METODE ELEMEN HINGGA DAN PENERAPANNYA DALAM TEKNIK KIMIA: ARTIKEL REVIEW Ummi Habibah *) Abstrak Problem rekayasa dan teknik kimia khususnya yang memiliki model matematika banyak yang berbentuk persamaan diferensial parsial (partial differential equation), yang mana persamaan tersebut membutuhkan hitungan yang banyak. Salah satu model numerik yang dapat digunakan untuk problem tersebut adalah metode elemen hingga. Metode ini berusaha memecahkan persamaan diferensial parsial dan persamaan integrasi lainnya yang dihasilkan dari hasil diskritisasi benda-benda kontinum. Dimana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen. Meskipun hasil yang didapatkan berupa suatu pendekatan, metode ini dikenal cukup ampuh memecahkan struktur-struktur yang komplek dalam analisis mekanika benda padat (solid mechanics) dan perpindahan panas (head transfer). Kata Kunci: Metode elemen hingga, persamaan diferensial parsil,diskritisasi elemen. PENDAHULUAN Metode elemen hingga (Finite Element Method, FEM) adalah salah satu model numerik yang banyak dipakai di dunia engineering (kimia, sipil, mesin, penerbangan, mikroelektronik, bioengginering, material, dan lain-lain) dan diajarkan di dunia (baik dalam bidang akademik maupun bidang industri). Model numerik tersebut semakin banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara analitis ataupun persamaan yang membutuhkan hitungan yang banyak Penelitian dalam bidang engineering tersebut dilaksanakan dengan metode simulasi yang berdasarkan kepada metode FEM. Metode FEM merupakan salah satu metode aproksimasi yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial secara *) Staf Pengajar 37 numerik dalam analisis struktur. Metode FEM hingga seperti yang dikenal sekarang ini diperkenalkan oleh Courant pada tahun 1943, namun pada waktu itu kurang mengalami perkembangan yang signifikan. Akan tetapi seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan atau kemajuan teknologi komputer digital dan bahasa pemrograman, metode ini ikut mengalami kemajuan yang pesat dalam penerapannya. Hingga saat ini metode FEM telah diterima dan dipakai secara luas dalam berbagai aplikasi enginering, termasuk di Indonesia. Dalam metode FEM perlu dilakukan prosedur diskritisasi untuk menyederhanakan penyelesaian eksak kontinu agar didapat suatu nilai aproksimasi yang mendekati nilai sebenarnya. Prinsip dari diskritisasi pada metode FEM adalah memodelkan struktur atau komponen struktural tersebut menjadi suatu kumpulan dari
elemen-elemen kecil (assemblage). Bentuk geometrik tiap elemen dibuat sesederhana mungkin sehingga menjadi lebih mudah dianalisis dari pada struktur aslinya. Solusi yang didapat nantinya berupa suatu pendekatan, dengan hasil diskrit yang dapat dianggap mewakili keadaan kontinu yang sesungguhnya. Prosedur penentuan titik-titik node dan mendefinisikan elemen-elemen untuk mendiskritisasikan domain struktur yang akan ditinjau inilah yang disebut dengan meshing, dan prosedur ini memegang peranan penting dalam tahapan analisis dengan metode FEM. Kelebihan penggunaan metode FEM dalam penelitian teknik kimia khususnya adalah metode FEM memiliki banyak variasi bentuk diskritisasi elemennya, yaitu dapat berbentuk segi empat, segi tiga, dan segi yang lain. Sehingga jika bentuk elemennya tidak teratur, maka penyelesaian dengan metode FEM dapat memperkecil tingkat galat (error). Karena dapat mendiskritisasikan domainnya menjadi bentuk segi tiga atau gabungan segi tiga dan segi empat. PEMBAHASAN Salah satu model numerik yang umum dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial adalah metode FEM. Yang saat ini mulai banyak dieksplorasi dan berkembang cepat untuk diterapkan pada problem-problem fisik. Salah satu kelebihan metode FEM adalah dapat diterapkan pada problem fisis yang bentuk potensialnya sangat kompleks dan kurang simetris. Konsep dasar yang melandasi metode FEM adalah prinsip diskritisasi. Secara umum, diskritisasi dapat diartikan sebagai upaya untuk membagi sistem dari problem yang akan diselesaikan (obyek) menjadi bagianbagian yang lebih kecil. Bagian-bagian yang lebih kecil tersebut selanjutnya disebut sebagai elemen hingga. Diskritisasi ini muncul karena adanya kesulitan untuk mempelajari sistem secara keseluruhan. Secara tidak langsung, diskritisasi juga berarti pendekatan untuk sesuatu (problem) yang riil dan kontinu. Dalam merumuskan suatu problem fisis ke dalam analogi diskritisasi metode FEM, ada beberapa pendekatan yang dapat digunakan. Pendekatan yang sering digunakan yaitu metode Galerkin dan metode variasi. Perumusan metode FEM dengan menggunakan metode Galerkin didasarkan pada minimisasi residu (sisa) yang tertinggal setelah suatu solusi pendekatan disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dari suatu problem fisis. Sedangkan metode variasi didasarkan pada nilai-nilai stasioner dari suatu fungsi atau besaran skalar yang berkaitan dengan suatu problem fisis untuk mendapatkan solusinya. Dalam metode FEM, sistem persamaan yang diselesaikan diberlakukan pada elemen-elemen sehingga diperoleh formulasi dalam bentuk hubungan nilai-nilai yang dicari di elemen-elemen tersebut. Penerapan Metode Elemen Hingga dalam Teknik Kimia 1. Perhitungan Perambatan Panas pada Kondisi Tunak Jika suatu benda terdapat gradien suhu, maka akan terjadi perpindahan energi dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu rendah (proses perambatan panas). Proses perhitungan 38
perubahan panas tidak hanya dilakukan melalui pengamatan langsung, tetapi dapat juga melalui perhitungan numerik. Bentuk model matematika perambatan panas adalah bentuk persamaan difensial parsial. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial bentuk parabola dapat digunakan metode FEM untuk meminimumkan galat atau eror. Disamping itu metode FEM juga dapat diterapkan pada berbagai bentuk diskritisasi domain yang akan dihitung perambatan panasnya, dapat berbentuk segi tiga, segi empat, segi lima, dan sebagainya. Sehingga untuk domain yang tidak berbentuk segi empat, bentuk elemennya dapat menyesuaikan bentuk domainnya. Akibatnya tingkat galatnya menjadi rendah. Perhitungan perambatan panas pada kondisi tunak dalam penelitian ini mengikuti aliran kalor dua dimensi (two dimensional heat flow) untuk kondisi tunak yang berlaku persamaan Laplace sebagai berikut: 2 2 T T 0 (1) 2 2 x y dimana T menyatakan suhu, x menyatakan jarak kearah x dan y menyatakan jarak kearah y. Bentuk domain perambatan panas dalam penelitian ini dipilih berbentuk elemen segitiga. Dimana aliran kalor total pada setiap titik dalam domain tersebut di atas adalah resultan dari arah jarak x dan y. Pemilihan bentuk elemen ini menyesuaikan bentuk domain. Kemudian domain perambatan panas dengan elemen segi tiga tersebut didiskritisasi menjadi beberapa elemen dan setiap elemennya terdapat 3 buah titik node. Pada tiaptiap titik node itulah distribusi suhu akan berlangsung, tetapi dengan catatan suhu pada syarat batas sudah diketahui. Proses diskritisasi ini mulamula adalah menentukan titik koordinat atau komponen (x,y) secara otomatis dengan rumus: 2 1 cos( j 1) 4N y 4 x ( i, j) 1 ( i 1) cos( j 1) (2) ( N x 1) 4N y 4 39
2 cos(j 1) 4N y y(i, j) 1 (j 1) (N 1) x 1 4 sin (j 1) 4N y 4 (3) Dimana N x menyatakan banyaknya titik pada sumbu x (absis) dan N y menyatakan banyaknya titik pada batas kanan sumbu y (ordinat) dari domain perambatan panasnya dengan elemen segi tiga tersebut. Langkah berikutnya adalah proses perhitungan suhu pada masingmasing titik node dengan syarat batas titik-titik node tertentu diketahui suhunya. Dengan rumus: 2 2 T T Fc (T) dxdy (4) x y A Persamaan (1) adalah sebagai persamaan Laplace dan dengan bagan aliran kalor dalam dua dimensi digunakan sebagai titik awal penurunan rumus. Untuk proses diskritisasi dalam penentuan pada titik-titik koordinat digunakan rumus (2) dan (3). Dengan menggunakan rumus (4) di atas yang diselesaikan dengan menggunakan model numerik metode FEM untuk menghitung penyebaran suhu pada domain yang telah ditentukan. Tujuan dari penelitian ini adalah ingin mengaplikasikan metode FEM untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial untuk aliran kalor dalam bentuk tunak berdimensi dua. Adapun objek penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang dimensi dua yang pada batas tertentu atau titik-titik tertentu yang diketahui suhunya. Dengan mendiskrtitisasikan domain tersebut dengan bentuk elemen segi tiga, maka dengan mengaplikasikan metode FEM akan dapat diketahui suhu pada titik-titk lain diluar daerah yang diketahui. Didalam perhitungannya, pada metode FEM membutuhkan perhitungan agak rumit dan ukuran matriks yang besar, maka dalam perhitungan ini digunakan bantuan program komputer. Program komputer yang digunakan dengan Bahasa Pascal. Hasil dari penelitian dengan dibangun suatu sistem aplikasi komputer untuk dapat menyelesaikan problem perambatan panas dua dimensi pada kondisi yang tunak dengan menggunakan metode FEM ini, menyatakan semakin banyak jumlah elemen semakin akurat penyebaran suhu serta suhu menyebar dari tempat yang suhunya lebih tinggi menuju ke tempat yang suhunya lebih rendah. 40
2. Menghitung Termal Stress pada Bahan Struktur yang Terkorosi Penelitian ini dilakukan untuk memodelkan proses timbulnya stress pada lapisan oksida saat didinginkan. Bahan struktur yang digunakan dalam penelitian ini adalah Paduan Alumunium. Proses korosi dalam penelitian ini dipercepat (accelerated) dengan cara memanaskan bahan tersebut sampai suhu 1200 0 C. Dimana ketebalan lapisan korosi (scale), Al 2 O 3 (alumida), bergantung pada lamanya waktu pemanasan. Setelah dicapai ketebalan yang diinginkan bahan struktur yang terkorosi didinginkan secara perlahan sampai temperatur ruang sekitar 20 0 C. Sebelum proses pendinginan, thermal stress dan strin adalah nol. Pada proses pendinginan sampai stabil pada temperatur ruang akan timbul thermal strain yang secara langsung akan menimbulkan thermal stress yang berbeda pada kedua bahan tersebut. Perbedaan koefisien muai antara subtrate dan lapisan oksida menimbulkan strss yang berbeda. Kedua bahan tersebut terikat secara adhesif. Untuk menyederhanakan pemodelan diasumsikan bahwa beban thermal stress dan strain masih berada pada daerah elastis pada kedua bahan tersebut, dan ikatan adhesif keduanya adalah ikatan ideal yang tidak akan terlepas oleh beban thermal stress dan strain. Lapisan oksida tersebut terbentuk pada saat Paduan Alumunium teroksidasi pada temperatur tinggi. Penelitian ini dilakukan dengan penerapan metode FEM yang terkemas dalam paket program ANSYS. Diasumsikan bahwa substrate metal (Paduan Alumunium) yang bersifat ideal-elastis-plastic, sedangkan lapisan oksidanya bersifat pure elastic. Pengaruh cacat dalam penelitian ini diabaikan sehingga pemodelan tidak memperhitungkan ketergantungan stess pada lapisan oksida terhadap proses pendinginan. Metode FEM yang digunakan sehingga diharapkan dapat memperkirakan diskritisasi distribusi residual stressnya. Dengan tujuan ingin dicari pengaruh variasi ketebalan scale dan substrate, kontur atau relief permukaan substrate dan scale terhadap distribusi dan magnitude thermal stress Alumunium yang terkorosi. Kemudian diharapkan juga hasil-hasil numeriknya dapat menjelaskan fenomena-fenomena fisis dan memberikan hasil pengukuran di laboratorium. Metode yang penyelesaiannya menggunakan fungsi bobot residual (weighted residual formulation) dengan menerapkan metode Galerkin yang digunakan untuk menyelasaikan distribusi suhu, berbentuk: T ''' N kt kt h(t Tf ) tq dxdy 0 (5) x x y y T T ''' R kt kt h(t Tf ) tq dxdy 0 (6) x x y y 41
dimana h menyatakan koefisien perpindahan panas konveksi, T menyatakan suhu, T f menyatakan suhu fluida, Q menyatakan sumber panas dalam benda, dan R menyatakan residual. Agar nilai penyimpangan distribusi suhu terhadap harga sebenarnya sekecil-kecilnya maka R dibuat sekecil mungkin dengan menggunakan metode Galerkin, sehingga penyelesaian R dengan teori Green Gauss diperoleh: e e e K a f (7) dimana K e menyatakan koefisien kekakuan, a e menyatakan fungsi suhu, dan f e menyatakan fungsi beban. Dari persamaan (7) maka diperoleh temperatur yang akan digunakan untuk menghitung tegangan (stress). Vektor regangan ( 0 ) yang dihasilkan dari perubahan temperatur ( T) pada analisis stress dengan persamaan berikut: T 0 T T 0 (8) dimana T menyatakan perbedaan temperatur, menyatakan koefisien thermal ekspansi. Hasil dari penelitian tersebut menyatakan bahwa pada besarnya tegangan yang terjadi bergantung pada ketebalan antara substrate dan lapisan oxida dan bentuk benda yang diuji, dan nilai validasi hasil pengukuran secara simulasi mendekati hasil pengukuran dilaboratorium. Sehingga model persamaan ini dapat digunakan di laboratorium. 3. Analisis Bimetal Bimetal adalah dua material yang mempunyai koefisien ekspansi termal (modulus elastisitas) yang berbeda ditempelkan menjadi satu. Bila dipanaskan pada temperatur tinggi kedua material mengalami perubahan ukuran dan tegangan (stress) yang berbeda. Bimetal banyak dipakai dalam bidang teknik pada alat-alat otomatik seperti skring, pembatas suhu, termometer, dan lain-lain. Penelitian ini akan menganalisis perubahan ukuran atau bentuk (regangan) dan tegangan menggunakan dengan metode FEM. Pendekatan yang dipakai pada distribusi tegangan adalah azas potensial minimum dengan menggunakan dan menyelesaikan lebih dahulu distribusi suhu. Untuk menyelesaikan distribusi suhu dan distribusi tegangan untuk bidang atau benda berdimensi dua yang akan dianalisis dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen. Elemen tersebut bisa berbentuk segitiga maupun segi empat. Langkahlangkah pada penyelesaian ini dimulai dengan menyelesaikan distribusi suhu. Hasil distribusi suhu akan dipakai sebagai data untuk mencari perubahan ukuran (regangan). Dari regangan dapat dicari distribusi tegangan. Proses penyelesaian ini dilakukan dengan sofware ANSYS. Model matematik distribusi suhu dua dimensi dalam penelitian ini dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut: d dx dt kt dx d dt kt h(t Tf ) Q' t dy dy (9) 42
dimana k menyatakan konduktivitas thermal, t menyatakan tebal, h menyatakan koefisien perpindahan panas konveksi, Q menyatakan sumber panas dalam benda, dan T f menyatakan suhu fluida. Penyelesaian akhir untuk distribusi suhu dalam bentuk matriks dengan metode FEM berbentuk persamaan (7), dimana pada problem ini nilai f = 0 karena tidak ada gaya yang dapat diberikan. Penyelesaian persamaan (7) di atas akan menghasilkan suhu di semua node. Distribusi suhu ini akan dipakai untuk menentukan besarnya regangan pada analisis stress sesuai dengan persamaan (8). Penyelesaian distribusi stress menggunakan elemen berbentuk segi tiga atau segi empat dengan fungsi bentuk linier. Hasil dari penelitian ini adalah bila dua keping logam (bimetal) dikenai oleh suhu yang lebih tinggi dari suhu pengikatnya, maka akan terjadi pembengkokan (pergeseran). Untuk problem di atas, besar tegangan (stress) diperoleh dengan cara mendapatkan nilai distribusi suhu terlebih dahulu kemudian baru diperoleh nilai renggangan dengan menggunakan sofware ANSYS. 4. Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen Metode numerik yang umum digunakan untuk pemecahan persamaan diferensial Schrodinger adalah metode FEM yang saat ini mulai banyak dieksplorasi dan berkembang cepat untuk diterapkan pada problemproblwem fisik. Salah satu kelebihan metode FEM adalah dapat diterapkan untuk problem fisis dimana bentuk potensialnya (dalam persamaan Schrodinger) sangat komplek dan kurang simetris. Penelitian ini mencoba menggunakan metode FEM ini untuk atom Hidrogen yaitu menghitung tingkat-tingkat energinya secara first principle, yaitu memecahkan persamaan schrodinger untuk atom hidrogen. Hasil numerik yang diperoleh kemudian dibandingkan dengan hasil analitik yang sudah ada. Prosedur penelitian ini mengarah pada dinamika sistem fisis, baik klasik maupun kuantum sebenarnya mengikuti rumusan persamaan diferensial yang dapat diturunkan dari prinsip aksi stasioner yang bersifat umum. Di dalam mekanika klasik, maka azas aksi stasioner menyatakan untuk sistem konservatif integral berikut bersifat stasioner, dimana: t b ta L(q, q, t)dt (10) L menyatakan langrangian, variabel disebut integral aksi, dengan syarat batas integral aksi diambil pada nilai ekstrum menurut syarat: 0 (11) Evaluasi integral aksi sangat membantu dalam mengkaji dinamika sistem kuantum, dalam hal ini persamaan schrodinger, dengan menggunakan FEM. Perumusan metode FEM dalam penelitian ini dipilih pendekatan metode variasi dengan menggunakan integral aksi yang diperoleh dari prinsip aksi stasioner. Dengan pendekatan ini, metode FEM berangkat dari definisi integral fungsi. Untuk problem fisis satu dimensi dalam daerah {xmin, 43
xmak} maka perhitungan integral aksi dapat dilakukan dalam bentuk diskritisasi region. Daerah integrasi dibagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil yang disebut elemen-elemen hingga. Integral aksi merupakan jumlahan integral-integral aksi itu sendiri pada masing-masing elemen sehingga dapat dituliskan menjadi: n el (i el) (i el) (12) Titik-titik koordinat xmin, x2, x3, x4,..., xmak disebut dengan node yaitu titik awal, titik-titik perpotongan antar elemen dan titik akhir. Dari program komputer yang telah dirakit, maka perhitungan numerik dengan menggunakan metode FEM untuk atom hidrogen menunjukkan bahwa (untuk 100 elemen), energinya untuk tiga tingkat energi pertama (dalam Rydberg = 13,6 ev), jika dibandingkan dengan hasil analitik maka memberikan beda 3.9%- 5.83%. Oleh karena itu hasil pendekatan model numerik metode FEM cukup baik. Setelah melakukan pengujian dengan menggunakan model numerik yaitu metode FEM sebaiknya dilakukan uji yaitu uji stabilitas numeriknya. Stabilitas`numerik adalah merupakan permasalahan yang sangat penting dalam setiap penggunaan model metode numerik, karena kestabilan model numerik akan membawa hasil hitungan mengarah kepada penyelesaian yang benar dan menghindari terjadinya divergensi hasil hitungan. Kemudian dihitung batasanbatasan stabilitas numerik penggunaan model numerik metode FEM untuk penyelesaian persamaan yang dihitung. Agar hasil hitungan dapat mengarah kepada penyelesaian yang benar. KESIMPULAN Dari pembahasan di atas dapat diambil beberapa kesimpulan tentang pengguanaan model numerik metode FEM dalam penelitian teknik kimia, diantaranya: 1. Metode FEM dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dalam teknik kimia yang tidak mudah diselesaikan secara analitis. 2. Hasil numerik penelitian dengan menggunakan metode FEM mendekati nilai yang sebenarnya (hasil pengukuran analitis) dibuktikan dengan nilai galat (error) yang kecil. DAFTAR PUSTAKA Desai, C.S., 1988, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga, penerbit Erlangga, Jakarta. Hartana, 1998, Stabilitas numerik model numerik elemen hingga petrov-galerkin untuk penyelesaian persamaan angkutan konveksi-difus, Diakses tanggal 17 Januari 2010. Saragi, E., 2005, Simulasi metode elemen hingga untuk menghitung termal stress pada bahan struktur yang berkorosi, Risalah lokakarya komputasi dalam sains dan teknologi nuklir XVI, Agustus 2005 (189-199). Saragi, E. Utaja, 2006, Analisis Bimetal dengan metode elemen hingga, Diakses tanggal 17 januari 2010. Supriyono, 2005, Aplikasi metode elemen hingga untuk perambatan 44
panas pada kondisi tunak, Seminar nasional aplikasi teknologi informasi 2005 (SNATI 2005) Yogyakarta, 18 Juni 2005. Supriyadi, A. Arkundato, I.Rofi i, 2006, Solusi numerik persamaan Schrodinger atom hidrogen dengn metode elemen hingga (Finite Element methods), Diakses tanggal 17 Januari 2010. 45