BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Perencanaan Produksi

BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Perencanaan Produksi Produksi yang dalam bahasa inggris disebut production adalah keseluruhan proses yang dilakukan untuk menghasilkan produk atau jasa Produk yang dihasilkan sebagai output dari proses tersebut dapat berupa produk akhir (finished product) yang sering disebut juga produk jadi, produk setengah jadi (work-in-process) atau bahan baku (raw materials) yang semuanya bersifat tangible (berwujud fisik) Jasa (services) adalah output yang bersifat intangible (berwujud non-fisik) Aktifitas produksi sebagai suatu bagian dari fungsi organisasi perusahaan bertanggung jawab terhadap pengolahan bahan baku menjadi produk jadi yang dapat dijual Untuk melaksanakan fungsi produksi tersebut diperlukan rangkaian kegiatan yang akan membentuk suatu sistim produksi Sistim produksi merupakan kumpulan dari sub-sistim yang saling berinteraksi dengan tujuan mentransformasi input produksi menjadi output produksi Input produksi ini dapat berupa bahan baku, mesin, tenaga kerja, modal dan informasi sedangkan output produksi merupakan produk yang dihasilkan berikut hasil sampingaya seperti limbah, informasi, dan sebagainya Sub-sistim dari sistim produksi tersebut antara lain adalah perencanaan dan pengendalian produksi, pengendalian kualitas, penentuan standar-standar operasi, penentuan fasilitas produksi, perawatan fasilitas produksi dan penentuan harga pokok produksi Tujuan akhir dari suatu perusahaan adalah untuk memperoleh keuntungan disamping tercapainya kelanjutan dan pengembangan usaha Salah satu fungsi yang terpenting dalam mendukung usaha untuk mencapai tujuan tersebut adalah perencanaan produksi Perencanaan produksi dapat didefinisikan sebagai proses untuk merencanakan aliran material yang masuk, mengalir dan keluar dari sistim

8 produksi atau operasi sehingga permintaan pasar dapat dipenuhi dengan jumlah yang tepat The American Production and Inventory Control Society mendefinisikan perencanaan produksi sebagai suatu kegiatan yang berkenaan dengan penentuan apa yang harus diproduksi, berapa banyak diproduksi, kapan diproduksi, dan apa sumber daya yang dibutuhkan untuk mendapatkan produk yang telah ditetapkan (Sinulingga, 2009) Perencanaan produksi dilakukan dengan tujuan menentukan arah awal dari tindakan-tindakan yang harus dilakukan di masa mendatang, apa yang harus dilakukan, berapa banyak melakukaya, dan kapan harus melakukan Karena perencanaan ini berkaitan dengan masa mendatang, maka perencanaan disusun atas dasar perkiraan yang dibuat berdasarkan data masa lalu dengan menggunakan beberapa asumsi Kegunaan dari pelaksanaan perencanaan produksi adalah: 1 Suatu perencanaan meliputi usaha untuk menetapkan tujuan yang dipilih untuk dicapai sehingga dengan adanya perencanaan produksi dapat memberikan arah bagi setiap kegiatan produksi Dengan adanya kejelasan arah tersebut maka kegiatan akan dapat dilaksanakan dengan efektif 2 Dengan perencanaan produksi yang berisi formulasi tujuan yang hendak dicapai maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan tersebut telah tercapai atau tidak Dengan demikian, koreksi-koreksi terhadap penyimpangan dari tujuan yang telah ditetapkan dapat diketahui secepatnya sehingga pemborosan dan usaha yang tidak menunjang pencapaian tujuan dapat dihindari 3 Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasi hambatanhambatan yang mungkin muncul dalam usaha pencapaian tujuan tersebut 4 Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali Misalnya dalam pengembangan usaha selalu ada kecenderungan untuk

9 selalu menambah jumlah dan jenis tenaga kerja yang sudah dimiliki untuk memperbaiki mutu serta jumlah output 22 Program Linier Konsep linear programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig Program linier merupakan suatu metode untuk membuat keputusan di antara berbagai aternatif kegiatan dibatasi oleh kendala tertentu Keputusan yang diambil dinyatakan sebagai fungsi tujuan sedangkan kendalakendala yang dihadapi dalam membuat keputusan tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi kendala Fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut berupa fungsi linier, baik dalam bentuk persamaan maupun pertidaksamaan pada variabel-variabel keputusaya Bentuk umum dari permasalahan LP adalah: Maximum cc TT xx Kendala: AAAA bb 21 Beberapa contoh aplikasi LP yang telah berhasil diterapkan dalam bidang militer, industri, dan sosial adalah: 1 Mengembangkan jadwal produksi yang bertujuan memuaskan konsumen terhadap produk yang dikonsumsikan dan pada saat yang sama dapat meminimalisasi biaya produksi dan persediaan 2 Penentuan kombinasi produk (product-mix), yaitu menentukan produk mana dari sejumlah alternatif kemungkinan produksi yang dapat memaksimalkan keuntungan 3 Penentuan sistim distribusi yang akan meminimalisasi biaya total pengiriman dengan menggunakan mobil box dari gudang ke berbagai pasar 4 Menganalisis portofolio investasi dari berbagai alternatif investasi dalam saham dan obligasi sehingga seorang investor dapat menentukan portofolio yang dapat memaksimumkan pengembalian investasi

10 5 Menentuan penjadwalan untuk melakukan aktifitas produksi bagi tenaga kerja di perusahaan 221 Unsur Unsur Program Linier Adapun unsur-unsur dalam program linier adalah: a Variabel Keputusan Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat Variabel keputusan ini tidak negatif b Fungsi Tujuan Adapun tujuan dalam program linier adalah masalah optimasi yakni tujuan memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu di mana tingkat pencapaian tujuan ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan yang dimiliki c Kendala Tujuan Kendala merupakan batasan-batasan yang harus diperhatikan dalam penyelesaian program linier Kendala tersebut dibuat dalam fungsi linier 222 Asumsi Dasar Program Linier Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan program linier menjadi absah, adapun asumsi program linier adalah sebagai berikut: 1 Asumsi kesebandingan (proposionality) a Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan b Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu 2 Asumsi penambahan (additivity) a Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain

11 b Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain 3 Asumsi pembagian (divisibility) Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan 4 Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti 23 Program Bilangan Bulat Linier Program bilangan bulat linier (Integer Linear Programming / ILP) adalah bentuk khusus dari permasalahan program linier di mana pada solusi optimalnya beberapa atau seluruh variabelnya dibatasi harus berupa bilangan bulat (integer) tak negatif ILP digunakan untuk memodelkan permasalahan yang mengandung variabel keputusan yang harus bernilai integer, misalnya variabel yang menggambarkan jumlah orang atau jumlah unit produk yang akan diproduksi Permasalahan di mana seluruh variabelnya dibatasi harus berupa integer tak negatif disebut permasalahan program integer linier murni (Pure Integer Linear Programming / PILP) Jika hanya beberapa variabel saja yang harus bernilai integer, permasalahan ini disebut sebagai permasalahan integer linier campuran (Mixed Integer Linear Programming / MILP) Dalam suatu kondisi khusus di mana seluruh variabel keputusan dalam suatu masalah harus bernilai 0 atau 1 maka permasalahan tersebut disebut Binary Integer Linear Programming (BILP) Bentuk umum dari ILP adalah: MMMMMMMM aaaaaaaa MMMMMM ZZ = cc jj xx jj

12 keterangan: ZZ = Fungsi tujuan xx jj = Variabel keputusan j cc jj KKKKKKKKKKKKKK: aa iiii xx jj xx jj 0 xx jj ZZ + = Koefisien dari variabel keputusan j = bb ii ii = 1,2,3,, mm;jj = 1,2,3,, 22 aa iiii = Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala ke-i bb ii = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i Banyak permasalahan yang dapat dimodelkan sebagai program integer, misalnya dalam ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan lingkungan, oleh karena itu tidak mengherankan bahwa banyak metode penyelesaian dan kode yang muncul untuk menyelesaikan program integer Beberapa metode dapat digunakan untuk seluruh tipe ILP dan beberapa metode hanya diperuntukkan untuk menyelesaikan suatu masalah ILP tertentu Pada dasarnya, solusi integer optimal berada dekat dengan solusi program linier Titik-titik yang berada dalam daerah fisibel (feasible region) berupa titiktitik yang fisibel sebagai koordinat yang bernilai integer disebut integer lattice points Pemecahan persoalan LP biasa terletak pada batas luar dari daerah fisibelnya, khususnya pada titik-titik ekstrimnya yang disebut vertex Misalkan daerah fisibel tersebut dapat diciutkan menjadi convex hull of the feasible lattice points, di mana convex hull merupakan daerah convex terkecil yang memuat semua titik-titik lattice Convex hull diperoleh sebagai hasil modifikasi dari persoalan asli dengan jalan menambahkan kendala linier baru Persoalan baru ini mencakup dua aspek berikut:

13 1 Mencakup setiap pemecahan integer yang fisibel terhadap persoalan asli Jadi pemecahan yang menghasilkan bilangan-bilangan bulat atau integer masih merupakan penyelesaian dari persoalan LP yang asli 2 Setiap pemecahan dasar dari persoalan baru merupakan pemecahan integer Pemecahan dasar optimal dari persoalan yang baru juga merupakan pemecahan optimal dari permasalahan LP yang asli namun berupa integer Dalam prakteknya sukar untuk memotong daerah fisibel menjadi convex hull of the feasible lattice points sehingga diperlukan metode yang terdiri dari urutan langkah-langkah dengan jalan selalu menambahkan kendala baru terhadap persoalan asli sebagai kelanjutan dari hasil perhitungan sebelumnya Konsep inilah yang diterapkan dalam metode branch and bound, cutting plane dan metode branch and cut 24 Metode Simpleks Masalah program linier berkembang pesat setelah ditemukan suatu metode penyelesaian program linier yaitu metode simpleks yang ditemukan oleh George Dantzig pada tahun 1947 Permasalahan linier sederhana yang mengandung dua atau tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik Namun untuk masalah program linier yang mengandung lebih dari tiga variabel, metode grafik tidak dapat digunakan sehingga diperlukan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan masalah program linier yang rumit Metode simpleks adalah metode yang dapat menyelesaiakan masalah program linier dengan jumlah variabel yang besar Penyelesaian model program linier dengan menggunakan metode simpleks memerlukan pengubahan model formulasi ke dalam bentuk standar dengan syarat sebagai berikut: 1 Semua kendala berbentuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh kendala lebih kecil dari ( ) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan slack

14 variable Untuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh tanda lebih besar ( ) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan surplus variable 2 Nilai ruas kanan setiap kendala bertanda positif, jika nilai ruas kanan dari suatu kendala bertanda negative maka harus diubah menjadi positif dengan mengalikan pertidaksamaan dengan -1 3 Semua variabel keputusan bernilai noegatif Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, di antaranya: 1 Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya 2 Variabel nonbasis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi Dalam terminologi umum, jumlah variabel nonbasis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan 3 Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =) Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif) 4 Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan 5 Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=) Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis 6 Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=) Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis

15 7 Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variab el basis awal Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataaya variabel ini tidak ada Variabel hanya ada di atas kertas 8 Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja) 9 Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar 10 Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya 241 Langkah-Langkah Metode Simpleks Algoritma metode simpleks untuk persoalan maksimasi: 1 Konversikan formulasi model program linier ke dalam bentuk standar 2 Cari Solusi Basis Feasible (BFS) 3 Jika seluruh variabel nonbasis (NBV) mempunyai koefisien noegatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan [baris persamaan ZZ yang biasa disebut baris 0 atau baris (ZZ jj CC jj )], maka BFS sudah optimal Jika pada baris 0 masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris 0 itu Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV) 4 Hitung rasio dari ruas kanan atau (koefisien EV) pada setiap baris di mana EV mempunyai koefisien positif Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variable, disingkat LV)

16 5 Lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi bernilai 1 dan bernilai 0 pada baris-baris laiya 6 Kembali ke langkah 3 25 Metode Dual Simpleks Apabila pada suatu iterasi diperoleh persoalan program linier yang sudah optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas noegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual Simpleks Syarat digunakaya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda ( ), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi Pada dasarnya metode dual Simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya ditentukan sebagai berikut: 1 Leaving variable (kondisi fisibilitas) Yang menjadi leaving variable pada dual Simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga negatif terbesar Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai 2 Entering variable (kondisi optimalitas) a Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable Abaikan penyebut yang positif atau nol Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel b Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolut terkecil

17 26 Metode Branch and Bound Metode branch and bound pertama kali dkembangkan pada tahun 1960 oleh Land dan G Doig yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mixed integer linear programming dan pure integer linear programming secara umum Selanjutnya pada tahun 1965 E Balas mengembangkan algoritma tambahan untuk menyelesaiakan masalah binary integer linear programming Metode branch and bound awalnya hanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program integer Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah laiya seperti traveling salesman problem, scheduling dan sebagainya Ide mendasar dari metode ini adalah membagi daerah layak menjadi beberapa sub-bagian yang mengandung titk-titik fisibel dengan koordinat integer dengan menambahkan kendala tambahan kemudian menyelesaikaya Untuk menyelesaikan suatu masalah program integer dengan menggunakan metode branch and bound, langkah pertama adalah mengabaikan kendala integer dari permasalahan awal sehingga terbentuk permasalahan LP relaksasi kemudian diselesaikan Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan permasalahan LP relaksasi Namun, metode yang umum digunakan adalah metode simpleks Jika permasalahan tersebut tidak mempunyai penyelesaian optimum yang bernilai integer, maka dua kendala baru dibentuk Kendala tersebut adalah batas atas dan bawah dari variabel yang dibatasi harus bernilai integer namun belum bernilai integer Konsep dasar dari metode branch and bound adalah pengamatan terhadap tiap-tiap nilai xx jj, di mana xx jj adalah variabel yang dibatasi harus bernilai integer Jika nilai xx jj belum integer, maka masalah awal dibagi menjadi dua masalah baru dengan menambahkan dua kendala baru yaitu, xx jj xx jj dan xx jj xx jj + 1 di mana xx jj adalah integer terdekat yang lebih kecil dari xx jj Proses inilah yang dinamakan branching (pencabangan) Dalam kasus maksimasi, solusi awal dijadikan sebagai batas atas (upper bound) Penambahan pertidaksamaan sebagai

18 pencabangan masalah akan mengakibatkan berkurangnya nilai fungsi tujuan pada solusi optimal Sebagai salah satu hasil pencabangan variabel yang belum integer pada setiap cabang, satu dari dua kejadian berikut akan terjadi Yang pertama, solusi yang diperoleh tidak memenuhi syarat integer dari variabel yang dicabangkan, dan memperoleh nilai fungsi objektif yang kurang sesuai dibandingkan dengan pencabangan lain yang semua solusinya sudah integer, dalam kasus ini pencabangan dilanjutkan Yang kedua, mungkin diperoleh solusi lain yang sudah memenuhi syarat integer, dalam kasus ini pencabangan dihentikan Terdapat dua tahap yang dipakai dalam algoritma branch and bound, yaitu: 1 Pencabangan, yaitu mempartisi masalah tersebut menjadi beberapa submasalah dengan cara menambahkan kendala yang merupakan syarat perlu untuk mencari solusi integer fisibel tanpa mengubah himpunan solusi integer semula 2 Pembatasan, yaitu nilai fungsi objektif dari suatu sub-masalah yang mempunyai solusi integer dipakai sebagai batas nilai fungsi objektif dari submasalah laiya Branch and bound adalah algoritma yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah integer programming Algoritma branch and bound juga telah banyak digunakan sebagai kode program computer, misalnya OSL, LAMPU, dan LINDO Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound: 1 Selesaikan masalah program linier relaksasi dengan metode simpleks 2 Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah integer, solusi optimum integer telah tercapai Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan integer, lanjutkan ke langkah 3

19 3 Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusaya telah dibulatkan (rounded down) 4 Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan desimal terbesar) dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan ke dalam sub-masalah Tujuaya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan 5 Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas Solusi optimum yang dibulatkan menjadi batas bawah (solusi yang sebelumnya tidak bulat kemudian dibulatkan) Sub-masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub-masalah yang dicari Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub-masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan Kembali ke langkah 4 27 Metode Cutting Plane Metode cutting plane yang digunakan untuk menyelesaikan masalah secara umum, pertama kali dikemukakan oleh Gomory (1963) Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program integer linier, baik integer murni maupun campuran dengan penambahan batasan baru yang disebut gomory Batasan gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum integer (bernilai pecahan) Batasan-batasan tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik integer yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik integer yang layak (Taha, 1996) Langkah-langkah prosedur gomory diringkas seperti berikut:

20 1 Selesaikan masalah program integer dengan menggunakan metode simpleks Masalah sederhana dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan gomory kurang efisien 2 Periksa solusi optimum Jika semua variabel basis memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir Jika satu atau lebih variabel basis masih meiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3 3 Buatlah suatu batasan gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual Simpleks Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996) Misalnya diberikan sebuah permasalahan integer programming berikut: Tabel 21 Tabel Optimum Masalah Program Linier Basis xx 1 xx ii xx mm ww 1 ww jj ww Hasil zz 0 0 0 cc 1 cc jj cc ββ 0 xx 1 1 0 0 1 αα 1 jj αα 1 αα 1 ββ 1 xx ii 0 1 0 1 αα ii jj αα ii αα ii xx mm 0 0 1 αα mm 1 αα mm jj ββ ii αα mm ββ mm Tentukan baris sumber dengan menentukan baris variabel keputusan yang akan dibulatkan Jika lebih dari satu, dipilih nilai pecahan terbesar xx ii = ββ ii αα jj ii ww jj ; ββ ii tidak integer 23 misalkan: ββ ii = [ββ ii ] + ff ii αα jj ii = αα jj ii + ff iiii di mana: [ββ ii ] adalah integer terbesar sehingga [ββ ii ] ββ ii αα jj ii adalah integer terbesar sehingga αα jj ii αα jj ii

21 Disimpulkan bahwa 0 < ff ii < 1 dan 0 < ff iiii < 1, yang mana ff ii dan ff iiii adalah pecahan positif, sehingga: xx ii = ββ ii αα ii jj ww jj xx ii = [ββ ii ] + ff ii αα ii jj + ff iiii ww jj xx ii = [ββ ii ] + ff ii αα ii jj ww jj + ff iiii ww jj ff ii ff iiii ww jj = xx ii [ββ ii ] + αα jj ii ww jj 24 Agar semua variabel xx ii dan ww jj adalah integer, maka sisi kanan dari Persamaan 24 haruslah integer yang berakibat sisi kiri juga harus integer Karena ff iiii 0 dan ww jj 0 untuk semua i dan j maka: akibatnya, ff iiii ww jj 0 ff ii ff iiii ww jj ff ii 1 karena ff ii ff iiii ww jj harus bernilai integer, satu kondisi untuk memenuhi sifat integer ini menjadi: ff ii ff iiii ww jj 0 ff ii ff iiii ww jj + SS ggii = 0 batasaya dapat ditulis dalam bentuk: SS ggii = ff iiii ww jj ff ii 25

22 atau, SS ggii ff iiii ww jj = ff ii 26 Tabel 22 Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional Basis xx 1 xx ii xx mm ww 1 ww jj ww SS ggii Hasil zz 0 0 0 cc 1 cc jj cc 0 ββ 0 xx 1 1 0 0 1 αα 1 jj αα 1 αα 1 0 ββ 1 xx ii 0 1 0 1 αα ii jj αα ii αα ii 0 ββ ii xx mm 0 0 1 1 αα mm jj αα mm αα mm 1 ββ mm SS ggii 0 0 0 ff ii1 ff iiii ff iiii 1 ff ii di mana SS ggii adalah variabel slack noegatif yang berdasarkan definisinya haruslah integer Persamaan batasan ini mendefinisikan pemotong fraksional Dari Tabel 22 ww jj = 0 dan SS ggii = ff ii tidak layak Ini berarti bahwa batasan baru tersebut tidak dipenuhi oleh solusi yang diberikan Metode dual Simpleks dapat dipergunakan untuk mengatasi ketidaklayakan ini yang setara dengan memotong bidang solusi ke arah solusi integer optimal Jika solusi baru (setelah menerapkan metode dual Simpleks) adalah integer, proses berakhir Jika tidak, sebuah gomory baru ditambahkan dari tabel yang dihasilkan dan metode dual Simpleks kembali digunakan untuk mengatasi ketidaklayakan Prosedur ini dilakukan sampai solusi integer dicapai Jika di salah satu iterasi metode dual Simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak (Taha, 1996)

23 28 Metode Branch and Cut Banyak permasalahan optimisasi dapat diformulasikan sebagai masalah Integer Linear Programming (ILP) Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode branch and bound dan metode branch and cut Algoritma metode branch and cut dibuat dari kombinasi metode cutting-plane dengan metode branch and bound Prosedur metode branch and cut adalah menyelesaikan rangkaian relaksasi program linier dari masalah integer linear programming Metode cutting plane memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati penyelesaian berupa integer, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan menyelesaikan (devide and conquer) masalah Misalkan bahwa titik xx adalah solusi layak untuk linear programming Jika xx berada pada daerah integral, maka ZZ merupakan solusi optimal untuk integer linear programming sudah diperoleh Jika tidak, maka nilai fungsi objektif merupakan batas atas dari nilai optimum, tetapi dibutuhkan penyelesaian lebih lanjut untuk memperoleh nilai optimum berupa integer Dengan penambahan bidang pemotongan (cutting plane) atau membagi masalah tersebut menjadi bagian-bagian masalah (branch) Mitchell (1999) menjelaskan bahwa secara umum algoritma branch and cut adalah sebagai berikut: 1 Inisialisasi: nyatakan persoalan awal ke dalam bentuk ILP 0 dan titik-titik aktif menjadi LL = {IIIIII 0 } Tetapkan batas bawah menjadi zz = Tetapkan zz ll = + untuk sebuah persoalan ll LL 2 Penghentian proses: jika LL = maka solusi xx yang menghasilkan nilai zz objektif yang terbaik merupakan solusi optimal Jika tidak ditemukan xx (misalnya, zz = ) maka ILP tidak layak 3 Pemilihan masalah: pilih dan hilangkan masalah IIIIII ll dari L 4 Relaksasi: selesaikan relaksasi program linier dari IIIIII ll Jika relaksasi tidak layak, tetapkan zz ll = dan lanjut ke langkah 6 Misalkan zz merupakan nilai objektif optimal dari relaksasi dan misalkan xx llll merupakan jawaban optimal Jika relaksasinya layak tetapkan zz ll = zz

24 5 Tambahkan bidang pemotongan: jika diinginkan carilah bidang pemotongan yang akan memenuhi xx llll, jika sudah ditemukan, tambahkan bidang pemotongan tersebut pada relaksasi dan kembali ke langkah 4 6 Pengukuran dan pemangkasan: a Jika zz ll zz kembali ke langkah 2 b Jika zz ll > zz dan xx llll adalah integer yang layak, perbaharui nilai zz dengan melakukan teknik rounded down berdasarkan nilai zz ll, kemudian buang dari L seluruh masalah di mana zz ll zz, dan lanjut ke langkah 2 7 Pemilihan: misalkan SS llll jj =kk adalah partisi dari kumpulan kendala SS ll dari jj =kk masalah IIIIII ll Tambahkan permasalahan IIIIII llll ke dalam L, di mana IIIIII llll adalah IIIIII ll dengan daerah layak yang terbatas pada SS llll dan zz llll di mana jj = 1,, kk ditetapkan ke dalam nilai zz ll untuk permasalahan induk di mana: ILP 0 IIIIII ll L zz ll z = Bentuk ILP dari permasalahan awal = Bentuk ILP dari sebuah permasalahan l L = Himpunan titik-titik aktif dari persoalan ILP = Batas atas dari nilai fungsi tujuan suatu sub-masalah l L = Batas bawah dari nilai fungsi tujuan x* = Solusi dari suatu sub-masalah xx llll SS ll S Lj J=k J=1 = Solusi optimal dari suatu sub-masalah = Kendala dari masalah IIIIII ll = Partisi dari kumpulan kendala SS ll Dari masalah IIIIII ll IIIIII llll = IIIIII ll dengan daerah layak yang terbatas pada SS llll dan zz llll di mana j = 1,, k Pada algoritma branch and cut, diberikan L yang merupakan himpunan titik aktif pada pencabangan branch and cut Nilai objektif terbaik yang diperoleh dari titik layak dinotasikan sebagai zz Lebih lanjut, zz ll adalah batas atas nilai optimal dari sub-masalah Nilai dari sub-masalah tersebut digunakan untuk

25 memperbaharui zz ll Dalam beberapa kondisi, sejumlah cutting plane ditemukan pada langkah 5, biasanya cutting plane yang diperoleh dipilah dan yang ditambahkan pada persamaan adalah subsetnya Sub-masalah yang terbentuk pada langkah 7 disebut sub-masalah anak dan sub-masalah pada node sebelumnya sebagai sub-masalah induknya Biasanya pembagian masalah tersebut menggunakan bentuk dari variabel penghubung xx ii aa dan xx ii aa untuk suatu variabel xx ii dan a merupakan integer Kendala-kendala tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai metode untuk ILP Secara khusus pada langkah awal diselesaikan dengan metode simpleks, jawaban berikutnya diperoleh dengan metode dual Simpleks Solusi dual untuk jawaban sub-masalah akhir adalah layak untuk sub-masalah awal Lebih lanjut, ketika pemotongan (cut) ditambahkan pada langkah 5, juga memanfaaatkan iterasi dual Simpleks untuk mendapatkan solusi optimal yang integer Cutting plane yang ditambahkan pada salah satu vertex dari pohon branch and cut mungkin tidak berlaku untuk sub-masalah lain Dalam hal ini cut ini disebut cut lokal