ESTIMASI BOBOT DENGAN GENERALIZED MOVING ANERAGE DAN VISUALISASINYA

ESTIMASI BOBOT DENGAN GENERALIZED MOVING ANERAGE DAN VISUALISASINYA Jerr Dw Trjoo Puromo Alum Pasca Sarjaa Statstka FMIPA ITS Kampus ITS Sukollo, Surabaa I Noma Budatara Jurusa Statstka FMIPA ITS Kampus ITS Sukollo, Surabaa Kartka Ftrasar Jurusa Statstka FMIPA ITS Kampus ITS Sukollo, Surabaa ABSTRAK Dberka model regres semparametrk dega resdual ag dasumska berdstrbus depede dega mea ol da varas σ 2 /w j, w j >. Estmas γ da f ag memmumka Pealzed Least Square Terbobot, merupaka estmator polomal sple parsal terbobot. Selajuta dberka suatu estmas bobot utuk estmator sple parsal terbobot. Kata kuc : Regres semparametrk, sple parsal terbobot, Pealzed Least Square. ABSTRACT B gvg semparametrc regresso model wth error, whch s assumpto depedetl b zero mea ad σ 2 /w j, w j > vara. Estmato γ ad f whch has mmum Weghted Pealzed Leasts Square, whch polomal weghted partal sple estmator. Further, gve a weght estmato for weghted partal sple estmator. Kewords: Semparametrc regresso, partal sple weghtess, Pealzed Least Square.. PENDAHULUAN Estmas kurva regres umuma dlakuka dega pedekata parametrk ag mula dperkealka oleh Laplace sejak abad XVIII da juga Boscovch pada tahu 757. Dalam regres parametrk dasumska bahwa betuk kurva regres f dketahu. Pembuata asums tersebut berdasarka pada teor, pegalama masa lalu atau tersedaa sumber-sumber la ag dapat member pegetahua atau formas ag terperc. Estmas dapat juga dlakuka berdasarka pedekata ag tdak terkat dega asums betuk kurva regres tertetu, ag memberka fleksbltas ag lebh besar dar kurva regres. Metode dega pedekata sepert damaka pedekata oparametrk ag mula dkeal sejak abad XIX. Ada beberapa tekk utuk

megestmas dalam regres oparametrk, atara la hstogram, estmator Kerel, Sple, da la-la. Masalah ag serg mucul dalam regres adalah tdak semua varabel pejelas dapat ddekat dega pedekata parametrk, karea tdak adaa formas tetag betuk hubuga varabel pejelas tersebut dega varabel respoa, sehgga harus dguaka pedekata oparametrk. Dega meggabugka dua pedekata tersebut dalam suatu pedekata regres aka ddapatka suatu model regres semparametrk. Estmas model semparametrk ekuvale dega megestmas parameter-parameter pada kompoe parametrk da estmas kurva pada kompoe oparametrk. Model semparametrk dperkealka oleh Wahba (984), Egel, Grager, Rce da Wess (986), Gree, Jeso, da scheult (985) serta Heckma (986). Model drumuska sebaga: = x +f(t )+, =,2,, () dega x =(x,,x p ) da t, =,2,, merupaka varabel-varabel predktor. Vektor γ =(γ,,γ p ) R p tdak dketahu da f dasumska merupaka aggota aggota ruag Sobolev W m 2, = {f f (k), k=,,,m- kotu pada [,], da (m) 2 f t dt }. Resdual berdstrbus depede dega mea ol da varas 2. Estmator f dperoleh dar memmumka Pealzed Least Square (PLS): l λ (f)=r(f) + λj(f), f W m 2, (2) Fugsoal l λ (f) memuat tga kompoe, atu kompoe lkelhood R(f), fugsoal pealt J(f) da parameter peghalus λ. Estmator tpe PLS dkembagka oleh Heckma (986), Eubak (986), Wahba (99), da Che da Shau (994) utuk estmator sple parsal orgal, dega megambl kesamaa-kesamaa: R(f)= x f t (3) J(f)= 2 (m) 2 f t dt (4) Betuk estmator γ λ da f λ dperoleh dega memmumka PLS: 2 (m) 2 l f x f t f t dt (5) Pada ss la, Sh da L (994) megembagka model regres semparametrk utuk estmator sple parsal tpe-orm L. Estmator γ λ da f λ dperoleh dega memmumka PLS da meggat persamaa (3): R(f) = x f t Lebh lajut He da Sh (996) megusulka pegguaa estmator sple parsal tpe-m (meda) utuk pedekata mea respo regres semparametrk. Estmator dperoleh dega memmumka PLS da meggat persamaa (3) : R(f) = x f t ρ fugs koveks. Dar beberapa macam tpe sple ag dkembagka para peelt d atas, dkembagka model sple parsal terbobot utuk megatas ketaksamaa varas, dkareaka dalam model sple parsal kurag sesua utuk meaga ketaksamaa 2

varas dalam regres semparametrk. Model dkembagka oleh Budatara (999) da Subaar da Budatara (999). Betuk estmator dperoleh dega memmumka Pealzed Least Square Terbobot (PLST): 2 (m) 2 l f w x f t f t dt (6) W m 2, utuk setap f aggota ruag Sobolev. Betuk estmator sple parsal terbobot dpegaruh oleh parameter peghalus λ. Utuk λ, estmator sple parsal terbobot merupaka estmator polomal (Budatara, 999). Estmator kompoe parametrk merupaka estmator ag kosste da berdstrbus ormal asmtotk (Subaar da Budatara, 999). 2. Sple Parsal Orgal Sebaga vsualsas sple parsal orgal dguaka data peelta Dewaa (24) tetag jumlah eerg lstrk ag hlag d PT PLN dstrbus Jawa Tmur Wlaah Surabaa Utara. Dalam peelta Dewaa (24) terdapat dua varabel predktor, atu gaggua jes beda (x ), da jes gaggua jes ut pembagkt (x 2 ), serta varabel respo jumlah eerg lstrk ag hlag. Vsualsas sple parsal jumlah eerg lstrk ag hlag dapat dlhat pada Gambar da Gambar 2. Gambar memperlhatka hubuga atara jumlah eerg lstrk ag hlag d PT PLN dega gaggua jes beda (x ) memperlhatka adaa perubaha pola perlaku data dsektar ttk 9 da 4,. Berdasarka Tabel, ddapatka bahwa hubuga atara keduaa dapat djelaska dega model sple lear. Tabel Skor GCV Sple Parsal Orgal Dega Satu Ttk Kots No Orde Ttk Kot GCV 2 9,3 4, 6893,625 2 2 9,2 4, 6892,278 3 2 9, 4, 689,46 4 2 9, 4, 689,8 5 2 9, 4,2 689,62 6 2 9, 4,3 6892,763 Sedagka Gambar 2 memperlhatka hubuga atara jumlah eerg lstrk ag hlag dega jumlah ut pembagkt (x 2 ), adalah lear. Dar kedua gambar d atas terlhat adaa kasus heterokedaststas, karea mak besar la x, varas juga mak besar. Model sple parsal orgal utuk data adalah: =,9 + 23,25x 54,73 ( x 9) + 5,2 x 4, + 4,73x 2 + ε Nla koefse determas utuk model sebesar 66.39% Berdasarka model sple parsal orgal memperlhatka adaa kasus heterokedaststas (vara resdual tdak kosta). I terlhat dar plot atara resdual dega ŷ (Gambar 5) ag betuka tdak radom (horzotal bad) melaka berbetuk corog. Hal megdkaska bahwa model sple parsal orgal kurag dapat mejelaska adaa kasus heterokedaststas. 3

resdu 2 4 6 7 6 5 4 3 2 2 3 x Gambar Plot atara da x 5 5 2 25 Gambar 2 Plot atara da x da estmas sple orgal x Regresso Plot = 85,4292 + 4,93934 x2 S = 94,8883 R-Sq = 45,7 % R-Sq(adj) = 44,4 % 7 7 6 5 6 5 4 4 3 3 2 2 5 x2 5 x2 Gambar 3 Plot atara da x 2 Gambar 4 Plot da x 2 da regres lear 25 2 5 5-5 - -5-2 2 3 4 5 6 7 hat Gambar 5 Plot atara resdual da ŷ Gambar 6 Plot tga dmes atara ŷ (merah) da (hjau) 4

3. Sple Parsal Terbobot Pada aalss d atas terlhat bahwa sple parsal orgal kurag mampu mejelaska adaa heterokedaststas. Utuk megatas adaa heterokedaststas dberka suatu bobot ag sesua. Salah satu metode utuk medapatka bobot adalah dega Geeralzed Movg Average (GMA) (Slverma, 985) dega megambl persamaa: ˆ w = ( m + ) - dmaa: m = max (, k) = m (, + k) r * 2 j j m / 2 * w f t r / 2 ; ˆ tra 2 ˆ w tra f t 2 Tabel 2 Skor GCV Sple Parsal Terbobot Dega Satu Kots No Orde Ttk Kots GCV 3 6 9,5 2 3 8 955,72 3 3 9 96,36 4 3 8842,28 5 3 2 8468,83 6 3 4 8338,75 7 3 5 7322,85 Tabel d atas memperlhatka model sple kuadratk terbobot dega ttk kots 5 mempua la GCV terkecl, atu 7322,85. Estmas model sple parsal terbobot dberka oleh: ŷ = γ + γ x + γ 2 x 2 2 + γ 3 ( x S) + γ 4 x 2 Berdasarka aalss dagostk ddapatka model sple kuadratk terbobot mempua varas data ag kosta da berdstrbus ormal. Selajuta dlakuka uj hpotess koefse-koefse regres. Pertama dlakuka uj hpotess seretak. H : γ = γ = γ 2 = γ 3 = γ 4 = H : palg sedkt ada satu γ Rgkasa aalss varas model sple terbobot dberka dalam tabel 3 Tabel 3. Aalss Varas Model Sple Parsal Terbobot Sumber Varas Derajat Bebas Jumlah Kuadrat (JK) Rata-rata JK F Regres Resdual Total 4 38 42 8624,6 279492,8 4894,4 256,4 7355, 29,335 Nla F-tabel: 2,68988 Dega tgkat sgfkas α =,5 dperoleh kesmpula bahwa palg sedkt ada satu γ, =, 2, 3, 4. Selajuta dlakuka uj koefse-koefse regres, terutama fugs trucated (γ 3 ) ag memberka pegaruh sgfka terhadap model. 5

H : γ =, H : γ H : γ =, H : γ H : γ 2 =, H : γ 2 H : γ 3 =, H : γ 3 H : γ 4 =, H : γ 4 Tabel 4 Estmas Model Sple Parsal Terbobot Dega Metode GMA Koefse Estmas St Dev t-htug γ γ γ 2 γ 3 γ 4-35,4997 45,8278-2,53449 6,475 4,557436 25,9893,67354,7472326,982297,55446 -,366375 4,293534-3,39837 3,79344 8,2958 Nla t-tabel : 2,24394 Dar tabel 4 d atas terlhat bahwa haa γ saja ag tdak sgfka terhadap model, sehgga γ tdak dmasukka ke dalam model. Tabel 5. Estmas Model Parsal Terbobot Dega Metode GMA Koefse Estmas St Dev t-htug γ γ 2 γ 3 γ 4 Nla t-tabel: 2,2269 68.7768-7 7.3867.3589 22.5799 6.25598 6.38639 2.486943 3.4593-2.82296 2.8268 4.75643 Dar Tabel 5 d atas dapat dlhat bahwa model sple parsal terbobot megguaka metode GMA adalah: ŷ = 68,78x 7x 2 2 + 7,4 (x 5) +,4x 2 Nla koefse determas utuk model sebesar 7,92%. dega Gambar 4.3.8 Plot tga dmes atara ŷ (merah) da (hjau) Berdasarka aalss d atas dapat dsmpulka bahwa sple parsal dega bobot lebh bak dbadgka sple parsal orgal. Hal terlhat dar la R 2 sple dega bobot ag lebh besar dbadgka sple tapa bobot, dsampg gambar tga dmes atara ŷ (merah) da (hjau) ag meujukka bahwa utuk sple dega bobot la ŷ merupaka estmas ag bak utuk, karea plot atara keduaa bermpt. 6

Daftar Pustaka Budatara, I.N.(999). Estmator Sple Terbobot Dalam Regres Semparametrk, Majalah Ilmu Pegetahua da Tekolog,, 3-9. Che, H. da Shau, J.J.H.(994). Data Drve Effcet Estmators for a Partall Lear Model. The Aals of Statstcs, 22, 2-237. Dewaa, I.(24). Peerapa Model Noparametrk Dega Metode Sple Pada Jumlah Eerg Lstrk Yag Hlag d PT PLN Dstrbus Jawa Tmur Wlaah Surabaa Utara, Tugas Akhr, ITS, Surabaa. Egle, R.L, Grager, C., Rce, J. ad Wess, A.(986).Semparametrc Estmates of Relato Betwee Weather ad Electrct Sales, Joural of The Amerca Statstcal Assocato, 8, 3-32. Eubak, R.L. (986). A Note o Smoothess Prors ad Nolear Regresso., Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 8, 54-57. Gree, P., Jeso, C.,Seheult, A.(985). Aalss of Feld Expermets b Least Square Smoothg, Joural of The Roal Statstcal Socet, Ser. B, 47, 299-34. He,X. da Sh,P.(996). Bvarate Tesor Product B-Sple a Partl Lear Models, Joural of Multvarate Aalss, 58, 62-8. Heckma, N.(986). Sple Smoothg a Partl Lear Models, Joural of The Roal Statstcal Socet, ser B, 48, 244-248. Sh, P., da L, G. (994). O the Rate Covergece of Mmum L -Norm Estmates a partl Lear Model, Commucato Statstcs, Theor ad Methods, 23, 75-96. Slverma, B.W.(985). Some Aspect of The Sple Smoothg Approach to Noparametrc Regresso Curve Fttg (Wth Dscusso), Joural of The Roal Statstcal Socet, ser B, 47, -52. Subaar da Budatara, I.N. (999). Weghted Sple Estmator a Partall Lear Models, Proceedg of the SEAMS-GMU Iteratoal Coferece 999 o Mathematcs ad Its Applcatos, 6-7. Wahba, G.(985). A Comparso of GCV ad GML for Choosg the Smoothg Parameter the Geeralzed Sple Smoothg Problem, Joural the Aals of Statstcs, 3, 378-42. Wahba, G.(99). Sple Models for Observasoal Data, SIAM, Peslvaa. 7

Lampra Program MakroS-Plus Estmas Bobot (GMA) tru <- fucto(data,a,power) { data[data<a] <- a (data-a)^power } sple.sem <- fucto(respo,param,opar,k,k2) { <- respo <- legth() hasl<-matrx(,col=,row=) w <- matrx(,col=5,row=) w[,] <- w[,2] <- opar w[,3] <- tru(opar,k,) w[,4] <- tru(opar,k2,) w[,5] <- param wtw <- t(w)%*%w C<-solve(wtw) beta <- C%*%t(w)%*% flamda<-w%*%beta alamda<-w%*%c%*%t(w) sgma<-sum((-flamda)^2)/(-sum(dag(alamda))) kk<-5 r<-(-flamda) kt<-sqrt(sgma)%*%(-(/%*%sum(dag(alamda))))^.5 for( :) { r[]<-(([]-flamda[])/kt)^2 f((-kk)>) m<--kk else m<- f((+kk)<) <-+kk else <- juml<- for(j m:) { r[j]<-((([j]-flamda[j])/kt)^2) juml<-juml+r[j] } hasl[]<-/(-m+)*juml w<-/hasl[] prt(w) }} 8