MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi V r Contoh yang 3 lain, tempat kedudukan titik-titik (, y) yang jaraknya satuan dari titik pangkal O adalah y da hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan dan kurang dari atau sama dengan, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan dan kurang dari atau sama dengan Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan satu atau lebih elemen pada Y Selanjutnya, korespondensi y disebut relasi dari X ke Y Secara umum, apabila dan masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari ke didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R a a a 3 b b b 3 b 4 Gambar Relasi dari himpunan ke Jika R adalah relasi dari ke dan berelasi R dengan y maka ditulis: ( a, b) R atau arb atau b R( a) pabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar Pada contoh yang pertama setiap r 0 menentukan tepat satu V 0 Sementara pada contoh yang ke dua, setiap [,] berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai [,] yang berbeda Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi Definisi Diketahui R relasi dari ke pabila setiap tepat satu maka R disebut fungsi dari ke berelasi R dengan
Jadi, relasi R dari ke disebut fungsi jika untuk setiap sehingga b R(a) terdapat tepat satu y Sebagai contoh, misalkan X, dan Y 3,6 Himpunan,3), (,3) ( merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y Demikian pula, himpunan (,6), (,3) merupakan fungsi dari X ke Y Sementara himpunan (,3),(,6),(,3) bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi dari himpunan ke himpunan, maka dituliskan: f : Dalam hal ini, himpunan dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f Domain fungsi f ditulis dengan notasi D f, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada Jadi: R : f ( ada (terdefinis ikan ) D f Himpunan semua anggota yang mempunyai kawan di dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis R f atau Im(f) (Perhatikan Gambar ) Gambar Jika pada fungsi f :, sebarang elemen mempunyai kawan y, maka dikatakan y merupakan bayangan oleh f atau y merupakan nilai fungsi f di dan ditulis y = f( f y Gambar 3 f fungsi dari himpunan ke Selanjutnya, dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas Sedangkan y = f( disebut rumus fungsi f
Contoh Tentukan domainnya a f ( b f ( c f ( ln( 6) 5 a Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol Oleh karena itu, D f R : terdefinis ikan R : 0 R { } b Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: D f R : ada R : 0 R : 0 atau (,0] (, ) c Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan Sehingga: D f R : ln( 6) ada 5 R : ada dan ln( 6) ada 5 R : 5 0 dan ( 6) 0 R : 5 dan ( atau 3) R : 5 dan atau R : 5 dan 3) = (, 5) (5, ) (3, ) Contoh 3 Jika f ( 3 (, maka tentukan: a f () b f ( ) c f ( d f ( a f ( ) 3( ) ( ) b f ( ) 3( ) ( ) 3 ( ) ( c f 3( 3 d f ( 3( ( 3 6 ( (
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi ijektif erikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu Diberikan fungsi f : (i) pabila setiap anggota himpunan mempunyai kawan anggota himpunan, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function) a a a 3 a 4 b b Gambar 4 f fungsi surjektif dari himpunan ke himpunan (ii) pabila setiap anggota himpunan mempunyai yang kawan di, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi - (into function) a a a 3 b b b 4 b 5 Gambar 5 Fungsi injektif dari ke (iii) Jika setiap anggota himpunan mempunyai tepat satu kawan di maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi - Mudah dipahami bahwa korespondensi - adalah fungsi surjektif sekaligus injektif a a a 3 a 4 b b b 4 Gambar 6 Korespondensi
3 Operasi Pada Fungsi Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g Jumlahan f g, selisih f g, hasil kali skalar f, hasil kali f g, dan hasil bagi f g masing-masing didefinisikan sebagai berikut: ( f g)( f ( g( ( f g)( f ( g( ( f )( f ( ( f g)( f ( g( f f ( ( )(, asalkan g( 0 g g( Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk f g, D D D : g( 0 f g f g Contoh 4 Jika f dan g masing-masing: f ( maka tentukan: g ( 5 f g, f g, f g, dan f g beserta domainnya 5 f g( f g 5 f g( f g ( ( 5 5 Karena D [, ) dan R { 5}, maka f g, f g, f g, dan f g masing-masing f D g mempunyai domain: [, )