7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor x dengan vektor Ax. Ax x Namun, dapat terjadi vektor x tertentu sedemikian sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain Ax x
Jika A adalah matriks nxn, Vektor-vektor tidak nol pada R n disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x, yaitu: Untuk semua skalar. Nilai Eigen, Vektor Eigen Apabila diberikan transformasi linier A : Rn Rn, maka kita perlu menentukan skalar sehingga Ax = x mempunyai solusi tak nol. Ax = x Skalar disebut eigenvalue A, dan x disebut juga eigenvector A bersepadanan dengan.
Nilai Eigen, Vektor Eigen Jika diketahui vektor adalah suatu vektor eigen maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut. Ax = x λ =3
Menghitung λ Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka: A nn Ax = x Ax = Ix (I A)x =. det (I A) = Persamaan karakteristik dari A, dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. det (I A) merupakan persamaan polinomial p dalam dan disebut polinomial karakteristik dari A.
Menghitung λ det (I A) =
Nilai Eigen, Vektor Eigen Tentukan nilai eigen dari A 4 7 8 Polinomial karakteristik A didapat melalui: 4 7 8 3 2 det( I A) det 8 7 4 Nilai eigen value diperoleh melalui 3 8 2 + 7 4 = 3 8 2 + 7 4 = (-4)(2-4 +) =
Nilai Eigen, Vektor Eigen Tentukan nilai eigen dari Nilai eigen value = ½, = 2/3, dan = -/4 4 8 5 3 2 2 A det (I A) = Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.
Teorema Eigen Jika A nn dan adalah bilangan real maka pernyataan berikut adalah ekuivalen: adalah nilai eigen dari A. Sistem persamaan (I A)x = memiliki solusi tak-trivial. Ada suatu vektor tak-nol x pada R n sedemikian sehingga Ax = x. merupakan suatu penyelesaian dari persamaan karakteristik det(i A) =.
Basis Ruang Eigen Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x. Eigenvectors yang bersepadanan dengan adalah vektor tak-nol dalam ruang penyelesaian (I A)x = ruang eigen A yang berhubungan dengan. Mencari nilai eigen det (I A) = Mencari vektor eigen (I A)x =
Basis Ruang Eigen Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A ukuran nxn :. Tentukan polinomial karakteristik det(i A)= dari matriks A. 2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det (I A) = untuk. 3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen A. 4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.
Contoh Basis Ruang Eigen Cari basis-basis untuk ruang eigen dari 2 A 2 3 Mencari nilai eigen det (I A) = 3 5 2 + 8 4 = ( )( 2) 2 = = and = 2 Mencari vektor eigen (I A)x = 2 x 2 x (3) 2 3 x 3
Contoh Basis Ruang Eigen Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2 2 2 x x 2 x 3 x = -s, x 2 = t, x 3 = s Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: x s s t t s t s s Cek : apakah bebas linier. Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Basis Ruang Eigen Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = adalah vektor tak nol berbentuk: basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks Jika k : bilangan bulat positif, : eigenvalue matriks A, x : eigenvector k adalah eigenvalue dari A k dan x is a corresponding eigenvector. A 2 x= A (Ax) A (x) = (Ax) - (x) = 2 x Teorema: Jika k adalah suatu bilangan bulat positif, adalah suatu nilai eigen dari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan, maka k adalah suatu nilai eigen dari A k dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan.
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks Contoh: Nilai Eigen dari 2 A 2 3 Vektor eigen dari A untuk nilai = 2 adalah adalah = and = 2 Nilai eigen untuk A 7 : = 2 7 = 28 dan = 7 = Vekor eigen untuk A 7 yang bersepadanan dengan = 2 7 = 28 Vektor eigen dari A untuk nilai = adalah Vekor eigen untuk A 7 yang bersepadanan dengan = 7 =
Matriks Balikan pada Nilai Eigen Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika = bukanlah suatu nilai eigen dari A.
Ringkasan Jika A mn matrix, dan jika T A : R n R n adalah perkalian dengan A; A dapat di-invers. Ax = hanya memiliki persamaan trivial. Bentuk baris tereduksi dari A adalah I n. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n. Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n. det(a). Range (daerah hasil) T A adalah R n. T A satu satu. Vektor kolom A bebas linier. Vektor baris A bebas linier. Vektor kolom A merentang R n. Vektor baris A merentang R m. Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk R n. Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk R n. A berpangkat n. A mempunyai kekosongan. Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah R n. Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {}. A T A bisa dibalik = bukanlah suatu nilai eigen dari A
DIAGONALISASI
Diagonalisasi Matriks Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P - AP =D adalah matriks diagonal Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A. Jika A nn maka: A dapat didiagonalkan. A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.
Prosedur Diagonalisasi Matriks Suatu matriks A nxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb:. Step. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p, p 2,, p n. Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p, p 2,, p n sebagai vektor-vektor kolomnya. Step 3. Matriks P - AP akan menjadi matriks diagonal dengan, 2,, n sebagai anggota diagonalnya dimana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan p, i untuk i =, 2,, n.
Contoh Diagonalisasi Matriks Cari matriks P yang mendiagonalkan : 2 A 2 3 Mencari nilai eigen det (I A) = 3 5 2 + 8 4 = ( )( 2) 2 = = and = 2 Mencari vektor eigen (I A)x = 2 x 2 x (3) 2 3 x 3
Contoh Diagonalisasi Matriks Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2 2 2 x x 2 x 3 x = -s, x 2 = t, x 3 = s Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: x s s t t s t s s Cek : apakah bebas linier. Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Diagonalisasi Matriks Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Diagonalisasi Matriks, p p 2 2 p 3 Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut: = 2: = : 2 P Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A: D AP P 2 2 2 3 2 2 2
Contoh Diagonalisasi Matriks Cari matriks P yang mendiagonalkan A 2 3 5 2 Polinominal karakteristik dari A dicari dengan : det (I A) = Persamaan karakteristik: Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah: det( I A) 2 ( )( 2) 3 5 2 2 Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.
Teorema Diagonalisasi Matriks Jika v, v 2,, v k, adalah vektor-vektor eigen dari A yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda, 2,, k, maka {v, v 2,, v k } adalah suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.
Diagonalisasi Matriks Contoh : Cari matriks P yang mendiagonalkan A 4 7 8 Polinomial karakteristik A didapat melalui: 3 2 det( I A) det 8 7 4 3 8 2 + 7 4 = (-4)(2-4 +) = 4 7 8 Matriks A 3x3 mempunyai nilainilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan. P AP 4 2 3 2 3
Diagonalisasi Matriks Segitiga Ingat: Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A. Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan. 2 4 3 7 A 5 8 2
DIAGONALISASI ORTOGONAL
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga : P - AP = P T AP=D maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal. Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen: A dapat didiagonalkan secara ortogonal. A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. A simetris. A T = (PDP T ) T =PD T P T = PDP T = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.
Diagonalisasi Matriks Simetris Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris: Step. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A. Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 4 2 2 Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A 2 4 2 2 2 4 Solusi: Persamaan karakteristik A adalah: 4 2 2 2 2 4 2 det( I A) det 2 4 2 ( 2) ( 8) Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah u and u 2 :
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Terapkan proses Gram Schmidt pada {u, u 2 untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut: v / 2 / 6 / 2 and v / 6 2 / 6 2 Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah u3 Terapkan proses Gram Schmidt pada {u 3 } didapat: v3 sehingga P v v2 v3 / / 2 2 / / 2 / 6 6 6 / / / 3 3 3 / 3 / 3 / 3 P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa P T AP=D