4. Pencacahan Pengantar Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Matematika kombinatorial berkaitan dengan pengaturan sekumpulan objek. Pencacahan berusaha menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut: Ada berapa banyak password yang bisa dibuat dengan 8 buah abjad? Ada berapa banyak cara yang bisa dipakai untuk mengambil orang pemain bola dari 2 orang pemain yang ada didalam suatu tim? Lebih penting lagi, pencacahan merupakan dasar dari penghitungan peluang kejadian diskrit, misalnya Berapakah peluang seseorang untuk memenangkan suatu undian? Beberapa prinsip dasar dari pencacahan diuraikan di bawah ini. Aturan penjumlahan (sum rule) Andaikan suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua buah pekerjaan (tasks), sebut sebagai T dan T 2. Jika T dapat dilakukan dengan n cara dan T 2 dengan n 2 cara, dan jika kedua pekerjaan ini tidak dapat dilakukan pada saat yang bersamaan, maka akan terdapat n +n 2 cara untuk melakukan prosedur ini. Contoh: Departemen Teknik elektro ITB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau (eksklusif) seorang dosen. Ada berapa banyak pilihan berbeda jika ada 8 mahasiswa dan orang dosen di DTE? Jawab: Ada 8 + = 9 buah pilihan. Aturan penjumlahan Yang Diperumum Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah pekerjaan, T, T 2,, T m, yang masing-masing dapat dilakukan dengan n, n 2,, n m cara, dan setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan, maka akan ada n + n 2 + + n m cara untuk melakukan pekerjaan ini. Aturan Perkalian (Product Rule) 4. Pencacahan -
Andaikan suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua buah pekerjaan yang dilakukan secara berurutan. Jika ada n buah cara untuk melakukan pekerjaan pertama dan n 2 buah cara untuk melakukan pekerjaan yang kedua setelah pekerjaan pertama selesai, maka akan ada n n 2 buah cara untuk mengerjakan prosedur tersebut. Aturan Perkalian Yang Diperumum Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas pekerjaan-pekerjaan yang dilakukan secara berurutan T, T 2,, T m yang masing-masing dapat dilakukan dengan n, n 2,, n m buah cara, maka akan ada n n 2 n m buah cara untuk mengerjakan prosedur tersebut. Contoh 4.: Suatu kode seri kendaraan (nomor polisi) dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat? Jawab: Ada 26 buah kemungkinan untuk huruf pertama, kemudian 26 buah kemungkinan untuk huruf kedua dan 26 kemungkinan lain untuk huruf terakhir. Jadi terdapat 26 26 26 = 7576 buah kode seri kendaraan yang berbeda yang bisa dibuat dari 3 buah abjad. Aturan penjumlahan dan perkalian dapat juga dinyatakan kedalam teori himpunan, seperti dinyatakan dalam aturan berikut ini. Aturan penjumlahan (Dalam operasi Himpunan) Misalkan A, A 2,, A m adalah himpunan-himpunan yang tak beririsan (disjoint). Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari himpunan-himpunan ini adalah A A 2 A m = A + A 2 + + A m. Aturan perkalian (Dalam operasi Himpunan) Misalkan A, A 2,, A m adalah himpunan-himpunan yang berhingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari masing-masing himpunan dengan urutan A, A 2,, A m adalah kardinalitas dari perkalian Kartesian semua himpunan tersebut A A 2 A m = A A 2 A m. 4. Pencacahan - 2
Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut ini. Contoh: berapa banyak bit string dengan panjang 8 bit yang bisa dimulai dengan atau berakhir dengan? Pekerjaan- Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang dimulai dengan. Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (), dua cara untuk mengambil bit kedua ( atau ), dua cara untuk mengambil bit ketiga ( atau ),.. dua cara untuk mengambil bit kedelapan ( atau ). Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan dapat dilakukan dengan 2 7 =28 cara. Pekerjaan 2 Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang berakhir dengan. ada dua cara untuk mengambil bit pertama ( atau ), dua cara untuk mengambil bit kedua ( atau ), dua cara untuk mengambil bit ke-enam ( atau ), satu cara untuk mengambil bit ke-tujuh (), dan satu cara untuk mengambil bit ke-delapan (). Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 2 dapat dilakukan dengan 2 6 = 64 cara. Karena ada 28 buah cara untuk melakukan pekerjaan dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, apakah ini berarti ada 92 buah bit string 8 bit yang berawalan dengan dan berakhiran dengan? Tentu saja tidak demikian karena beberapa pekerjaan dan pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu bersamaan. Ketika kita melakukan pekerjaan dan membuat string yang diawali dengan, beberapa dari string ini berakhiran. Karena kadangkala kita 4. Pencacahan - 3
bisa melakukan pekerjaan dan 2 pada saat bersamaan, maka aturan penjumlahan tidak berlaku. Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan dalam kasus yang demikian, kita harus mengurangkan kasus-kasus dimana pekerjaan dan 2 dilakukan secara bersamaan dari total kemungkinan. Ada berapa banyak kasus yang demikian, yaitu, berapa banyak string yang berawal dengan dan berakhir dengan? Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (), Ada dua cara untuk bit yang kedua ( atau ),, ke-enam ( atau ), ada satu cara untuk bit ketujuh (), dan satu cara untuk bit kedelapan (). Berdasarkan aturan perkalian, maka ada 2 5 = 32 buah kasus, dimana pekerjaan dan 2 dapat dikerjakan secara bersamaan. Karena terdapat 28 cara untuk melakukan pekerjaan dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, dan 32 diantaranya kedua pekerjaan tersebut dilakukan pada saat yang bersamaan, maka sebenarnya ada 28+64 32=6 cara untuk melakukan pekerjaan dan pekerjaan 2 (tak bersamaan). Di dalam teori himpunan, hal ini berhubungan dengan himpunan A dan A 2 yang tidak beririsan. Maka kita punya: A A 2 = A + A 2 - A A 2 Ini disebut sebagai prinsip inklusi-eksklusi. Diagram pohon dapat dipakai untuk menganalisis banyaknya pekerjaan. Sebagai contoh, berikut ini analisis untuk menghitung banyaknya kombinasi bit string 4 bit yang tidak memiliki dua bit berurutan. Berdasar diagram tersebut, akan ada 8 buah string. 4. Pencacahan - 4
Pekerjaan- Bit- Pekerjaan-2 Bit-2 Pekerjaan-3 Bit-3 Pekerjaan-4 Bit-4 Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principles) Prinsip sarang merpati mengatakan: Jika (k+) buah atau lebih objek ditempatkan kedalam k buah kotak, maka akan ada sedikitnya satu buah kotak yang berisi dua atau lebih objek. Contoh 4.2: Suatu tim sepakbola yang terdiri dari orang pemain menang telak 2- atas lawannya. Maka ada setidaknya seorang pemain didalam tim pemenang yang memasukkan gol sedikitnya duakali. Contoh 4.3: Jika seorang mahasiswa mengikuti 6 mata kuliah dari hari Senin sampai hari Jumat, maka akan ada sedikitnya satu hari dimana dia mengikuti dua mata kuliah. Prinsip ini bisa diperumum menjadi: Jika N buah objek dimasukkan kedalam k buah kotak, maka akan ada sedikitnya satu buah kotak yang berisi setidaknya N/k buah objek. Contoh 4.4: Dalam kelas yang berisi 6 orang mahasiswa, minimal 2 orang mahasiswa akan memiliki nilai yang sama (jika nilai dinyatakan sebagai A, B, C, D, atau F). 4. Pencacahan - 5
Contoh 4.5: Dalam kelas yang berisi 6 orang mahasiswa, sedikitnya ada 3 orang mahasiswa yang memperoleh nilai (A, B, C, D, atau F) yang sama. Contoh 4.6: Andaikan ada suatu kotak berisi selusin kaus kaki coklat dan selusin kaus kaki hitam yang terdistribusi acak. Dalam keadaan gelap, berapa banyak kauskaki yang harus diambil untuk memastikan bahwa akan didapatkan satu pasang kauskaki dengan warna yang benar? Ada dua tipe kaus kaki, jadi jika diambil sedikitnya 3 buah kauskaki, akan ada sedikitnya dua kauskaki dengan warna atau coklat atau hitam, yakni, menurut prinsip sarang merpati yang diperumum, akan ada 3/2 = 2. Pemakaian prinsip ini perlu diperhatikan berlakunya. Perhatikan kasus berikut: Contoh 4.7: Ada berapa banyak kelompok yg terdiri dari 3 orang yang bisa diambil dari sekumpulan 6 orang? Jawab: Ada 6 pilihan untuk orang pertama, 5 untuk yang kedua, dan 4 untuk yang berbeda, jadi ada 6 5 4 = 2 buah cara untuk melakukan hal ini. Ini bukanlah hasil yang benar! Misalnya, mengambil si C, kemudian si A dan lalu si E akan menghasilkan kelompok yang sama dengan mengambil si E, lalu si C dan kemudian si A. Tetapi, kasus-kasus ini dihitung secara terpisah ini pada persamaan diatas. Jadi bagaimana cara menghitung banyaknya himpunan bagian orang berlainan yang dapat diambil (jadi, kita ingin mengabaikan urutan pengambilan)? Untuk mengetahuinya, kita perlu melihat permasalahan permutasi. Suatu permutasi dari himpunan objek yang berlainan adalah pengaturan berurut dari objek-objek ini. Pengaturan berurut dari r elemen dari suatu himpunan disebut sebagai permutasi-r. Contoh 4.8: Diketahui suatu himpunan S = {, 2, 3}. Maka, pengaturan dari 3,, 2 adalah permutasi dari S. Demikian pula, pengaturan 3, 2 adalah permutasi-2 dari S. Permutasi dan Kombinasi 4. Pencacahan - 6
Banyaknya permutasi-r dari suatu himpunan yang memiliki n buah anggota berlainan dituliskan sebagai P(n, r). Kita bisa menghitung P(n, r) dengan aturan perkalian: P(n, r) = n (n ) (n 2) (n r + ). (n pilihan untuk elemen pertama, (n ) untuk yang kedua, (n 2) untuk yang ketiga dst.) Contoh 4.9: P(8, 3) = 8 7 6 = 336 = (8 7 6 5 4 3 2 )/(5 4 3 2 ) Kita memiliki rumus umum untuk menghitung permutasi sebagai berikut: P(n, r) = n!/(n r)! Kembali ke pertanyaan semula: Berapa banyak kumpulan 3 orang (berbeda) yang dapat diambil dari sekelompok 6 orang (berbeda)? Sebelum bisa menjawab pertanyaan ini, terlebih dahulu harus diperkenalkan konsep kombinasi. Suatu kombinasi-r dari elemen suatu himpunan adalah seleksi tak berurut dari r-buah elemen dari himpunan tsb. Jadi, suatu kombinasi-r adalah himpunan bagian dari suatu himpunan dengan r-buah elemen. Contoh: Misalkan S = {, 2, 3, 4}, maka {, 3, 4} adalah kombinasi-3 dari S. Banyaknya kombinasi-r dari suatu himpunan dengan n-buah elemen berlainan dituliskan sebagai C(n, r). Misalnya C(4, 2) = 6, sebagai ilustrasi, kombinasi-kombinasi dari himpunan {, 2, 3, 4} adalah {, 2}, {,3}, {, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}. Bagaimana cara menghitung C(n, r)? Tinjau bahwa kita dapat memperoleh permutasi-r dari suatu himpunan dengan cara berikut: Pertama-tama, kita membentuk semua kombinasi-r dari himpunan tsb (ada C(n,r) kombinasi-r yg demikian). Kemudian, kita membangkitkan semua pengurutan (ordering) yang mungkin didalam setiap kombinasi-r ini (ada P(r, r) pengurutan yang demikian dalam setiap kasus). 4. Pencacahan - 7
Oleh karena itu, kita peroleh: P(n, r) = C(n, r) P(r, r) C(n, r) = P(n, r)/p(r, r) = n!/(n r)!/(r!/(r r)!) = n!/(r!(n r)!) Sekarang kita bisa menjawab pertanyaan awal kita: Berapa banyak kumpulan 3 orang (berbeda) yang dapat diambil dari sekelompok 6 orang (dengan mengabaikan urutan pengambilan)? Ini jelas C(6, 3) = 6!/(3! 3!) = 72/(6 6) = 72/36 = 2 Jadi akan ada 2 cara berbeda, atau 2 kelompok berbeda yang diambil. Corollary. Andaikan n dan r bil. bulat tak negatif dengan r n. Maka C(n, r) = C(n, n r). Ingat bahwa mengambil sekelompok r orang dari kelompok n orang adalah sama dengan memecah sekelompok n orang kedalam suatu kelompok r orang dan sekelompok (n r) orang lainnya. Contoh 4.: Suatu klub sepakbola memiliki 8 pemain wanita dan 7 pemain pria. Dalam suatu pertandingan, 6 pemain wanita dan 5 pemain pria akan diturunkan di lapangan. Berapa banyak konfigurasi yang bisa dibentuk? C(8, 6) C(7, 5) = 8!/(6! 2!) 7!/(5! 2!) = 28 2 = 588 Kita sudah mengetahui banyaknya cara mengambil himpunan bagian dengan kardinalitas r dari suatu himpunan dengan kardinalitas n. Bilangan ini kita sebut sebagai C(n,r). Dan kita menemukan rumus menghitung C(n, r): n! Cnr (, ) = r!( n r)! 4. Pencacahan - 8
Kita juga melihat hal berikut: n! n! Cnn (, r) = = = Cnr (, ) ( n r)![ n ( n r)]! ( n r)! r! Secara intuitif, kesetangkupan ini masuk akal. Misalnya, tinjau suatu himpunan dengan enam anggota (n = 6). Ambil dua anggota dan tinggalkan empat pada dasarnya sama dengan ambil empat anggota dan tinggalkan dua. Yang manapun dari kedua kasus tsb, banyaknya pilihan kita adalah banyaknya kemungkinan memisahkan himpunan tsb kedalam satu himpunan beranggota dua dan satu lagi beranggota empat. Identitas Pascal Misalkan n dan k dua bilangan bulat positif dengan n k, maka C(n +, k) = C(n, k ) + C(n, k). Bagaimana menjelaskannya? Apa kegunaannya? Bayangkan sebuah himpunan S yang mengandung n anggota dan himpunan T yang mengandung (n+) anggota, yaitu semua anggota S ditambah satu anggota baru a. Menghitung C(n+, k) ekivalen dengan menjawab pertanyaan berikut: Ada berapakah himpunan bagian dari T yang mengandung k buah anggota? Kasus I: Himpunan bagian mengandung (k ) anggota dari S ditambah anggota a: C(n, k ) buah pilihan. Kasus II: Himpunan bagian mengandung k buah anggota dari S dan tidak mengandung a: C(n, k) buah pilihan. Aturan penjumlahan: C(n +, k) = C(n, k ) + C(n, k). Didalam segitiga Pascal, setiap bilangan adalah jumlahan dari bilangan di kiri-atasnya dengan kanan-atasnya: 4. Pencacahan - 9
2 3 3 4 6 4 Karena C(n +, k) = C(n, k ) + C(n, k) dan C(, ) =, kita dapat menyederhanakan perhitungan C(n,k) dengan memakai segitiga Pascal: k n C(,)= C(,)= C(,)= C(2,)= C(2,)=2 C(2,2)= C(3,)= C(3,)=3 C(3,2)=3 C(3,3)= C(4,)= C(4,)=4 C(4,2)=6 C(4,3)=4 C(4,4)= Ekspresi berbentuk C(n, k) disebut juga sebagai koefisien binomial. Mengapa demikian? Suatu ekspresi binomial adalah jumlahan dua suku, seperti (a + b). Sekarang tinjau (a+b) 2 = (a + b)(a + b). Saat melakukan pengembangan ekspresi ini, kita harus membentuk semua kemungkinan perkalian suatu suku dari faktor pertama dengna suku dari faktor kedua: (a + b) 2 = a a + a b + b a + b b Suku-suku sejenis bisa dikumpulkan: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Untuk (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) kita peroleh (a + b) 3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. Pencacahan -
Hanya ada suku a 3, karena hanya ada satu kemungkinan untuk membentuknya: Pilih a untuk ketiga faktor: C(3, 3) =. Begitu pula suku a 2 b muncul tiga kali: C(3, 2) = 3. Suku ab 2 juga muncul tiga kali: C(3, ) = 3 dan suku b 3 muncul satu kali: C(3, ) =. Sehingga kita mendapatkan rumus: n n ( a+ b) = C( n, j) a b j= n j j (Teorema Binomial) Dengan bantuan segitiga Pascal, rumus ini dapat menyederhanakan proses ekspansi perpangkatan dalam ekspresi binomial. Misalnya, baris ke-lima dari segitiga Pascal ( 4 6 4 ) membantu kita menghitung (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 4. Pencacahan -