Sistem Bilangan Rudi Susanto 1
Sistem Bilangan Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan yang paling familier dengan kita karena berbagai kemudahannya yang kita pergunakan sehari hari. 2
Sistem Bilangan Secara matematis sistem bilangan bisa ditulis seperti contoh di bawah ini: 1 1 0 1 2 1 : Nilai,,,,,,, : Bilangan n n i i i r n n n r r d D d d d d d d D 3
Contoh: Bilangan desimal: 5185.68 10 = 5x10 3 + 1x10 2 + 8x10 1 + 5x10 0 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2 = 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x0.1 + 8x0.01 Bilangan biner (radiks=2, digit={0, 1}) 10011 2 = 1 16 + 0 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 19 10 MSB LSB 101.001 2 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.125 10 4
Sistem Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh Desimal r=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 255 10 Biner r=2 {0,1} 11111111 2 Oktal r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} 377 8 Heksadesimal r=16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF 16 Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 5
Konversi Radiks-r ke desimal Rumus konversi radiks-r ke desimal: D n 1 i n Contoh: 1101 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 10 572 8 = 5 8 2 + 7 8 1 + 2 8 0 = 320 + 56 + 2 = 378 10 2A 16 = 2 16 1 + 10 16 0 r d i r i = 32 + 10 = 42 10 6
Konversi Bilangan Desimal ke Biner Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). 7
Contoh: Konersi 179 10 ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB) 179 10 = 10110011 2 MSB LSB 8
Konversikan ke biner 1. 100 2. 64 3. 59 4. 25 9
Konversi Bilangan Desimal ke Oktal Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan oktal: Gunakan pembagian dgn 8 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). 10
Contoh: Konversi 179 10 ke oktal: 179 / 8 = 22 sisa 3 (LSB) / 8 = 2 sisa 6 / 8 = 0 sisa 2 (MSB) 179 10 = 263 8 MSB LSB 11
Konversi Bilangan Desimal ke Hexadesimal Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan hexadesimal: Gunakan pembagian dgn 16 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). 12
Contoh: Konversi 179 10 ke hexadesimal: 179 / 16 = 11 sisa 3 (LSB) / 16 = 0 sisa 11 (dalam bilangan hexadesimal berarti B )MSB 179 10 = B3 16 MSB LSB 13
14
Konversi Bilangan Biner ke Oktal Untuk mengkonversi bilangan biner ke bilangan oktal, lakukan pengelompokan 3 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB 15
Biner Oktal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 16
Contoh: Konversikan 10110011 2 ke bilangan oktal Jawab : 10 110 011 2 6 3 Jadi 10110011 2 = 263 8 17
Konversi Bilangan Oktal ke Biner Sebaliknya untuk mengkonversi Bilangan Oktal ke Biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan oktal ke 3 digit bilangan biner 18
Contoh : Konversikan 263 8 ke bilangan biner. Jawab: 2 6 3 010 110 011 Jadi 263 8 = 010110011 2 Karena 0 didepan tidak ada artinya kita bisa menuliskan 10110011 2 19
Konversi Bilangan Biner ke Hexadesimal Untuk mengkonversi bilangan biner ke bilangan hexadesimal, lakukan pengelompokan 4 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB 20
Biner Heksa 0000 0 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F 21
Contoh: konversikan 10110011 2 ke bilangan heksadesimal Jawab : 1011 0011 B 3 Jadi 10110011 2 = B3 16 22
Konversi Bilangan Hexadesimal ke Biner Sebaliknya untuk mengkonversi Bilangan Hexadesimal ke Biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan Hexadesimal ke 4 digit bilangan biner 23
Contoh : Konversikan B3 16 ke bilangan biner. Jawab: B 3 1011 0011 Jadi B3 16 = 10110011 2 24
Format Basis Bilangan Suatu bilangan yang dinyatakan dalam basis k ditulis dalam bentuk jumlah dari perkalian koefisien dengan k dipangkatkan derajad koefisien tersebut Derajat koefisien dihitung mulai dari 0 naik ke kiri untuk bilangan bulat, dan dihitung mulai -1 menurun ke kanan untuk pecahan 25
Format Basis Bilangan (a n a n-1 a n-2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -m ) k Nilainya adalah: (a n.k n +a n-1.k n-1 +a n-2.k n-2 + + a 1.k 1 +a 0.k 0 + a - 1.k -1 +a -2.k -2 + +a -m.k -m 26
Contoh (502,31) 8 ------------------> n = 2 ; m = 2 5.8 2 +0.8 1 +2.8 0 +3.8-1 +1.8-2 320 + 0 + 2 + 0,375 + 0,015625 322,39 10 27
Berapa? (1AB2,8) 16 (1AB2,8) 16 ------------------> n = 3 ; m = 1 1.16 3 +10.16 2 +11.16 1 +2.16 0 +8.16-1 4096 + 2560 + 176 + 2 + 0,5 6834,5 28
Berapa? (1011,01) 2 (1011,01) 2 ------------------> n = 3 ; m = 2 1.2 3 +0.2 2 +1.2 1 +1.2 0 +0.2-1 + 1.2-2 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0,25 11,25 29
Konversi Bilangan Bulat Bilangan bulat : dilakukan pembagian dengan basis bilangan k secara berulang sampai hasilnya 0. Sisa hasil setiap pembagian menjadi koefisien bilangan baru dengan Least Significant Bit (LSB) sebagai nilai terkecil dan Most Significant Bit sebagai nilai terbesar 30
Contoh Mengubah 45 10 ke biner 45/2 = 22 sisa 1 ---------a 0 = 1 LSB 22/2 = 11 sisa 0 ---------a 1 =0 11/2 = 5 sisa 1 --------- a 2 =1 5/2 = 2 sisa 1 ----------- a 3 =1 2/2 = 1 sisa 0 -----------a 4 =0 1/2 = 0 sisa 1 -----------a 5 =1 MSB Jadi 45 10 = 101101 2 31
Konversi Bilangan Pecahan Pecahan : dilakukan perkalian dengan basis bilangan k, hasilnya dipisahkan dalam bentuk integer dan pecahan. Bagian Pecahan dikalikan berulang dengan basis bilangan k sampai bagian pecahan menjadi 0,00 atau yang disepakati sebagai batas. Bagian integer menjadi koefisien dengan bagian pertama sebagai MSB dan yang terakhir sebagai LSB 32
Contoh Mengubah 0,432 10 ke basis 4 dengan 4 angka dibelakang koma 0,432 x 4 = 1,728 ------------ a -1 = 1 (MSB) 0,728 x 4 = 2,912 ------------ a -2 = 2 0,912 x 4 = 3,648 ------------ a -3 = 3 0,648 x 4 = 2,592 ------------ a -4 = 2 (LSB) Jadi 0,432 10 = 0,1232 4 33
Berapa? (167,28) 10 =... 8 167/8 = 20 sisa 7 --- a 0 = 7 LSB 20/8 = 2 sisa 4 --- a 1 = 4 2/8 = 0 sisa 2 --- a 2 = 2 MSB 0,28 x 8 = 2,24 --- a -1 = 2 MSB 0,24 x 8 = 1,92 --- a -2 = 1 0,92 x 8 = 7,96 --- a -3 = 7 LSB 247,217 8 34
Oktal <->Biner <-> Heksa Untuk integer : Kelompokkan dari kanan ke kiri sebanyak 3 angka untuk oktal dan sebanyak 4 angka untuk heksa. Kelompok paling kiri boleh kurang dari 3 (oktal) / 4 (heksa) Untuk Pecahan : Kelompokkan dari kiri ke kanan sebanyak 3 angka untuk oktal dan sebanyak 4 angka untuk heksa. Jika kelompok paling kanan kurang dari 3 (oktal)/4 (heksa) maka tambahkan nol dibelakangnya. 0,11 2 = 8 0,11 2 = 0,110 = 0,6 8 0,11 2 = 16 0,11 2 = 0,1100 = 0,C 16 35
FUNGSI ARITMATIKA BINER 36
Topik Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Sistem Bilangan Lain 37
Penjumlahan Penjumlahan dasar pada kolom LSB 38
Penjumlahan Penjumlahan lanjut selain kolom LSB 39
Penjumlahan Contoh 40
Pengurangan Pengurangan dasar pada kolom LSB 41
Pengurangan Pengurangan lanjut selain kolom LSB 42
Pengurangan Contoh 43
Perkalian Perkalian biner pada dasarnya sama dengan perkalian desimal, nilai yang dihasilkan hanya 0 dan 1 Bergeser satu ke kanan setiap dikalikan 1 bit pengali Setelah proses perkalian masing-masing bit pengali selesai, lakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil 44
Pembagian Pembagian biner pada dasarnya sama dengan pembagian desimal, nilai yang dihasilkan hanya 0 dan 1 Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut, tetapi jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih di bawah nilai pembagi, maka hasil bagi = 0. 45
Sistem Bilangan Lain Untuk operasi aritmatika selain bilangan biner bisa dilakukan dengan cara/acuan yang sama dengan bilangan biner. Atau bisa juga dikonversikan dulu ke bilangan biner, baru dioperasikan secara biner 46
Kerjakan! 1. Jumlahkanlah bilangan biner 01010111 dan 00110101! Jawab : 1 1 1 1 1 1 Bit-bit carry 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 0 2. Pecahkanlah pengurangan-pengurang berikut ini, dan lakukan juga pengurangan dalam bilangan biner! (a) 27 10 (b) 9 4 Jawab : 27 10 = 17 9 4 = 5 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 17 0 0 0 0 0 1 0 1 5 47
Kerjakan! 3. Kalikan bilangan biner berikut 101 x 11 =. (2) Jawab: 101 11 ----- x 101 101 ------- + 3. Lakukan operasi pembangian bilangan biner berikut 11001 : 101 Jawab: 48
Kode Bilangan 49
Kode Bilangan BCD, panjang 4 bit dengan bobot tiap bilangan biner penyusun adalah 8,4,2,1 Excess-3, panjang 4 bit dengan menambah desimal dengan 3 (0 3, 1 4) dll 50
Tabel Kode Bilangan Desimal BCD Excess-3 0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100 51
Contoh 24 dalam BCD : 0010 0100 24 dalam Excess-3 : 0101 0111 52
Kode ASCII American Standart Code for Information Interchange Kode komputer untuk bilangan, simbol, dan huruf Terdiri dari 8 bit sehingga memiliki 256 karakter 53
Contoh kode ascii Karakter ASCII Karakter ASCII 0 0011 000 < 0011 0010 1 0011 0001 = 0011 0011 A 0100 0001 a 0110 0001 54
D3 TKJ STMIK DUTA BANGSA? 55
EWB dan Gerbang Logika 56
Brief Gerbang Logika Harga peubah (variabel) logika, pada dasarnya hanya dua, yaitu benar (true) atau salah (false). Dalam persamaan logika, umumnya simbol 1 dipakai untukmenyatakan benar dan simbol 0 dipakai untuk untuk menyatakan salah. Dengan memakai simbol ini, maka keadaan suatu logika hanya mempunyai dua kemungkinan, 1 dan 0. Kalau tidak 1, maka keadaan itu harus 0 dan kalau tidak 0 makakeadaan itu harus 1. 57
GERBANG NOT/INVERTER Operasi NOT : Jika Input A HIGH, maka output X akan LOW Jika Input A LOW,mak aoutput X akan HIGH 58
GERBANG OR Operasi OR : Jika Input A OR B atau keduanya HIGH, maka output X akan HIGH Jika Input A dan B keduanya LOW maka output X akan LOW 59
CARA KERJA GERBANG OR 60
GERBANG AND Operasi AND: Jika Input A AND B keduanya HIGH, maka output X akan HIGH Jika Input A atau B salah satu atau keduanya LOW maka output X Akan LOW 61
CARA KERJA GERBANG AND 62
Dasar EWB Sources Gates Diodes VCC : nilai 1 and nand LED Ground : nilai 0 or nor not 63
Pengujian Rangkaian Sederhana 64
MEMBUAT RANGKAIAN DIGITAL Langkah-langkah : 1. Diskripsikan permasalah manjadi sistem digital 2. Buatlah table kebenaranya 3. Tentukan Persamaan Aljabarnya 4. Buat rangkaian logikanya 5. Buat rangkaian elektronikanya mengunakan simulasi electronic workbench 65
Contoh Penerapan Ada Tungku A dan tungku B, jika ada salah satu tungku tersebut terlalu panas maka alarm akan berbunyi. 66
Diskripsi menjadi sistem digital 67
Tabel kebenaran Bentuk ekspresi aljabar boolenya X=A+B adalah sebuah gerbang OR 68
Rangkaian 69
CONTOH Kasus: Suatu Bank HAFINA menerapkan sistem keamanan untuk membuka brangkas penyimpan uang dengan sistem tiga kunci. Pintu brangkas dapat dibuka jika paling sedikit ada dua orang yang memasukkan kunci. Kunci dipegang oleh tiga orang yaitu Kepala Bank (A), Manager Keuangan (B) dan Manager Perkreditan (C). Pintu brangkas tidak akan terbuka jika hanya satu orang yang memasukkan kunci. Dengan menerapkan sistem digital maka perancangan dapat kita diskripsikan sbb: 1. Ada tiga masukan (A, B, C) 2. Kunci masuk = "1", kunci tdk masuk = "0" 3. Pintu brangkas membuka = "1", pintu brangkas tertutup = "0" 70
Tabel kebenaran 71
Persamaan Aljabar Cara penyederhanaan mengunakan K Map, aljabar boolean, gambar dll Baris warna kuning menunjukkan bahwa paling tidak ada 2 orang yang mambawa kunci dan memasukkannya sehingga pintu brangkas terbuka (F=1), Kaidah penyelesaian logika yang kita pakai adalah, kita fokus pada baris yang manghasilkan output F=1, yaitu jika untuk masukan A, B, C yang kondisinya adalah: 72
Rangkaian logika 73
Rangkaian elektronika digital 74
Terima Kasih 75