PELABELAN SELIMUT CYCLE-ANTI AJAIB PADA GRAF DOUBLE CONES, GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID P n P 3 oleh SURYA AJI NUGROHO M0109063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2015 i
ii
ABSTRAK Surya Aji Nugroho, 2015. PELABELAN SELIMUT CYCLE- ANTI AJAIB PADA GRAF DOUBLE CONES, GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF GRID P n P 3. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Sebuah graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat sebuah selimut H jika untuk setiap sisi dalam E(G) merupakan sisi dari suatu subgraf yang isomorfik dengan H. Misal terdapat sebuah fungsi bijektif ξ : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) } sedemikian sehingga untuk semua subgraf H yang isomorfik dengan H, bobot subgraf H adalah w(h ) = v V (H ) ξ(v)+ e E(H ) ξ(e). Bobot subgraf-subgraf tersebut membentuk barisan aritmatika a, a+d, a+2d,..., a + (t 1)d dengan a dan d adalah bilangan bulat positif dan t adalah jumlah subgraf dari graf G yang isomorfik dengan H. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan pelabelan selimut (a, d)-h-anti ajaib pada graf double cones, graf friendship, dan graf grid P n P 3. Hasil dari penelitian ini adalah terdapat pelabelan selimut C 3 -anti ajaib pada graf double cones dengan d = 1, pelabelan selimut C 3 -anti ajaib pada graf friendship dengan d = 2k 1, j 2 j + 2k 1, (1 2k) 2, dan pelabelan selimut C 4 -anti ajaib pada graf grid P n P 3 dengan d = 1, 2, 4. Kata kunci: pelabelan selimut (a, d)-h-anti ajaib, double cones, friendship, grid iii
ABSTRACT Surya Aji Nugroho, 2015. CYCLE-ANTI MAGIC COVERING OF DOUBLE CONES GRAPH, FRIENDSHIP GRAPH AND GRID GRAPH P n P 3. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A simple graph G = (V (G), E(G)) admits an H-covering if every edge in E(G) belongs to a subgraph of G that is isomorphic to H. Let a bijective function ξ : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) } such that for all subgraphs H isomorphic to H, the H -weights w(h ) = v V (H ) ξ(v) + e E(H ) ξ(e). The weights of the subgraphs constitute an arithmetic progression a, a + d, a + 2d,..., a + (t 1)d where a and d are positive integers and t is the number of subgraphs of G isomorphic to H. The aim of this research is to study (a, d)-h-anti magic covering on double cones, friendship, and grid P n P 3. The results of this research are as follows. A double cones is (a, d)-c 3 -anti magic with d = 1, a friendship is (a, d)-c k -anti magic with d = 2k 1, j 2 j + 2k 1, (1 2k) 2, and a grid P n P 3 is (a, d)-c 4 -anti magic with d = 1, 2, 4. Keywords: (a, d)-h-anti magic covering, double cones, friendship, grid iv
MOTO Bergerak untuk membuat orang lain tergerak. v
PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan untuk bapak saya, Juwari dan mamak saya, Sri Hartini dan Agen Maria Hill. vi
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, raja semesta alam atas segala kemudahan dan karunia-nya yang diberikan, akhirnya penulis dapat menyelesaikan laporan skripsi dengan baik dan lancar. Penulis menyadari bahwa penulisan laporan skripsi ini banyak mengalami kesulitan, namun berkat bantuan, petunjuk, dan bimbingan dari berbagai pihak baik moril maupun materiil, kesulitan-kesulitan dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, dengan segala ketulusan dan kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Dra. Mania Roswitha, M. Si., pembimbing I dan Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom., pembimbing II. Akhir kata, penulis berharap semoga laporan ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak yang membutuhkan. Surakarta, Januari 2015 Penulis vii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv MOTO.................................... v PERSEMBAHAN.............................. vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI................................ ix DAFTAR GAMBAR............................ x DAFTAR NOTASI............................ xi I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang............................ 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan................................. 2 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Landasan Teori............................ 5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf.................... 5 2.2.2 Operasi-Operasi pada Graf.................. 7 2.2.3 Kelas-Kelas Graf....................... 8 2.2.4 Pelabelan Selimut Anti commit Ajaib to user................ 10 2.2.5 Batas Atas d pada Pelabelan Selimut Anti Ajaib...... 11 viii
2.2.6 Teknik Multihimpunan k-seimbang............. 11 2.2.7 Teknik Multihimpunan (k, δ)-anti seimbang........ 12 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 12 III METODE PENELITIAN 14 IV PEMBAHASAN 15 4.1 Pelabelan (a, d) - C 3 - Anti Ajaib pada Graf Double Cones.... 20 4.2 Pelabelan (a, d) - C k - Anti Ajaib pada Graf Friendship...... 22 4.3 Pelabelan (a, d) - C 4 - Anti Ajaib pada Graf Grid......... 26 V PENUTUP 31 5.1 Kesimpulan.............................. 31 5.2 Saran.................................. 31 DAFTAR PUSTAKA 32 ix
DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf G dan graf H yang merupakan subgraf dari graf G...... 6 2.2 Graf G 1 dan graf G 2 yang isomorfik................. 6 2.3 Graf G 1 yang memiliki sisi ganda dan graf G 2 yang memiliki loop 7 2.4 Graf dan komplemennya....................... 8 2.5 Union, join, dan product dari G 1 dan G 2, dilambangkan dengan G 3 = G 1 G 2, G 4 = G 1 + G 2, dan G 5 = G 1 G 2......... 9 2.6 Graf double cones DC n dengan n = 4 dan n = 5.......... 10 2.7 Graf friendship Dk n dengan k = 3, n = 3 dan n = 4........ 10 2.8 Graf grid P 3 P 4 dan P 3 P 5.................... 10 4.1 Pelabelan (52, 1)-C 3 -anti ajaib pada graf double cones DC 5.... 22 4.2 Pelabelan (99, 7)-C 4 -anti ajaib pada graf friendship D4 4...... 25 4.3 Pelabelan (81, 19)-C 4 -anti ajaib pada graf friendship D4 4...... 25 4.4 Pelabelan (36, 49)-C 4 -anti ajaib pada graf friendship D4 4...... 26 4.5 Pelabelan (160, 1)-C 4 -anti ajaib pada graf P n P 3......... 28 4.6 Pelabelan (190, 2)-C 4 -anti ajaib pada graf P n P 3......... 29 4.7 Pelabelan (151, 4)-C 4 -anti ajaib pada graf P n P 3......... 30 x
DAFTAR NOTASI V (G) : himpunan titik dari graf G E(G) : himpunan sisi dari graf G V (G) = v G : banyaknya titik dari graf G (order) E(G) = e G : banyaknya sisi dari graf G (size) u, v : titik e = (u, v) : sisi yang ujung-ujungnya adalah titik u dan v : himpunan bagian G : komplemen dari graf G G 1 = G2 : graf G 1 isomorfik dengan graf G 2 G 1 G 2 : G 1 join G 2 G 1 G 2 : G 1 product G 2 ξ, ϕ : fungsi bijektif C n : graf cycle dengan order n P n : graf lintasan (path) dengan order n DC n : graf double cones dengan order n pada C n Dk n : graf friendship dengan n cycle : kongruen mod : operasi modulo : operasi union : operasi union plus xi