PELABELAN E-CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF CERMIN Ermi Suwarni, 2 Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si, 3 Drs. Bayu Surarso, M.Sc.PhD,2,3 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Pro. Soedarto, S.H, Tembalang Semarang 54275 ermi.suwarni@yahoo.co.id, 2 ratnasari.lucia@yahoo.com, 3 bayus@undip.ac.id Abstract: Let G be a graph with vertex set V(G) and edge set E(G). Diine on unction o E(G) to {,}, or v V(G) value (v) is obtained by two modulo price o amount o edges label than have insident to the vertex v. The unction is called an E-cordial labeling o G i conditions absolute value rom dierence the number o vertexs having label and the number having label less or equal, and absolute value rom dierence the number o edges having label and the number o edges having label less or equal. Graph which admits o E-cordial labeling is E-cordial graph. The mirror graph M(G) is a bipartite graph with a partite sets V and V 2 and G be the copy o G with corresponding partite sets V and V 2. The mirror graph is obtained by joining each vertex o v i V 2 to its corresponding vertex in v i V 2 by an edge. In this paper we study about E cordial labeling o mirror graph or cycle graph, path graph, hypercube graph and bipartite complite graph. The mirror graph o cycle graph, path graph, hypercube graph, and bipartite complite graph are E-cordial graphs. Key words : E-cordial labeling, mirror graph, bipartite graph. I. PENDAHULUAN Pelabelan pada suatu gra adalah suatu pemetaan (ungsi) yang memasangkan unsurunsur gra (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat) yang disebut label. Jika domain dari pemetaan ini adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex labelling). Jika domainnya adalah himpunan sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge labelling), dan jika domainnya himpunan titik dan himpunan sisi, maka disebut pelabelan total (total labelling).[2] Pelabelan gra pertama diperkenalkan oleh Rosa(967), ada banyak pelabelan yang telah dikembangkan, salah satunya adalah pelabelan E-Cordial. [3] R. Yilman dan I.Cahit (997) mengatakan bahwa pelabelan E-Cordial dideinisikan sebagai pemberian label pada sisi suatu gra G dengan ungsi : E(G) {,} dan untuk titiknya diperoleh dari ( v) uv E( G) ( uv)(mod2). Dengan demikian, pelabelan E-Cordial merupakan salah satu bentuk pelabelan pada sisi sedangkan label titiknya menjadi akibat dari adanya label sisi. Fungsi 64
disebut pelabelan E-cordial dari G jika v ( ) v () dan e ( ) e (). Suatu gra disebut E-cordial jika memenuhi pelabelan E-cordial.[6] Dalam tugas akhir ini penulis membahas tentang pelabelan E-Cordial pada gra cermin dari gra sikel, gra cermin dari gra path, gra cermin dari gra hypercube, dan gra cermin dari gra bipartit komplit. II. DASAR TEORI Deinisi 2. [6] Gra G = (V, E) terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik dan suatu datar pasangan tidak terurut dari elemen itu disebut sisi. Himpunan titik dari gra G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan sisi dari gra G dinotasikan dengan E(G). Sisi yang dinotasikan dengan (v,w) atau (w,v) dikatakan menghubungkan titik v dan w. Contoh 2. Diberikan gra G = (V, E) sebagai berikut : v v 2 e e 4 e 5 e 2 e 3 v 4 v 3 Gambar 2. Gra G Gambar 2. merupakan gra dengan himpunan titik V G = v, v 2, v 3, v 4 dan himpunan sisi E G = e, e 2, e 3, e 4, e 5 dimana e = v, v 2, e 2 = v 2, v 3, e 3 = v 3, v 4, e 4 = v, v 4, dan e 5 = v, v 3. Deinisi 2.4 [] Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positi. Dinotasikan dengan a mod m yaitu sisa ketika a dibagi dengan m. 65
Ini didasari dari deinisi sisa bahwa a mod m adalah bilangan bulat r dimana a= mq + r dan r < m. contoh 2.4 Diberikan a = 22 dan m = 5, maka 22 mod 5 = 2 karena 22 dibagi 5 memberikan hasil (q) = 4 dan sisa (r) = 2 atau ditulis sebagai 22 = 5 4 + 2. III. PEMBAHASAN Deinisi 3. [4] Misal diberikan gra G dengan ungsi : E(G) {,} dan ( v) uv E( G) ( uv)(mod2). Fungsi disebut pelabelan E-cordial dari G jika v ( ) v () dan e ( ) e (). Suatu gra disebut E-cordial jika memenuhi pelabelan E-cordial. Contoh 3. Diberikan pelabelan E-cordial pada gra G 4 sebagai berikut : v e v 4 e 2 e 4 v 2 v 3 e 3 (a) (b) (c) Gambar 3. (a) Gra G 4 (b) Pelabelan E-cordial pada gra G 4 dan (c) Bukan Pelabelan E-cordial pada gra G 4 Pelabelan pada Gra G 4 Gambar 3.(b) memiliki v = 2, v = 2 sedangkan e = 2, e = 2, sehingga merupakan pelabelan E-cordial karena memenuhi syarat v ( ) v () 2 2 dan e ( ) e () 2 2. 66
Teorema 3.2 [6] Gra sikel C n merupakan gra E-cordial untuk n 2(mod4). Misalkan diberikan gra sikel C n dengan n banyaknya titik. Bila v, v 2,, v n merupakan titik-titik dan e, e 2,, e n merupakan sisi-sisi dari sikel C n sehingga berlaku : e i = v i v i+ ; untuk i =,, n e i = v v n ; untuk i = n Untuk pelabelan sisinya dideinisikan sebagai berikut : e i = jika i,2 mod4 jika i,3(mod4) Contoh 3.2 Diberikan pelabelan E-cordial pada gra C4 seperti pada Gambar 3.2 dengan himpunan titik V C ) { v, v, v, } dan himpunan sisi E C ) { e, e, e, }. Berdasarkan deinisi ( 4 2 3 v4 ( 4 2 3 e4 pelabelan sisi E-Cordial pada gra sikel diperoleh pelabelan sisinya (e ) =, (e 2 )=, (e 3 )=, (e 4 )=.Sedemikian sehingga pelabelan titik : V(C 4 ) {,} dengan diperoleh sebagai berikut : (v ) = ((e ) + (e 4 ))(mod 2) = mod 2 =, maka label titik v = (v 2 ) = ((e ) + (e 2 ))(mod 2) = mod 2 =, maka label titik v 2 = (v 3 ) = ((e 2 ) + (e 3 ))(mod 2) = mod 2 =, maka label titik v 3 = (v 4 ) = ((e 3 ) + (e 4 ))(mod 2) = 2 mod 2 =, maka label titik v 4 = ( v) uv E( G) ( uv)(mod2) v e e 4 v 2 v 4 e 2 e 3 v 3 (a) (b) Gambar 3.2 (a) Gra C 4 dan (b) Pelabelan E-Cordial pada gra C 4 67
Pelabelan pada Gra C 4 gambar 3.2(b) memiliki v = 2, v = 2, sedangkan e = 2, e = 2, sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () dan e ( ) e (). Teorema 3.3 Gra path P n merupakan gra E-cordial untuk n 2(mod4). Misalkan diberikan gra P n dengan n titik. Bila v, v 2,, v n merupakan titik-titik dan e, e 2,, e n merupakan sisi-sisi dari P n sehingga berlaku : e i = v i v i+ ; untuk i =,, n 2 e i = v i v n ; untuk i = n Pendeinisian pelabelan sisi biner : E(P n ) {,} dibagi menjadi 2 kasus sebagai berikut : Kasus n ganjil : e i = jika i,(mod4) jika i 2,3(mod4) Kasus 2 n genap (e i ) = jika i,2(mod4) jika i,3(mod4) Contoh 3.3 Diberikan pelabelan E-Cordial pada gra P 8 seperti pada Gambar 3.8 berikut : e v 3 e 2 e e 5 e 6 v v v 3 e 4 e 2 3 v 5 v 6 v 7 7 v8 v 4 (a) v 3 (b) Gambar 3.3 (a) Gra P 8 dan (b) Pelabelan E-Cordial pada gra P 8 68
Pelabelan pada gra P 8 Gambar 3.3(b) memiliki v = 4, v = 4, sedangkan e = 4, e = 3, sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () dan e ( ) e (). Teorema 3.4 Gra hypercube merupakan gra E-cordial untuk k 2 Diberikan gra hypercube Q k dengan n titik dimana n = 2 k dan sisi m = k 2 (k ). Bila v, v 2,, v n merupakan titik-titik dan e, e 2,, e m merupakan sisi dari gra hypercube sedemikian sehingga untuk penamaan titik-titiknya dimulai dari dalam ke luar searah jarum jam, sedangkan untuk sisinya berlaku hal yang sama. Dalam hal ini pelabelan sisinya dideinisikan sebagai berikut : Untuk i m Contoh 3.4 e i = jika i,2(mod4) jika i,3(mod4) Diberikan pelabelan E-cordial pada gra Q 3 sebagai berikut : v 6 e v 7 e 6 e7 v 2 e 2 v 3 e 9 e e 3 e e5 v e 4 v 4 e 8 v 5 v 8 e 2 (a) (b) Gambar 3.4(a) Gra Q 3 dan (b) Pelabelan E-cordial pada gra Q 3 69
Pelabelan pada gra Q 3 Gambar 3.4(b) memiliki v = 4, v = 4, sedangkan e ()=6,e ()=6, sehingga merupakan pelabelan E-cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () dan e ( ) e (). Teorema 3.5 [6] Gra bipartite komplit K m,n merupakan gra E-cordial untuk m dan n ganjil dengan m + n 2(mod4) dan m > n Misalkan diberikan gra G = K m,n dengan titik m + n dan sisinya m n. Bila himpunan titik V = {u, u 2,, u m } dan V 2 = {v, v 2,, v n }. Bila e ui v j merupakan sisi dari gra G dimana i =,2,, m dan j =,2,, n. Bila sebagai pelabelan E-cordial dari K m,n, sedemikian sehingga pelabelan sisinya dideinisikan sebagai berikut : (e i,j ) = Jika m (mod4) i = u,, um+, j = v,, v n 2 i = um+3,, u m, j = v,, v n 2 (em+ 2,j ) = Jika m 3(mod4) Teorema 3.6 (em+ 2,j ) = j = v,, vn + 2 j = vn +3,, v n 2 j = v,, vn 2 j = vn+,, v n 2 Gra bipartite komplit K m,n merupakan gra E-cordial untuk m = n 2 mod4. Pelabelan sisinya dideinisikan sebagai berikut : Untuk i m 7
e ij = jika j =,3,, n jika j = 2,4,, n Deinisi 3.7 [5] Misalkan G sebuah gra bipartit dengan himpunan titik V dan V 2, sedangkan G merupakan salinan dari G, V salinan dari V dan V 2 salinan dari V 2. Gra cermin M(G) dari G adalah suatu gra yang diperoleh dari G dan G yang menghubungkan setiap titik dari v i V 2 ke v i V 2 dengan sebuah sisi. Contoh 3.7 Diberikan suatu gra G dengan himpunan titik V = v 2, v 4 dan V 2 = v, v 3 sedangkan untuk salinannya G memiliki himpunan titik V = v 2, v 4 dan V { v', ' }. Gra cermin ' 2 v 3 M(G) dari G diperoleh dengan menghubungkan v dan v dengan e kemudian v 2 dan v 2 dengan e 2 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.7 sebagai berikut : v 2 e v e* v e v 2 e 2 e 2 e 3 v 4 v 3 e* 2 v 3 e 3 v 4 Gambar 3.7 Gra M(G) Teorema 3.8 [4] Gra cermin dari gra sikel C n merupakan gra E-Cordial untuk n genap Bila E M C n, dan dideinisikan pelabelan sebagai berikut : Untuk i n e i = ; i, mod4 = ; lainnya 7
e i = ; i,2 mod4 = ; lainnya Untuk j < n 2 e j = ; j mod2 = ; lainnya Untuk j = n 2 e j = Contoh 3.8 Diberikan pelabelan E-Cordial gra cermin dari gra sikel M(C 8 ) sebagai berikut: e v 2 v e 2 e* v e v 2 e 2 e 3 v 4 v 3 e* 2 v 3 e 3 v 4 e 4 e 4 e 5 v 6 v 5 e* 3 v 5 e 5 v 6 e 8 e 7 e 6 v 8 v 7 e* 4 (a) e 6 e 8 v e 7 7 v 8 (b) Gambar 3.8 (a) Gra M(C 8 ) dan (b) Pelabelan E-Cordial pada gra M(C 8 ) 72
Pelabelan pada gra M(C 8 ) Gambar 3.8(b), diperoleh v = 8, v = 8, sedangkan e =, e =, sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () 8 8 dan e ( ) e (). Teorema 3.9 [4] Gra cermin dari gra Path P n merupakan gra E-Cordial untuk n genap. Bila E M P n, dan dideinisikan pelabelan sebagai berikut : Untuk i < n e i = ; i, mod4 = ; lainnya Untuk i = n e i = Untuk i n e i = ; i,3 mod4 = ; lainnya Untuk j n 2 e j = ; j mod2 = ; lainnya Contoh 3.9 Diberikan pelabelan E-Cordial pada gra cermin M(P ) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.9 berikut : 73
e v 2 v e 2 e* e v v 2 e 2 e 3 v 4 v 3 e* 2 v 3 e 3 v 4 e 4 e 4 e 5 v 6 v 5 e* 3 v 5 e 5 v 6 e 7 e 6 v 8 v 7 e* 4 e 6 e 7 v 7 v 8 v e 9 e 8 e 8 e* 5 e 9 v 9 v 9 v (a) (b) Gambar 3.9 (a) Gra M(P ) dan (b) Pelabelan E-Cordial pada gra M(P ) Pelabelan pada gra M(P ) Gambar 3.9(b) diperoleh v =, v =, sedangkan e = 2, e =, sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () dan e ( ) e (). Teorema 3. [4] Gra cermin dari gra Hypercube Q k merupakan gra E-Cordial untuk k 2 Bila E M Q k,, dideinisikan pelabelan sebagai berikut: 74
. Untuk k mod2 Semua sisi yang insiden terhadap titik v j dan v 2j dimana j mod2 ditetapkan berlabel sedangkan sisi yang insiden pada titik v j dan v 2j dimana j mod2 ditetapkan berlabel. Untuk j n 2 e j = ; j mod2 = ; lainnya 2. Untuk k mod2 Untuk i m e i =. Untuk i m e i =. Untuk j n 2 e j = ; j mod2 = ; lainnya Contoh 3. Sebagai ilustrasi berikut diberikan pelabelan E-Cordial gra cermin M Q 2 dimana k = 2 maka titik n 2 k 2 2 4dengan himpunan titik V = v, v 2 salinannya V = v, v 2 dan V 2 = v 2, v 22 salinannya V 2 = v 2, v 22 kemudian setiap titik dari v 2, v 22 V 2 dihubungkan terhadap titik v' 2, v' 22 V' 2 oleh sisi e, e 2 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2 dibawah ini : 75
v e v 2 e* e e 2 e 2 v 2 v e 3 v 2 v 22 e 4 e* 2 (a) v 22 e 3 e 4 v 2 (b) Gambar 3.(a) Gra M(Q 2 ) dan (b) Pelabelan E-Cordial pada Gra M(Q 2 ) Pelabelan pada gra M Q 2 Gambar 3.(b) diperoleh v ( ) 4, v () 4, sedangkan e ( ) 5, e () 5 sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () yaitu 4 4 dan e ( ) e () yaitu 5 5. Teorema 3. Gra cermin dari gra Biparti Komplit M(K m,n ) merupakan gra E-Cordial untuk m + n genap dan m = n Bila E M K m,n,, dideinisikan pelabelan sebagai berikut : Kasus : ( m dan n ganjil ) Untuk i m e ui v j = ; j =,2,, n 76
Untuk i m e ui v j = ; j =,2,, n Untuk j n e j = ; j mod2 = ; lainnya Kasus 2 : (m dan n genap ) Untuk u i u m e ij = ; j = v = ; j = v 2, v 3,, v n Untuk v j v n e ij = ; i = u m = ; i = u, u 2,, u m Untuk k n e k = ; k mod2 = ; lainnya Contoh 3. Diberikan pelabelan E-Cordial pada gra M K 4,4 sebagai berikut : 77
e u uv e* v v u e uv4 e uv2 euv3 e u v e u v 2 e u v 3 e u v 4 u 2 e u2v4 e u2v e u2v2 eu2v3 v 2 e* 2 v 2 e u 2v 2 e u 2v 3 e u 2v u 2 e u 2v 4 e u3v e u3v2 e u 3v 2 e u 3v e u3v3 u 3 v 3 e* 3 v 3 e u 3v 3 u 3 e u3v4 e u 3v 4 e u4v e u4v2 u 4 e u4v4 e u4v3 v 4 e* 4 v 4 e u 4v 2 e u 4v 3 e u 4v 4 e u 4v u 4 (a) (b) Gambar 3. (a) Gea M K 4,4 dan (b) Pelabelan E-cordial pada gra M K 4,4 Pelabelan pada gra M K 4,4 Gambar 3.(b) memiliki v ( ) 8, v () 8, sedangkan e ( ) 8, e () 8, sehingga merupakan pelabelan E-Cordial karena memenuhi ketentuan v ( ) v () 8 8 dan e ( ) e () 8 8. 78
IV. PENUTUP Berdasarkan pembahasan dari bab sebelumnya mengenai pelabelan E Cordial pada beberapa gra cermin dapat diambil kesimpulan bahwa Gra sikel C n, gra path P n, gra hypercube Q k, dan gra bipartit komplit K m,n dapat dilabeli dengan pelabelan E-cordial sehingga merupakan gra E-cordial. Dan Gra Cermin dari gra sikel M(C n ), gra cermin path M(P n ), gra cermin hypercube M(Q k ) dan gra cermin bipartit komplit M K m,n dapat dilabeli dengan pelabelan E-cordial sehingga merupakan gra E-cordial. V. DAFTAR PUSTAKA. Bambang Irawanto dan Bambang Yisminto. 23. Matematika Diskrit I. Lab Matematika Undip: Semarang. 2. Chartrand, G. and Lesniak, L. 996. Graphs & Digraphs, 3 rd ed, Chapman & Hill. London. 3. Gallian J. A, A dynamic survey o graph lebelling, The Electronic journal o Combinatorics (2). 4. Vaidya S. K. and Vyas, N. B. (2). E-Cordial Labeling o Some Mirror Graphs, International Journal o Contemporary Advanced Mathematics, 2(), 22-27. 5. Wilson, J. Robin and John J. Watskin. 99. Graphs An Introductory Approach. New York: University Course Graphs, Network, and Design. 6. Yilmaz R and Cahit I, E-cordial graphs, Ars. Combin. 46(997),25-26 79