suatu daerah parkir 36 m 2, luas rata-rata sebuah mobil 6 m 2 dan untuk sebuah Bus 24 m 2. daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 25 kendaraan. Jika banakna mobil dan banakna Bus maka model matematika dari persoalan tersebut adalah a. + 4 6, + 25,, b. 4 + 6, + 25,, c. 4 + 6, + 25,, > d. + 4 6, + 25,, > 7. Nilai minimum dari P = 15 + 1 ang memenuhi sarat-sarat 3 + 6, + 3,, adalah a. 35 b. 37 c. 37,5 d. 45 8. Untuk Membuat roti jenis I memerlukan tepung 1 grm dan mentega 25 gram. Untuk membuat roti jenis II memerlukan tepung 1 grm dan mentega 5 gram. Jika tersedia tepung 4 kg dan mentega 2 kg, maka model matematikana pada persoalan tersebut adalah. a. 2 + 4, 2 + 8,, b. + 4, +2 8,, c. + 4, 2 + 8,, d. 2 + 4, +2 8,, 9. Suatu rombongan pelancong ang terdiri dari 18 orang akan menginap di wisma ang mempunai 2 tipe kamar. Tipe I ditempati 3 orang dan Tipe II ditempati 2 orang. Pemilik wisma mengendaki menewa 7 kamar. Sewa kamar untuk tipe I Rp. 7. dan tipe II Rp. 5.. model matematikana dari persoalan tersebut adalah a. 3 + 2 18, + 7,, b. 2 + 3 18, + 7,, c. 3 + 2 18, + 7,, d. 2 + 3 18, + 7,, 1. Dari soal No.9 banak kamar ang harus di sewa agar biaa ang dikeluarkan sekecil-kecilna adalah a. 6 kamar tipe I b. 4 kamar tipe I dan 3 kamar tipe II c. 3 kamar tipe I dan 4 kamar tipe II d. 5 kamar tipe II II. Kerjakan dengan singkat dan jelas 1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif P = 2 + 3 pada sistem pertidaksamaan + 4, + 3 6, dan.
12 2. Daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan daerah penelesaian dari suatu model matematika. 5 Nilai maksimum untuk fungsi objektif P = 3 + 5 adalah 3 5 6 3. Rokok A ang hargana Rp. 2 / bungkus di jual dengan laba Rp. 4 / bungkus, sedangkan rokok B ang hargana Rp.1 dijual dengan laba Rp. 3 / bungkus. Seorang pedangan rokok mempunai modal Rp. 8. dan kiosna menampung 5 bungkus rokok, akan memperoleh keuntungan sebesar-besarna jika ia membeli rokok A dab B sebanak.. 4. Sebuah perusahaan kapal mempunai kapal laut ang berkapasitaslebih dari 5 orang penumpang. Setiap penumpang kelas I boleh membawa begasi 8 kg sedangkan kelas ekonomi 2 kg kapal tersebut dapat membawa begasi paling banak 16. kg jika harga tiket perorang untuk kelas I Rp. 1. dan untuk kelas ekonomi Rp. 5. pendapatan maksimum ang dapat diterima oleh perusahaan kapal tersebut adalah.. 5. Nilai minimum dari Z = 4 + 1 pada sistem 2 + 4 2 + 4 12 adalah. 6. Produk A membutuhkan 3 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja mesin, sedangkan Produk B membutuhkan 2 kg bahan mentah dan 24 jam waktu kerja mesin bahan mentah ang tersedia 75 kg dan waktu kerja mesin 72 jam. Carilah nilai maksimum dari produk ang di buat jika produka A seharga Rp. 1. dan produk B seharga Rp. 2.
13 Hubungan Huruf Awal di Setiap Nama Bilangan -1 Mungkin tidak pernah kita sadari sampai sekarang bahwa nama nama dari bilangan 1 sampai 1 dalam Bahasa Indonesia memiliki hubungan ang unik, terutama pada huruf huruf awal nama nama bilangan penusun angka 1 tersebut. Perhatikan penjelasan berikut : 1 = 9 + 1 = [S]embilan + [S]atu 1 = 8 + 2 = [D]elapan + [D]ua 1 = 7 + 3 = [T]ujuh + [T]iga 1 = 6 + 4 = [E]nam + [E]mpat 1 = 5 + 5 = [L]ima + [L]ima Dari pejelasan diatas kita ketahui bahwa huruf awal pada nama nama bilangan penusun angka sepuluh memiliki huruf awal ang sama. Inilah salah satu dari fakta unik matematika ang tak pernah kita sadari.