STATISTIKA 4 UKURAN LETAK

TUJUAN STATISTIKA 4 UKURAN LETAK MODUL 4 Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas, kreatifitas dalam memecahkan masalah serta mampu mengkomunikasikan ide dan gagasannya dalam tujuan pemelajaran. TUJUAN PEMELAJARAN Setelah usainya pemelajaran materi ini diharapkan siswa mampu : 1. Mendifinisikan pengertian nilai letak. 2. Membedakan perbedaan dari masing-masing nilai letak. 3. Menentukan besarnya kuartil dari sebarisan data. 4. Menghitung besarnya nilai desil dari data tersaji. 5. Mencari besarnya ukuran persentil dari data yang sama yang disajikan. 6. Menunjukkan penggunaan kuartil, desil dan persentil. 7. Menghitung besarnya jangkauan inter antar kuartil. 8. Mencari besarnya nilai varians atau variabilitas. I. PENDAHULUAN Dengan memperhatikan secara seksama data-data statistika yang telah dikumpulkan ternyata bahwa ada beberapa nilai data yang berciri khusus yang dapat disisipkan ke dalamnya atau diantara bilangan yang satu dan bilangan lainnya. Nilai atau ukuran khusus itu selanjutnya lebih dikenal sebagai nilai letak. Ukuran letak yang ada ternyata dapat membagi sebarisan terurut data menjadi empat sama banyak disebut kuartil, atau membagi menjadi sepuluh sama banyak disebut desil dan membagi seratus sama banyak disebut persentil dan sebagainya. Ada pula bentuk nilai atau ukuran nilai yang menunjukkan letaknya sebagai inter antar kuartil biasa disebut jangkauan kuartil ada juga jangkauan persentil dari sekumpulan data-data statistika yang tersaji dan seterusnya. Page 1

II. NILAI LETAK A. Kuartil, Q 1. Pengertian Kuartil adalah suatu nilai letak yang membagi data statistika menjadi empat bagian yang sama banyak, masing-masing bagian adalah dua puluh lima persen atau memuat seperempat data. Jadi dalam sebarisan data ada tiga kuartilnya. Selanjutnya dapat diperlihatkan dengan gambar, sebagai berikut : 25 % 25 % 25 % 25 % nilai data Q 1 Q 2 Q 3 2. Nilai Kuartil, Q i : a. Data Tunggal Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok nilai kuartil dihitung setelah data diurutkan terlebih dahulu. Letak kuartil ditentukan dengan formula : Letak Q i pada data ke, i = 1, 2, 3 dan n = banyak data. Contoh : Tentukan nilai-nilai kuartil dari data-data berikut ini : i. 5 3 7 8 5 2 6 9 2 7 5 ii. 7 5 9 4 6 7 i. Data diurutkan dahulu, menjadi : 2 2 3 5 5 5 6 7 7 8 9, banyaknya data, n = 11 buah Kuartil 1, Q 1 : letak Q 1 pada data ke data ke 3 Kuartil 2, Q 2 : letak Q 2 pada data ke data ke 6 Kuartil 3, Q 3 : letak Q 3 pada data ke data ke 9 Selanjutnya nilai kuartil tinggal menunjuk, sebagai berikut : 2 2 3 5 5 5 6 7 7 8 9 Q 1 Q 2 Q 3 Jadi nilai Q 1 = 3, nilai Q 2 = 5, dan nilai Q 3 = 7 Page 2

ii. Data diurutkan, menjadi : 4 5 6 7 7 9, banyaknya data n = 6 buah Q 1, letak Q 1 pada data ke = pada data ke 1,75 Nilai Q 1 = data ke-1 + 0,75 ( data ke -2 data ke -1 ) = 4 + 0,75 ( 5 4 ) = 4,75 Q 2, letak Q 2 pada data ke = data ke 3,5 Nilai Q 2 = 6 + 0,5 ( 7 6 ) = 6,5 Q 3, letak Q 3 pada data ke = data ke 5,25 Nilai Q 3 = 7 + 0,25 ( 9 7 ) = 7 + 0,5 = 7,5 Jadi nilai Q 1 = 4,75, nilai Q 2 = 6,5 dan nilai Q 3 = 7,5 b. Data Berkelompok Untuk menentukan basarnya nilai kuartil data berkrlompok digunakan rumus :. p Keterangan : Q i = kuartil ke i. i = 1, 2, 3 b = tepi bawah kuartil ke i F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke i f = frekuensi kelas kuartil ke i p = panjang interval kelas n = banyaknya ( jumlah ) data Page 3

Contoh : Tentukan nilai kuartil dari data berkelompok di bawah ini : Interval Nilai Frekuensi 35 41 6 42 48 16 49 55 25 56 62 21 63 69 9 J u m l a h 80 Kuartil ke 1, letak Q 1 pada data ke data ke 20 berada dikelas ke 2 F = 9, f = 16, b = 41,5 dan p = 7 Nilai Q 1 = b + p = 41,5 +. 7 = 41,5 + 4,812 = 46,312 Jadi kuartil ke 1 = 46,312 Kuartil ke 2, letak Q 2 pada data ke 40 berada dikelas ke 3 F = 16 + 9 = 25, f = 25, b = 48,5 Nilai Q 2 = 48,5 + = 48,5 + 4,2 = 52,7 Jadi kuartil ke 2 = 52,7 Kuartil ke 3, Letak Q 3 pada data ke 60 berasa dikelas ke 4 F = 25 + 16 + 9 = 50, f = 21, b = 55,5 Nilai Q 3 = 55,5 + = 55,5 + 3,33 = 58,83 Jadi kuartil ke 3 = 58,83 Page 4

B. Desil, D : 1. Pengertian Desil adalah suatu nilai letak yang membagi data statistika terurut menjadi sepuluh bagian sama banyak. Masing-masing bagian memuat sepuluh persen data atau sepersepuluh data. Jadi dalam sebarisan data statistika terurut ada sembilan desil. Desil diberi notasi D i, i = 1, 2, 3,, 9. Selanjutnya secara matematika dapat digambarkan, sebagai berikut : 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 2. Nilai Desil a. Data Tunggal Seperti halnya kuartil, letak desil dicari setelah data diurutkan terlebih dahulu. Letak desil, D i pada data ke Contoh : Tentukan nilai D 1, D 5 dan D 9 dari data-data berikut ini : 24 27 30 31 37 28 36 28 36 34 29 30 Data diurutkan menjadi : 24 27 28 29 30 30 31 34 36 36 37 banyaknya data, n = 12 Letak D 1 pada data ke, berada pada data ke 1,33 Nilai D 1 = data ke 1 + 0,33 ( data ke 2 data ke 1 ) = 24 + 0,33 ( 27 14 ) = 24,9 Letak D 5 pada data ke, berada pada data ke 6,5 Nilai D 5 = data ke 6 + 0,5 ( data ke 7 data ke 6 ) = 30 + 0,5 ( 31 30 ) = 30,5 Letak D 9 pada data ke, berada pada data ke 10,8 Nilai D 9 = data ke 10 + 0,8 ( data ke 11 data ke 10 ) Page 5

= 36 + 0,8 ( 36 36 ) = 36 Jadi D 1 = 24,9 ; D 5 = 30,5 dan D 9 = 36 b. Data Berkelompok Untuk data berkelompok nilai adalah : Keterangan : f = frekuensi kelas desil ke i F = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke i b = tepi bawah kelas desil ke i D i = desil ke i, i = 1, 2, 3,, 9 p = panjang interval kelas Contoh : Hitunglah besarnya D 1, D 5 dan D 9 dari data di bawah ini : Interval Nilai 40 47 48-55 56-63 64-71 72-79 80-87 Frekuensi 12 23 16 32 13 4 Letak D 1 pada data ke = data ke 10, berada dikelas ke 1 F = 0, f = 12, p = 8 dan b = 40,5 Nilai D 1 = 40,5 +. 8 = 40,5 + 6,67 = 47,17 Letak D 5 pada data ke = data ke 50, berada dikelas ke 3 F = 23 + 12 = 35, f = 26, b = 63,5 Nilai D 5 = 63,5 +. 8 = 63,5 + 7,69 = 71,19 Page 6

Letak D 9 pada data ke = data ke 90, berada dikelas ke 5 F = 32 + 16 + 23 + 12 = 83, f = 13, b = 71,5 Nilai D 9 = 71, 5 +. 8 = 71,5 + 4,15 = 75,65 Jadi D 1 = 47,17 ; D 5 = 71,19 dan D 9 = 75,65 C. Persentil, P : 1. Pengertian Persentil adalah suatu ukuran nilai letak suatu data terurut yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak. Masing-masing bagian memuat satu persen atau seperseratus dari data. Jadi dalam sebarisan data statistika terurut akan mempunyai sembilanpuluh sembilan persentil. Persentil diberi notasi P i, dengan i = 1, 2, 3,, 99 Selanjutnya secara matematika dalam digambarkan, sebagai berikut : 1 % 1 % 1 % 1 % P 1 P 2 P 3 P 99 2. Nilai Persentil a. Data Tunggal Letak persentil data tunggal atau tidak berkelompok ditentukan dengan formula : P i berada pada data ke Contoh : Tentukan nilai P 10, P 50 dan P 90 dari data beriktu ini : 16 13 21 20 17 21 13 15 17 23 27 15 28 14 Data diurutkan menjadi : 13 14 15 15 15 16 17 17 20 21 21 23 27 28, banyak data, n = 14 Letak P 10 pada data ke data ke 1,5 Nilai P 10 = data ke 1 + 0,5 ( data ke 2 data ke 1 ) = 13 + 0,5 ( 14 13 ) Page 7

= 13,5 Letak P 50 pada data ke data ke 7,5 Nilai P 50 = data ke 7 + 0,5 ( data ke 8 data ke 7 ) = 17 + 0,5 ( 17 17 ) = 17 Letak P 90 pada data ke data ke 13,5 Nilai P 90 = data ke 13 + 0,5 ( data ke 14 data ke 13 ) = 27 + 0,5 ( 28 27 ) = 27,5 Jadi nilai P 10 = 13,5, P 50 = 17 dan P 90 = 27,5. Selanjutnya nilai-nilai persentil tersebut dapat diperlihatkan dengan gambar, sebagai berikut : 13 14 15 15 15 16 17 17 20 21 21 23 27 28 P 10 P 50 P 90 b. Data Berkelompok Untuk data berkelompok nilai persentil dihitung dengan formula :. p, dengan i = 1, 2, 3,, 99 dan = letak persentil ke i Contoh : Hitunglah nilai P 10, P 50 dan P 90 dari data berikut ini : Interval Nilai Frekuensi 20 25 9 26 31 16 32 38 24 39 44 20 45 50 18 51-56 13 J u m l a h 100 Page 8

Letak P 10 pada data ke = data ke 10, berada dikelas ke 2 B = 25,5 ; F = 9 ; f = 16 ; p = 6 Nilai P 10 = 25,5 +. 6 = 25,5 + 0,375 = 25,875 Letak P 50 pada data ke = data ke 50, berada dikelas ke 4 Nilai P 50 = 32,5 +. 6 = 32,5 + 0,331 = 32,831 Letak P 90 pada data ke = data ke 90, berada dikelas ke 5 Nilai P 90 = 44,5 +. 6 = 44,5 + 1 = 45,5 Jadi nilai P 10 = 25,9, nilai P 50 = 32,8 dan nilai P 90 = 45,5. D. Jangkauan Semi Inter Kuartil / Simpangan Kuartil, SK : 1. Pengertian Jangkauan semi inter kuartil atau jangkauan kuartil adalah suatu jangkauan data statistika terurut yang besarnya setengah dari rentangan atau jangkauan antar kuartil. Simpangan semiinter kuartil atau simpangan kuartil diberi notasi SK, dan dihitung dengan rumus : SK = ( Q 3 Q 1 ) 2. Nilai Simpangan Kuartil a. Data Tunggal Untuk menentukan besarnya jangkauan kuartil haruslah dicari dahulu nilai kuaril atas ( Q 3 ) dan nilai kuartil bawah ( Q 1 ). Page 9

Contoh : Tentukan besarnya jangkauan semi inter kuartil dari data di bawah ini : 5 2 4 7 2 9 3 8 4 9 6 4 Data diurutkan menjadi : 2 2 3 4 4 4 5 6 7 8 9 9 banyak data n = 12 Q 1 letaknya pada data ke = data ke 4,25 nilai Q 1 = 4. Q 3 letaknya pada data ke = data ke 9,75 nilai Q 3 = 7,75 Simpangan Kuartil, SK = ( Q 3 Q 1 ) = ( 7,75 4 ) = 1,875 Jadi jangkauan semi inter kuartil = 1,875. b. Data Berkelompok Contoh : Tentukan besarnya jangkauan semi inter kuartil dari data di bawah ini : Interval Nilai Frekuensi 20 24 8 25 29 12 30 34 15 35 39 10 40-44 5 J u m l a h 50 Dihitung dahulu nilai kuartil bawah ( Q 1 ) dan kuartil atas ( Q 3 ) Q 1, berada pada data ke = data ke 12,5 di kelas ke-2 Nilai Q 1 = 24,5 +. 5 = 24,5 + 1,87 = 26,37 Q 3, berada pada data ke = data ke 37,5 di kelas ke-4 Nilai Q 3 = 34,5 +. 5 = 34,5 + 1,25 Page 10

= 35,75 Simpangan kuartil atau jangkauan semi inter kuartil, SK = seperdua kali selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. SK = ½ ( Q 3 Q 1 ) = ( 35,75 26,37 ) = 4,69 Jadi jangkauan semi inter kuartilnya adalah 4,69. E. Koefisien Variansi / Varians, KV : 1. Pengertian Koefisien variansi atau variabilitas adalah perbandingan antara simpangan baku dan nilai rata-rata hitungnya yang dinyatakan dengan prosentase. Variabilitas dapat digunakan untuk menyelidiki keragaman data, apakah data itu heterogen atau homogen. Jika koefisien variansi suatu data bernilai rendah ( kecil ) dikatakan data itu semakin seragam ( homogen ) sebaliknya jika variabilitas data tinggi maka dikatakan data statistika yang ada adalah heterogen ( bervariasi ). 2. Nilai Koefisien Variansi Untuk data statistika besarnya koefisien variansi dihitung dengan rumus : Keterangan : KV =. 100 % KV = koefisien variansi S = simpangan baku = rata-rata hitung Contoh : Tentukan besarnya koefisien variansi dari data di bawah ini : Interval Nilai Frekuensi 16 20 8 21 25 6 26 30 4 31 35 12 36 40 10 J u m l a h 40 Page 11

Dicari dahulu nilai rata-rata hitung dengan cara, sebagai berikut : Interval Nilai fi x i f i. x i 16 20 21 25 26 30 31 35 36 40 8 6 4 12 10 18 23 28 33 38 144 138 112 396 380 324 529 784 1089 1444 2592 3174 3136 13068 14440 J u m l a h 40 1170 36410 = = 29,25 Jadi rata-rata hitung, S = = = = = 7,49 Jadi simpangan baku, S = 7,49 KV = =. 100 % = 25,61 % Jadi koevfisien variabilitasnya adalah 25,61 % Page 12

Uji Kompetensi 4 1. Hitunglah besarnya kuartil dari data berikut ini : 15 23 20 19 26 30 19 24 25 19 26 21 2. Hitunglah nilai D 1, D 5 dan D 9 dari data berikut ini : 55 52 47 56 48 50 62 39 41 37 ` 3. Hitunglah nilai P 10, P 30, P 50 dan P 90 dari data di bawah ini : 117 120 115 123 119 117 121 125 113 120 4. Tentukan besarnya simpangan semi inter kuartil dari data di bawah ini : Interval Nilai Frekuensi 50 59 7 60-69 13 70 79 18 80 89 8 90-99 4 Page 13

5. Hitunglah besarnya koevisien variabilitas dari datya nomor 4 di atas! 6. Hitunglah nilai D 1, D 5 dan D 9 dari data berikut ini : Interval Nilai Frekuensi 25 30 15 30 35 10 35 40 10 40 45 9 45-50 6 7. Hitunglah nilai P 10, P 30, P 50 dan P 90 dari data nomor 6 di atas!. 8. Suatu data statistika simpangan bakunya 12 dan rata-rata hitung = 65. Hitunglah koevisien variabilitasnya!... Page 14

9. Selidikilah data statistika berikut, heterogen ataukah homogeny! Interval nilai Frekuensi 110 119 7 120 129 13 130 139 21 140 149 14 150 159 5 J u m l a h 60 10. Tunjukkan bahwa nilai Q 2, D 5 dan P 50 dari data berikut ini sama! Nilai matematika 60 siswa 45-52 = 5 53-60 = 15 61-68 = 21 69-76 = 12 77-84 = 7 Page 15

RANGKUMAN Statistik sesuatu yang dapat menyatakan kum pulan data, bilangan maupun sifat atau keterangan atas bilangan yang disusun dalam tabel a- tau diagram yang menunjukkan suatu masalah. Statistika adalah suatu pengetahuan yang ber Kaitan dengan cara mencari, mengumpulkan, mengolah dan menanalisa data serta menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang sahih. Populasi adalah total semua nilai yang mungkin dari hasil kegiatan mengukur, menghitung baik kuantitatif maupun kualitatif tentang karak teristik tertentu dari semua anggota yang ada. Jika hanya sebagian anggota disebut sampel. Data adalah suatu keterangan atas obyek penelitian yang berupa kategori maupun bilangan. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk kategori sedang yang berbentuk bilangan diberi nama data kuantitatif. Tabel, untuk menyajikan data dalam bentuk tabel digunakan langkah-langkah : *Range/ Rentang selisih antara nilai data tertinggi dan nilai data terendah, R = x max x min. *Kelas, banyak kelas jangan terlalu kecil jangan pula terlalu besar. Untuk data yang relatif besar dapat dipakai rumus sturgess, K = 1 + 3,3.Log n. *Interval, panjang interval kelas, I =. Untuk banyak kelas dan interval pembulatan ke atas. Diagram atau grafik, selain dengan tabel data dapat pula disajikan dalam bentuk diagram atau grafik, seperti : diagram gambar, batang, garis, ogive dan diagram lingkaran. Ukuran pemusatan adalah suatu nilai yang menunjukkan kea rah mana data-data statistika itu menuju, seperti : mean, median dan modus. Mean atau rata-rata hitung adalah nilai perbandingan antara jumlah nilai dan banyak data. Mean diberi notasi dan, untuk data berkelompok. Median adalah nilai data statistika terurut yang berada tepat di tengah-tengah. Notasi M o. Untuk data berkelompok median dihitung dengan rumus : M e = b +. p Modus atau mode adalah nilai data statistika yang paling sering muncul atau frekuensi paling besar ( banyak ). Modus dibei notasi M o. Di hitung dengan rumus : M o = b + Ukuran penyebaran adalah suatu nilai yg dapat menunjukkan berapa besarnya nilainilai data itu menyebar terhadap patokan. Simpangan rata-rata atau deviasi rata-ra ta adalah besarnya nilai peyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. Notasi SR dicari dengan rumus : SR = dimana x i adalah nilai data untuk data tunggal & titik tengah interval untuk data berkelompok. Simpangan baku atau standar deviasi adalah besarnya penyimpangan data yang dapat ditolerir, notasi S. dihitung dengan rumus : S = atau dengan rumus pendek : S = d adalah dugaan sementara. Varians kuadrat dari simpangan baku. S 2. Nilai letak yang termasuk didalamnya se perti : kuartil, desil dan persentil. Kuartil adalah suatu ukuran nilai letak yg membagi sebarisan data terurut menjadi 4 bagian yang sama besar, masing-masing ¼. Dihitung dengan rumus K i = b + Jangkauan atau range selisih antara nilai data tertinggi dan nilai data terendah. Jadi R = X max X min. Jangkauan inter kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Jangka uan semiinterkuartil atau jangkauan kuartil, JK = ½ ( Q 3 Q 1 ). Desil membagi data menjadi sepuluh dan Persentil membagi data menjadi seratus. Ru mus yang dipakai sama dengan kuartil hanya dengan mengganti nilai n nya saja. Angka baku adalah suatu nilai yang diperoleh dengan cara mengolah nilai mentah, rumusnya adalah : Z =, dikenal sebagai Z skore. Koefisien variasi adalah prosentase nilai perbandingan antara simpangan baku dan rata-rata, KV = Page 16

Peta Konsep STATISTIKA Materi Bahasan Pengumpulan Data Penyajian Data Pengolahan Data Hasil Analisa Data Pengelompokan Data Tabel Diagram Pemusatan Penyebaran Nilai Letak Tabel Kontigensi Diagram Gambar Mean Range Jangkauan Diagram Batang Simpangan Rata-rata Kuartil Tabel Distrbu si Frekuensi Diagram Garis Median Simpangan Baku Jangkauan Kuartil *Tabel distribusi Frekuensi komulatif *Tabel distribusi frekuensi relatif Ogive Modus Angka Baku Desil Persentil Diagram Lingkaran Koefisien Variansi Page 17

PENILAIAN KOMPETENSI Kompetensi : Statistika Program : Bahasa Kelas : XI Waktu : 120 Menit Kerjakan soa-soal berikut ini dengan jelas dan benar! 1. Buatlah tabel distribusi frekuensi nilai matematika 100 orang siswa di bawah : 73 64 38 47 82 35 75 56 70 85 48 92 45 78 66 75 93 88 40 65 90 37 65 53 76 54 88 67 90 76 55 46 76 86 80 81 36 74 65 50 87 38 67 56 65 56 50 90 80 76 76 89 92 46 77 85 68 70 85 43 56 76 87 89 90 89 87 67 56 65 45 43 35 45 64 47 66 58 90 88 67 87 89 90 90 88 78 76 56 76 45 53 50 60 90 45 37 48 65 77 2. Buatlah ogive kurang dari untuk data nomor 1 di atas!. 3. Tentukan nilai jangkauan kuartil dari data berikut ini! Usia ( tahun ) 16,8 17,2 17,6 18,0 18,4 18,8 19,2 19,6 Banyak siswa 8 22 15 12 13 10 7 3.. Page 18

4. Hitunglah mean dari data di bawah ini : Interval Nilai Frekuensi 145 149 11 150 154 29 155 159 35 160 164 20 165 169 5 J u m l a h 100.. 5. Hitunglah modus dari nomor 3 di atas!. 6. Hitunglah nilai median dari data di bawah ini! 15 18 14 8 10 9 6 25 35 45 55 65 75 85 95 Nilai matematika Page 19

7. Nilai Amir untuk mata pelajaran PKnS, Penjaskes dan KKPI sebagai berikut : Kondisi Simpangan Nilai yang mean Mata Pelajaran Baku Diperoleh PKnS 75 12 79 Penjaskes 72 10 75 KKPI 85 13 80 Selidikilah manakah dari ketiga nilai di atas yang berbobot lebih baik!.. 8. Hitunglah nilai- nilai : P 10, P 50 dan P 90 dari data di bawah ini! Interval Nilai Frekuensi 30 40 18 40 50 12 50 60 20 60 70 17 70 80 13 80 90 20 J u m l a h 100.. 9. Pada ujian matematika Ali mendapat nilai 71. Jika besarnya rata-rata adalah 77 dan nilai simpang bakunya adalah 10 maka hitunglah nilai baku untuk nilai matematika Ali tersebut! Page 20

... 9. Tentukan besarnya kuartil dari data berikut ini : 25 20 15 10 5 145-149 = 15 150-154 = 10 155-159 = 20 160-164 = 13 165-169 = 12 170-174 = 5 0 Tinggi Badan. Page 21

DAFTAR PUSTAKA Suranto, Edy, S.Pd,. 2004. Matematika SMA Jilid 3. Yudhistira. Wonogiri. Budiyuwono, Nugroho, Drs. 1994. Pelajaran Statistik Untuk Guru SMEA. Yogyakarta. BPFE. Chiang, Alpha C. 1986. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Jilid 1. Jakarta. Erlangga. Depdiknas. 2006. Silabus Mata Pelajaran Matematika Kelompok Non Teknologi. Jakarta. Dirjen Pendidikan Dasar dan Menengah Ditna SMK. Suparman, I, A, M.Sc. 1988. Statistika Sosial. Jakarta. Proyek Peningkatan Pendidikan Kejuruan Non Teknik. Gunawan, K Adi, Drs. 2004. Tangkas Matematika SMU. Surabaya. Kartika. Yusuf, Muhammad, 2008. Matematika Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntansi untuk SMA Jilid 3. Bandung. Grafindo Media Pratama Page 22