Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu nili sklr. Determinn sutu mtriks sering digunkn dlm mengnlis sutu mtriks, seperti : untuk memeriks keberdn invers mtriks, menentukn solusi sistem persmn liner dengn turn crmer, pemeriksn bsis sutu rung vektor dn linlin. Pd bb ini kn dijelskn tentng penentun nili determinn sutu mtriks dengn menggunkn definisi (permutsi), opersi bris elementer dn ekspnsi kofktor. Selin itu, kn dijelskn hubungn determinn dengn invers mtriks Mislkn :... n... n A : : : n n... nn mk notsi determinn dri mtriks A ditulis :... det (A) tu : n : n... n... n : nn tu A.
4 Bb Determinn Mtriks. Permutsi dn Definisi Determinn Mtriks Permutsi merupkn cbng ilmu kombintorik, pd kurikulum SMA pun telh diperkenlkn definisi permutsi. Permutsi merupkn susunn yng mungkin dibut dengn memperhtikn urutn. Contoh. : Permutsi dri {,, } dlh (,,), (,,),(,,),(,,),(,,),(,,) Selnjutny diperkenlkn definisi invers dlm permutsi, yitu jik bilngn yng lebih besr mendhului bilngn yng lebih kecil dlm urutn permutsi. Mislkn dlm sutu permutsi tertulis (,, ) mk dlm urutn bilngn tersebut, bilngn yng lebih kecil dri hny bilngn sehingg nili inversny dlh. Sementr itu, setelh bilngn hny d bilngn, tidk d bilngn yng lebih kecil dri sehingg inversny dlh nol. Jumlh invers dlm permutsi tersebut dlh +. Selnjutny, jumlh invers pd sutu permutsi kn didefinisikn sebgi berikut : Permutsi genp yitu jumlh invers dlh bilngn genp Permutsi gnjil yitu jumlh invers dlh bilngn gnjil Agr lebih jels, perhtikn contoh berikut ini. Contoh. : Jumlh invers pd permutsi dri {,, } (,,) + permutsi genp (,,) + permutsi gnjil (,,) + permutsi gnjil (,,) + permutsi genp (,,) + permutsi genp (,,) + permutsi gnjil
Aljbr Liner Elementer Adiwijy 5 Mislkn A nxn, hsil kli elementer mtriks A dlh hsil kli n buh unsur A tnp d pengmbiln unsur dri bris mupun kolom yng sm. Selnjutny hsil kli elementer tersebut diberi tnd positif (+) tu negtif ( ), sehingg dinmkn hsil kli elementer bertnd. Pemberin tnd tersebut sngt bergntung pd jenis permutsi yng terbentuk (gnjil tu genp), jik permutsi genp mk tnd yng digunkn dlh positif (+), sedngkn jik permutsi gnjil mk tnd yng digunkn dlh negtif ( ). Sementr itu, permutsi genp tu gnjil bergntung pd indeks indeks kolom unsur mtriks A, yng kn membentuk sutu himpunn permutsi. Mislkn, perklin unsur mtriks kn diberi tnd negtif ( ), kren himpunn permutsi yng terbentuk dri indeks kolom dlh {,, }. Dri permutsi tersebut jumlh invers yng diperoleh dlh +, sehingg tnd dri hsilkli elementer unsur tersebut dlh negtif ( ), yitu. Selnjutny, determinn sutu mtriks A nxn dlh hsil penjumlhn seluruh hsilkli elementer bertnd mtriks A tersebut. Agr memperoleh pemhmn yng lebih jels, perhtikn contoh dibwh ini. Contoh. : Miskn A merupkn mtriks x. A Mk d 6 (!) hsil kli elementer dri mtriks A, yitu:,,,,, Hsil kli elementer bertnd
6 Bb Determinn Mtriks Jdi, determinn mtriks A dlh : det (A) + + Contoh.4 : Tentukn determinn mtriks Jwb : det ( B) B ()()( ) ()()() + + ()()() + ()()( ) + ( )()( ) ( )()( ). Menghitung Determinn dengn OBE St msih di bngku SMA, telh dijrkn dlm menentukn determinn sutu mtriks. Perhtikn beberp contoh penentun determinn mtriks berikut ini : det 5 4 5
Aljbr Liner Elementer Adiwijy 7 det4 5 45 7 8 9 4 5 4 6 Secr sederhn, determinn sutu mtriks merupkn hsil kli setip unsur digonl pd sutu mtriks segitig (ts tu bwh). Tetpi dlm kenytnny, tk semu mtriks berbentuk segitig, sehingg kit dpt menentukn tk semudh dits. Dlm menentukn determinn sutu mtriks. Dengn menggunkn opersi bris elementer (OBE), kit kn mencob merubh sutu mtriks bujur sngkr (secr umum) menjdi sutu mtriks segi tig. Secr sederhn, gmbrn proses yng dilkukn dlh sebgi berikut : Mtriks bujur sngkr ~ OBE ~ mtriks segitig. Alsn inilh yng menghruskn kit mengethui pengruh opersi bris elementer terhdp determinn sutu mtriks. Berikut ini dlh pengruh OBE pd nili determinn sutu mtriks, yitu : ) Jik mtriks B bersl dri mtriks A dengn stu kli pertukrn bris mk : Det (B) - Det (A) Contoh.5 : Dikethui bhw Jik A mk A Sementr itu, mislkn B.
8 Bb Determinn Mtriks Perhtikn bhw B merupkn mtriks yng bersl dri A dengn menukrkn bris pertm dn bris ke-. Jels bhw det (B) A ) Jik B bersl dri A dengn perklin sebuh bris dengn konstnt tk nol k mk Det (B) k. Det (A) Contoh.6 : Mislkn, A dn Jels bhw A. B Perhtikn bhw mtriks B bersl dri mtriks A dengn perklin dengn pd bris kedu, mk B 4 ( ) 6 Terliht bhw : B 6..det A. ( ) ( ) ) Jik mtriks B bersl dri mtriks A dengn perklin sebu bris dengn konstnt tk nol k llu dijumlhkn pd bris lin mk Det (B) Det (A) Contoh.7 : Mislkn A, 6 jels bhw A. Perhtikn : 6 - OBE pd mtriks tersebut dlh b + b
Aljbr Liner Elementer Adiwijy 9 Terliht bhw determinn mtriks hsil OBE dlh sm dengn determinn mtriks sl sebelum di OBE. Contoh.8 : Tentukn determinn mtriks berikut : A Jwb : A A ) ( det b b - - b + b b b - - 4 b + b 4 (hsil perklin unsur digonlny)
Bb Determinn Mtriks. Menghitung Determinn dengn ekspnsi kofktor Mislkn sebuh mtriks bujur sngkr berukurn n x n :... n... n A : : : n n... nn Sebelum memprkn penentun determinn dengn menggunkn opersi bris elementer, perhtikn beberp definisi berikut : (i) Mij disebut Minor- ij yitu determinn mtriks A dengn menghilngkn bris ke_i dn kolom ke-j mtriks A. Contoh.9 : mk M (ii) Cij Mtrik dinmkn kofktor - ij yitu (-) i+j Mij Contoh. : C ( ) + C ( ). Secr umum, cr menghitung determinn dengn ekspnsi kofktor Menghitung det (A) dengn ekspnsi kofktor sepnjng bris ke-i : det (A) i C i + i C i +... + in C in
Aljbr Liner Elementer Adiwijy Menghitung det (A) dengn ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke-j : det (A) ij C j + j C j +... + nj C jn Contoh. : Hitunglh determinn mtrik berikut ini : A Jwb : Mislkn, kit kn menghitung det (A) dengn ekspnsi kofktor sepnjng bris ke- det( A ) j jc j C + C +... + n C n + + ( ) + ( ) + + 6 4 Menghitung det (A) dengn ekspnsi kopktor sepnjng kolom ke- : det( A ) i i c i + ( ) + + 6 4 + ( ) +
Bb Determinn Mtriks Contoh. : Tentukn determinn mtriks berikut : A - Jwb :. Menghitung determinn dengn OBE : det ( A ) det ( A ) - - - (-) (-) - - - b. Menghitung determinn dengn ekspnsi kofktor. Berikut ini dlh menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng bris pertm - - Det (A) + + (- ) + +
Aljbr Liner Elementer Adiwijy Mislkn A merupkn sutu mtriks bujur sngkr n x n dn C ij dlh kofktor ij, mk mtriks : C C L C n C C L C n M M O M Cn Cn L Cnn dinmkn mtriks kofktor A. Trnspos dri mtriks ini dinmkn djoin A, dengn notsi dj(a). Dengn menggunkn mtriks djoin ini, kit dpt menentukn invers dri sutu mtriks. Jdi, mislkn A merupkn sutu mtriks yng mempunyi invers mk A dj( A) det( A) Dengn demikin, d hubungn bhw sutu mtriks bujur sngkr A mempunyi invers jik dn hny jik det (A). Beberp sift determinn mtriks dlh :. Jik A dlh sembrng mtriks kudrt, mk det (A) det (A t ). Jik A dn B merupkn mtriks kudrt berukurn sm, mk : det (A) det (B) det (AB). Jik A mempunyi invers mk : det( A ) det( A)
4 Bb Determinn Mtriks Ltihn Bb. Tentukn determinn mtriks berikut dengn menggunkn OBE dn ekspnsi kofktor (membndingkn kedu metode) :. P b. 4 4 Q. Dikethui : dn 4 A 5 7 B Tunjukn bhw : det (A) det (B) det (AB). Dikethui : 4 5 k k D Tentukn k jik det (D) 9 4. Dikethui t i h g f e d c b, untuk sutu, b, c, d, e, f, g, h, i, t Riil. Gunkn sift, tentukn + + + c i b h g c f b e d c b det
Aljbr Liner Elementer Adiwijy 5 5. Dikethui mtriks A. 4 5 Jik B A dn A t merupkn mtriks trnspose dri A, dengn menggunkn beberp sift determinn, tentukn ( det A ) det( 5B) nili x det A t B ( )