KESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN

KESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN STABILITY OF ONE PREY TWO PREDATOR MODEL WITH HOLLING TYPE III FUNCTIONAL RESPONSE AND HARVESTING Didiharyono, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Alamat Koresponden: Didiharyono Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pegetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, 9045 Hp: 08885080 Email: driadi95@yahoo.com

Abstrak Dalam tulisan ini, dibahas kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa. Kestabilan titik ekuilibrium dilakukan dengan metode pelinearan dan penentuan kestabilan dengan memperhatikan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ekuilibrium dan menggunakan uji kestabilan Hurwitz dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa diperoleh titik interior TE (x, y, z yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar π = 59,999 dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak permukaan fungsi keuntungan. Kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, titik ekuilibrium, kestabilan dan keuntungan maksimal. Abstract In this paper, we discussed stability of one prey two predator with Holling type III and will harvesting at second predator population. The research aimed is, to investigate solution the predator prey model with Holling type III functional response with addition effort harvesting two predator populations and to investigate maximum profit from optimal harvesting at two predator populations. Stability of equilibrium point use linearization method and determine the stability by notice the eigenvalues of Jacoby matrix evaluation of equilibrium point and can also be determined using Hurwitz stability test by observing the coefficients of the characteristic equation. The result shows that the obtained an interior point TE (x, y, z which asymptotic stable according to Hurwitz stability test and find maximum profit of exploitation effort or harvest prey population and two predator populations. Predator-prey population is always exist in their life, although exploitation with efforts harvesting and given maximum profit is π = 59,999 where to find maximum profit on critical points of surface profit function. Key word: Predator prey model, harvesting, equilibrium point, stability and maximum profit.

PENDAHULUAN Model matematika merupakan bagian dari matematika terapan, yang digunakan untuk menjelaskan fenomena alam yang terjadi, serta dapat digunakan untuk memprediksi perilaku sistem untuk jangka waktu tertentu. Pemodelan matematika pada bidang ekologi sangat menarik untuk dikaji mengingat banyak sekali faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan dan kehidupan populasi mahluk hidup serta keseimbangan mahluk hidup. Proses dinamika kehidupan makhluk hidup (organisme dapat dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan differensial yang melibatkan waktu yang kontinu atau waktu yang diskrit. Salah satu model matematika yang digunakan dalam menjelaskan fenomena alam tersebut adalah model populasi mangsa-pemangsa. Hubungan antara spesies pemangsa dan spesies yang dimangsanya sangatlah erat, pemangsa tidak akan dapat hidup jika tidak ada mangsa. Selain itu, pemangsa juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa. Interaksi antar spesies yang terjadi dalam suatu ekosistem dapat menyebabkan keadaan populasi suatu spesies berubah. Interaksi tersebut dapat memberikan dampak positif, negatif atau bahkan tidak berpengaruh terhadap spesiesspesies yang berinteraksi. Salah satu penyebab kepunahan populasi adalah tingkat pemangsaan terhadap populasi mangsa yang sangat tinggi dan rendahnya tingkat pertumbuhan mangsa atau rendahnya populasi awal dari populasi mangsa. Banyak peneliti yang mengembangkan model Lotka-Volterra dengan menambahkan beberapa asumsi. Srinivasu dkk., (00 mengkaji model Lotka-Voltera dengan mengontrol system pemamenan dari model tersebut dan Kar (00 mengkaji model Lotka-Voltera dengan menambahkan pengaruh waktu tunda pada pemanenan yang selektif. Kemudian Zhang dkk., (0 mengkaji model Lotka Voltera dengan fungsi respon tipe Holling III pada interaksi antara mangsa-pemangsa dengan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa. Agarwal dkk., (0 dan Jiang (0 mengembangkan model tersebut dengan menambahkan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa pemangsa. Model tersebut tetap dikembangan oleh Liu dkk., (0 dan Wang dkk., (0 yang konsen mengkaji usaha pemanenan populasi mangsa dengan menyertakan mangsa pelarian (refuge. Selanjutnya, pada penelitian Zhao dkk., (0 melihat efek atau pengaruh mangsa pelarian (refuge terhadap keadaan awal populasi mangsa Oleh karena itu, penulis menganalisis model Lotka-Voltera dengan fungsi respon tipe Holling III pada populasi satu mangsa dan populasi dua pemangsa dengan asumsinya bahwa populasi kedua pemangsa merupakan populasi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia, sehingga terjadi pemanenan. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model

mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa. BAHAN DAN METODE Secara umum kerangka penelitian ini dimulai dengan konstruksi model, tahapan penyelesaian yang mencakup penentuan titik ekuilibrium, melinearisasi model, analisis kestabilan titik ekuilibrium, kemudian melakukan simulasi numerik. Adapun variabel penelitian adalah menganalisis kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Maple. HASIL Model populasi satu mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang mengikuti tipe Holling III diberikan pada persamaan ( berikut dx rx x x Px m y m z dt K a x a x dy x m y Qy c yz ( dz x m z Sz c yz dimana Q b E dan S b E. Dari model ( diperoleh lima titik ekuilibrium yaitu TE ( x, y, z, TE ( x, y, z, TE ( x, y, z, TE ( x, y, z, dan TE ( x, y, z 4 5 x m x Sa Sx m x Qa Qx 5 5 5 5 5,, c ( a x5 c ( a x5 dimana, x 5 merupakan akar-akar dari persamaan rz c c rkz c c + ( m KSc + m Km c + m Kc m m Kc Q + ra c c + ra c c Z + ( rka c c rka c c Z + ( m KSa c m Kc Qc + ra a c c Z rka a c c. x5 0, Titik TE merupakan suatu titik yang terjadi pada oktan pertama (titik interior jika a x5 0 dan a x5 0 yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tersebut bernilai positif. Oleh karena itu, analisis kestabilan hanya dilakukan pada titik TE. Dari metode linearisasi dan uji kestabilan Hurwitz, diperoleh titik TE (x, y, z stabil asimptotik.

Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan nilai parameter dari penelitian lain yang relevan dengan penelitian ini, yaitu K = 000, r =,5, a = 0,, a = 0,, b = 0,, b = 0,4, c = 0,05, c = 0,0, m =,4, m =,6, serta pemanenan optimal E = dan E = 0, sehingga diperoleh titik (956,508555; 9,9999884;,99999089 dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar maks 59.999. Dengan menggunakan metode linearisasi diperoleh persamaan karakteristik f(λ = λ + 4,0695λ + 5,7 +,56. Dari persamaan karakteristik diperoleh p =,56, p = 5,7, p = 4,0695. Karena p, p, p > 0, dan p p p > 0 maka menurut uji kestabilan Hurwitz, titik TE stabil asimptotik. Gambar,, dan pada lampiran memperlihatkan perilaku kurva solusi masingmasing populasi terhadap waktu (tahun di sekitar titik ekuilibrium dengan nilai awal N (0 = 950, N (0 = 6, dan N (0 =. PEMBAHASAN Penelitian menunjukkan bahwa model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III memiliki lima titik ekuilibrium yang salah satunya merupakan titik interior yang stabil asimptotik berdasarkan uji kestabilan Hurwitz dan pemanenan pada populasi kedua pemangsa memberikan keuntungan yang maksimal. Model populasi satu mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang mengikuti tipe Holling III diberikan pada Persamaan ( berikut: dx x x x rx - - m y - m z dt K a x a x dy x m y - b y - c yz ( dz x m z - b z - c yz Suatu asumsi bahwa kedua populasi pemangsa yang ditinjau merupakan populasi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia, maka kedua populasi tersebut selanjutnya dieksploitasi dengan pemanenan pada masing-masing ukuran populasi. Dengan pertimbangan tersebut model Persamaan ( dikembangkan menjadi, dx x x x rx m y m z dt K a x a x dy x m y b y c yz E y (

Keterangan dz x m z b z c yz E z x, y, z : Ukuran populasi mangsa, pemangsa pertama dan pemangsa kedua r E, E : Laju pertumbuhan intrinsik : Usaha Pemanenan pada populasi pemangsa pertama dan pemangsa kedua m dan m : Laju kelahiran pemangsa pertama dan pemangsa kedua a dan a b dan b c c : Konstanta kejenuhan pemangsa pertama dan pemangsa kedua : Laju kematian pemangsa pertama dan pemangsa kedua : Mengukur laju konsumsi pemangsa pertama oleh pemangsa kedua :Mengukur konversi pemangsa pertama yang dikonsumsi pemangsa kedua ke dalam laju reproduksi pemangsa kedua Titik ekuilibrium TE (x, y, z model ( diperoleh dengan menyelesaikan = 0, = 0, dan = 0, dengan melinearisasi model (4 dengan menggunakan matriks Jacobi f f f x y z f f f A x y z f f f x y z Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran x, maka dapat digunakan persamaan det( A I 0 yang biasa disebut persamaan kateristik dari A, yaitu f ( a a a 0. Menurut kriteria kestabilan Routh-Hurwitz titik T5 stabil asimptotik jika dan hanya jika a0 0, a 0, dan a a a 0 0, (Jeffries, 989. Karena pada posisi titik keseimbangan TE (,, 5 x y z pada Persamaan (4. terjadi usaha pemanenan yang dikenakan pada populasi mangsa dengan asumsi bahwa b E 0 dan b E 0, serta dengan memisalkan Q b E dan S b E, maka TE 5 menjadi TE m x S( a x ( b E m x Q( a x ( b E. * 5 5 4 5 5 x5,, cb ( a x5 cb ( a x5 Titik keseimbangan * * * * TE x y z yang stabil asimptotik dihubungkan dengan 5 (,, persoalan penerimaan total (TR, biaya total (TC dan keuntungan maksimal (. Untuk

keperluan analisis unit harga untuk stok populasi y dan populasi z dinyatakan sebagai p dan p. Biaya total diasumsikan proporsional hasil tangkapan dengan usaha pemanenan E dan E dengan koefisien c dan c. Menurut Toaha (0 fungsi penerimaan total (TR dinyatakan sebagai berikut TR TR( y TR( z p E y p E z * * (4 Selanjutnya, substitusi nilai * y dan * z ke dalam Persamaan (4 sehingga diperoleh, ( pm x5 psb E ps ( pm x5 pqb E pq TR E E. cb ( a x5 cb cb ( a x5 cb Fungsi biaya total (TC dinyatakan sebagai, TC c E c E Selanjutnya, fungsi keuntungan didefinisikan sebagai penerimaan total dikurangi biaya total yaitu TR TC (7 Dengan mensubstitusikan nilai TR pada Persamaan (5 dan nilai TC pada Persamaan (6 sehingga akan diperoleh, ( ( p m x p Sb c c b a x E p S p m x p Qb c c b a x E E 5 5 5 5 cb ( a x5 cb cb ( a x5 pq E cb * * * * TE x y z bergantung pada usaha pemanenan yang dilakukan Karena titik ekuilibrium 5 (,, maka fungsi keuntungan bergantung kepada usaha pemanenan. Untuk menentukan nilai usaha pemanenan yang memberikan keuntungan maksimal, maka perlu ditentukan titik kritis usaha pemanenan. Berdasarkan Persamaan (8 maka diperoleh turunan pertama yaitu E E p m x p Sb c c b ( a x p S E 5 5 cb ( a x5 cb p m x p Qb c c b ( a x p Q E 5 5 cb ( a x5 cb Titik kritis dari persamaan (4.8 diperoleh dengan mengambil persamaan (9 yang sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh titik kritis ( E, E yaitu: * * (5 (6 (9 a. Dari E 0, diperoleh E ( p m x p Sb c c b ( a x 5 5 ps( a x5

b. Dari 0, diperoleh E E Nilai-nilai usaha pemanenan E ( p m x p Qb c c b ( a x 5 5 pq( a x5 dan E memberikan titik keseimbangan * * * * TE x y z tetap berada pada keadaan yang stabil asimptotik serta memberikan 5 (,, keuntungan maksimal dari hasil eksploitasi ketiga populasi tersebut. Fungsi keuntungan dari ketiga populasi tersebut yang bergantung pada E dan E dimana keuntungan maksimal terjadi pada puncak dari permukaan fungsi keuntungan. KESIMPULAN DAN SARAN Model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan pemanenan pada populasi kedua pemangsa menunjukkan bahwa diperoleh titik interior TE (x, y, z yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar maks 59.999 dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak (titik kritis dari permukaan fungsi keuntungan. Untuk penelitian selanjutnya, dapat menambahkan berbagai pertimbangan asumsi lainnya misalkan dengan asumsi menambahkan pengaruh waktu tunda dan usaha pemanenan untuk melihat perubahan dinamika populasi organisme.

DAFTAR PUSTAKA Agarwal, M. and R. Pathak. (0. Persistence and optimal harvesting of prey-predator model with Holling Type III functional response. International Journal of Engineering, Science and Technology Vol. 4, No. : 78-96 Jeffries, C. (989. Mathematical modeling in ecology. Boston: Birkhauser. Jiang, Q. and J. Wang. (0. Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with Holling type III functional response. Advances in difference equations a Springer Open Journal: 49-58 Kar, T.K., 00. Selective Harvesting in a Prey Predator Fishery With Time Delay. Mathematical And Computer Modelling. 8:449-458. Liu, X. and Y. Xing. (0. Qualitative Analysis for a Predator Prey System with Holling Type III Functional Response and Prey Refuge. Hindawi Publishing Corporation Discrete Dynamics in Nature and Society Volume 0, Article ID 678957. Srinivasu, P.D., Ismail, S., and Naidu, C.R. (00. Global dynamics and controllability of a harvested prey-predator system. Journal Biological System, 9(: 67-79 Toaha, Syamsuddin. (0. Pemodelan Matematika Dalam Dinamika Populasi. Makassar: Dua Satu Press. Wang, J. and Liqin Pan. (0. Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with Holling-type III functional response incorporating a prey refuge. Advances in difference equations Springer Open Journal: 96- Zhang, X., Xu, R., dan Gan, Q. (0. Periodic Solution in a Delayed Predator Prey Model with Holling Type III Functional Response and Harvesting Term. World Journal of Modelling and Simulation. Vol. 7 No. : 70-80 Zhao, J., Zhao, M. and Yu, H. (0. Effect of Prey Refuge on the Spatiotemporal Dynamics of a Modified Leslie-Gower Predator-Prey System with Holling Type III Schemes. Journal entropy, 5: 4-447

LAMPIRAN Gambar Perilaku kurva solusi populasi mangsa (x Gambar Perilaku kurva solusi populasi pemangsa kedua (y Gambar Perilaku kurva solusi populasi pemangsa pertama (z