Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali
Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi Relasi biner Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi Mengkombinasikan relasi Komposisi relasi
Relasi adlh hubungan antara elemen himpunan dgn elemen himpunan yg lain Cara paling mudah utk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adlh dgn himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.
Relasi R dari himp. A ke himp. B dpt didefinisikan sbg himp. pasangan (a,b) pd A x B, dimana a A dan b B, dgn salah satu dari kalimat berikut: ) a berelasi dgn b ditulis a R b atau R(a,b) 2) a tidak berelasi dgn b ditulis sbg a R b atau R(a,b)
Definisi Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B Perkalian kartesian didefinisikan sbg semua himp. pasangan terurut dgn komponen pertama adlh anggota himpunan A & komponen kedua adlh anggota himp. B Notasi : A B = { (a,b) aa dan bb }
Contoh C = {, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka: C D = {(, a), (, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} D C = {(a, ), (a, 2), (a, 3), (b, ), (b, 2), (b, 3)} A = {, 2, 3} B = {x, y} C = {a, b, c} A B =? A C =? B C =? {(,x), (,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)} {(,a),(,b),(,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)} {(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c)}
Definisi 2 Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. Notasi: R (A B) A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebutdaerah hasil (range) dari R.
Contoh Misal diketahui sbb: P = {2, 4, 8, 9, 5}, Q = {2, 3, 4} Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q) R jika p habis dibagi q, maka: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (5,3), (4,4), (8,4)}
Definisi 3 Relasi PADA A adalah relasi dari A ke A. Contoh Misal R adalah relasi pada: A = {2,3,4,8,9} yg didefinisikan oleh (x, y) R jika x adalah faktor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
. Menggunakan Tabel Jika relasi disajikan dengan tabel maka: kolom pertama menyatakan daerah asal (domain) kolom kedua menyatakan daerah hasil (range).
Contoh Misal pd contoh sebelumnya: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (5,3), (4,4), (8,4)} Dalam bentuk tabel menjadi: P Q 2 2 4 2 4 4 8 2 8 4 9 3 5 3 P = {2, 4, 8, 9, 5}, Q = {2, 3, 4}
Contoh Misal pd contoh sebelumnya: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)} Dalam bentuk tabel menjadi: A A 2 2 2 4 2 8 3 3 3 9
2. Menggunakan Matriks Misal R adlh relasi dari A = {a, a 2,,a m } ke B = {b, b 2,,b n }. Relasi R dpt disajikan dgn matriks M = [m ij ] dimana : m ij,, ( a ( a i i, b, b j j ) ) R R
Contoh Misal relasi pada contoh sebelumnya: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (5,3), (4,4), (8,4)} Dalam bentuk matriks menjadi: P = {2, 4, 8, 9, 5}, Q = {2, 3, 4}
Contoh Misal relasi pada contoh sebelumnya: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)} Dalam bentuk matriks menjadi: Relasi PADA: A = {2,3,4,8,9}
3. Menggunakan Diagram Panah Misal diketahui, sbb: Via: aku senang permen dan coklat Andre: aku senang coklat dan es krim Ita: aku suka es krim Dr contoh tsb dapat dibuat dua himp., yaitu : Himpunan A adlh himp. nama orang A = { Via, Andre, Ita } Himpunan B adlh himp. makanan kesukaan B = { es krim, coklat, permen }
A = { Via, Andre, Ita } B = { es krim, coklat, permen } Maka dibuat diagram panah, sbb: Via Andre Ita permen coklat es krim Via: aku senang permen dan coklat Andre: aku senang coklat dan es krim Ita: aku suka es krim
4. Menggunakan Graf Berarah Tiap elemen himpunan dinyatakan dgn sebuah titik dsb jg simpul atau vertex Tiap pasangan terurut dinyatakn dgn busur (arc) yg arahnya ditunjukkn dgn anak panah Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dr simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) & simpul b dsb simpul tujuan (terminal vertex)
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dgn busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)
Contoh R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adlh relasi pd himp. {a, b, c, d}. R direpresentasikan dgn graf berarah sbb: a b c d
Refleksif (reflexive) Relasi R pd himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pd himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.
Contoh: Misalkan A = {, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pd himp. A, maka: Relasi R = {(, ), (, 3), (2, ), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yg berbentuk (a, a), yaitu (, ), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). Relasi R = {(, ), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.
Contoh: Relasi habis membagi pd himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dgn dirinya sendiri, shg (a, a)r utk setiap a A Tiga buah relasi ini menyatakan relasi pd himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = Tidak satupun dr ketiga relasi tsb yg refleksif krn, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
Relasi yg bersifat refleksif mempunyai matriks yg elemen diagonal utamanya semua bernilai, atau m ii =, untuk i =, 2,, n, Graf berarah dari relasi yg bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pd setiap simpulnya
Menghantar (transitive) Relasi R pd himpunan A disbt menghantar jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.. Contoh: Misalkan A = {, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a) Relasi R = {(2, ), (3, ), (3, 2), (4, ), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.
R = {(2, ), (3, ), (3, 2), (4, ), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:
b) Relasi R = {(,), (2,3), (2,4), (4, 2)} tidak menghantar karena (2, 4) &(4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) & (2, 3) R, tetapi (4, 3)R. c) Relasi R = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
d) Relasi R = {(, 2), (3, 4)} tidak menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c) R sedemikian shg (a, c) R. e) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar. Sifat menghantar pd graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.
Jika R adlh relasi pd himp. orang2 dimana (a,b) R, jika a adalah ayah dr b, maka dpt dibuat kebalikan dr relasinya, yaitu (b,a) yg menyatakan b anak dr a. o o Demikian juga: Relasi lebih besar dari mempunyai inversi lebih kecil dari Relasi lebih tua dari mempunyai inversi lebih muda dari
Misalkan R adlh relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dgn R, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh: R = {(b, a) (a, b) R }
Contoh: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 5}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dgn: (p, q) R jika p habis membagi q maka diperoleh: R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2,8), (4, 8), (3, 9), (3,5) }
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2,8), (4, 8), (3, 9), (3,5) } R adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan: (q, p) R jika q adalah kelipatan dari p maka diperoleh: R = {(2, 2), (4, 2), (4,4), (8,2), (8,4), (9,3), (5,3) }
Contoh: Jika M adalah matriks yg merepresentasikan relasi R, maka relasi R, misalkan N, diperoleh dgn melakukan transpose thd matriks M, M T M N
Karena relasi biner mrpkn himp. pasangan terurut maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih jg berlaku. Jika R dan R 2 masing 2 adlh relasi dr himp. A ke himp. B, maka R R 2, R R 2, R R 2, dan R R 2 jg adlh relasi dari A ke B.
Contoh: Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R 2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka: R R 2 = {(a, a)} R R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R R 2 = {(b, b), (c, c)} R 2 R = {(a, b), (a, c), (a, d)} R R 2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
Jika relasi R dan R 2 masing 2 dinyatakan dgn matriks M R dan M R2, maka matriks yg menyatakan gabungan dan irisan dr kedua relasi tersebut adlh M R R2 = M R M R2 M R R2 = M R M R2
Contoh: Misalkan bahwa relasi R dan R 2 pd himp. A dinyatakan oleh matriks Tentukan M R R2 dan M R R2. R R2
Jawab: Misalkan bahwa relasi R dan R 2 pd himp. A dinyatakan oleh matriks R R2 M R R2 = MR MR2 = M R R2 = MR MR2 =
Misalkan R adlh relasi dr himp. A ke himp. B, dan S adlh relasi dr himp. B ke himp. C Komposisi R dan S, dinotasikan dgn S R, adlh relasi dr A ke C yg didefinisikan oleh: S R = {(a, c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S }
Contoh: Misalkan: R = {(, 2), (, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adlh relasi dari himp. {, 2, 3} ke himp. {2, 4, 6, 8}, S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adlh relasi dr himp. {2, 4, 6, 8} ke himp. {s, t, u} Carilah komposisi relasi R dan S!
R = {(, 2), (, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Jawab: S R = {(,u), (,t), (2,s), (2,t), (3,s), (3,t), (3,u) } Utk lebih jelas, amati gambar berikut. Lihatlah titik awal dan akhir dr panah, sbb:
Contoh: Misalkan: U = {(3,p), (6,p), (6,q), (9,r), (2,s), (2,t)} adlh relasi dari himp. {3, 6, 9, 2} ke himp. {p, q, r, s, t}, T = {(p, v), (p,z), (r,x), (r,y), (r,z), (t,y)} adlh relasi dr himp. {p, q, r, s, t} ke himp. {v, x, y, z} Carilah komposisi relasi U dan T! Jawab: U T = {(3,v), (3,z), (6,v), (6,z), (9,x), (9,y), (9,z), (2, y)}
Misalkan A dan B adlh himpunan. Relasi biner f dr A ke B mrpkn suatu fungsi jika setiap elemen di dlm A dihubungkan dgn tepat satu elemen di dlm B. Jika f adlh fungsi dari A ke B kita menuliskan: f : A B yg artinya f memetakan A ke B.
f : A B A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dlm A dihubungkan dgn elemen b di dlm B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dr a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yg berisi semua nilai pemetaan f disbt jelajah (range) dr f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adlh himp. bagian (mungkin proper subset) dari B. A B f a b
Contoh: Relasi f = {(, u), (2, v), (3, w)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adlh fungsi dari A ke B. Di sini f() = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dr f adlh A dan daerah hasil adlh B. Jelajah dr f adlh {u, v, w}, yg dlm hal ini sama dgn himpunan B.
Contoh: Relasi f = {(, u), (2, u), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
Contoh: Relasi f = {(, u), (2, v), (3, w)} dari A = {, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.
Contoh: Relasi f = {(, u), (, v), (2, v), (3, w)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.
Tergantung dr jenis bayangan, fungsi dibedakan mnjd:. Fungsi satu-ke-satu (one-to-one) 2. Fungsi pada (onto) 3. Fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijection) 4. Bukan salah satu dr ketiganya
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himp. A yg memiliki bayangan sama.
Contoh: Relasi f = {(, w), (2, u), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu. Tetapi relasi f = {(, u), (2, u), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi satu-ke-satu karena f() = f(2) = u.
Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B mrpkn bayangan dr satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain, seluruh elemen B mrpkn jelajah dari f. Fungsi f dsbt fungsi pada himp. B
Contoh: Relasi f = {(, u), (2, u), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tdk termasuk jelajah dr f. Tetapi relasi f = {(, w), (2, u), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.
Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-kesatu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satuke-satu dan juga fungsi pada. Contoh: Relasi f = {(, u), (2, w), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adlh fungsi yg berkoresponden satu-ke-satu, karena f adlh fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
Amati Gambar berikut:
Jika f adlh fungsi berkoresponden satu-kesatu dr A ke B, maka kita dpt menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka: f - (b) = a jika f(a) = b.
Fungsi yg berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan jg fungsi yg invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh: Relasi f = {(, u), (2, w), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yg berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah: F - = {(u, ), (w, 2), (v, 3)} Jd, f adlh fungsi invertible.
Contoh: Tentukan invers dr fungsi: Jawab: f(x) = x Fungsi f(x) = x, adlh fungsi yg berkorespondensi satu-ke-satu. Jadi, balikan (invers) fungsi tsb ada Misalkan f(x) = y, shg y = x, maka x = y +. Jadi, fungsi balikannya adlh f - (y) = y +.
Misalkan g adlh fungsi dr himp. A ke himp. B, dan f adlh fungsi dari himp. B ke himp. C. Komposisi f dan g, dinotasikan dgn f g, adlh fungsi dari A ke C yg didefinisikan oleh: (f g)(a) = f(g(a))
Contoh: Diberikan fungsi g = {(, u), (2, u), (3, v)} yg memetakan A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi: f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yg memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adlh: f g = {(, y), (2, y), (3, x) }
Contoh: Diberikan fungsi f(x) = x dan g(x) = x 2 +. Tentukan f g dan g f. Jawab: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + ) = x 2 + = x 2 (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) 2 + = x 2-2x + 2
Munir, R., 25, Matematika Diskrit, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 27, Discrete Mathematics and Its Applications 7 th edition, McGraw-Hill