PERANCANGAN PERCOBAAN OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009
I. ANALISIS REGRESI 1. 2. Regresi Linear : Regresi Linear Sederhana Regresi Linear Ganda Regresi Non Linear Regresi Kuadratik
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Analisis Regresi merupakan studi yang membahas tentang bentuk keeratan hubungan antar peubah. Model atau persamaan regresi populasi secara umum dapat dituliskan dalam bentuk : μ y/x1, x2,, xk = f (x 1, x 2,, x k β 1, β 2,, β k ) Untuk regresi Linear sederhana, yaitu regresi Y atas X bentuknya : μ y/x = β 0 + β 1 X β 0 dan β 1 disebut Koefisien Regresi, yang merupakan parameter. Regresi populasi tersebut dapat diduga melalui contoh dengan persamaan : Y = b 0 + b 1 X
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Jadi β 0 diduga oleh b 0 dan β 1 diduga oleh b 1. Nilai b 0 dan b 1 dapat ditentukan dengan Metode Kuadrat Terkecil, yaitu : b 1 = n XY ( X) ( Y) n X 2 ( X) 2 b0 = Y b1 X b 0 = Intersep (titik potong garis regresi dengan sumbu Y) b 1 = Koefisien Arah Regresi Besarnya peningkatan Y apabila X emningkat sebesar satu satuan.
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Y Y (x I, y I ) (x I, y I ) Y = b 0 + b 1 X y I X x I X (Y i Y) = selisih = galat = e Apabila galat setiap titik pengamatan dikuadratkan dan hasilnya dijumlahkan, disebut Jumlah Kuadrat Galat (JKG). JKG jika dibagi dengan derajat bebas (n k 1) disebut Ragam Galat Dugaan (S y/x 2 ) disebut juga Kuadrat Tengah Galat (KTG), dimana n = ukuran sampel, k = banyaknya variabel bebas.
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Pada Regresi Linear Sederhana nilai k = 1, sehingga Ragam Galat Dugaan untuk Regresi Linear Sederhana adalah : (Y i Y) 2 Y 2 b 0 Y b 1 XY S 2 y/x = = n k 1 n k 1 Dengan adanya ragam dugaan bagi regresi (S y/x 2 ), maka dapat dihitung ragam untuk konstanta b 0 yaitu S b0 2 dan koefisien regresi b 1 yaitu S b1 2 yaitu : S y/x 2 S y/x 2 S b1 2 = = X 2 ( X) 2 /n (n 1)S x 2 S b0 2 = S y/x 2 1/n + x 2 X 2 ( X) 2 /n
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Tabel berikut menunjukkan skor tes kecerdasan (x) dan nilai ujian statistika (y) dari 12 mahasiswa : X 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 Y 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 X = 725 X 2 = 44.475 Y = 1011 XY = 61.685 Y 2 = 85.905 X = 60,417 Y = 84,25 n XY ( X) ( Y) 12 (61685) (725)(1011) b 1 = = n X 2 ( X) 2 12(44475) (725) 2 740220 732975 b 1 = = 0,8972 533700 525625
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA X = 725 X 2 = 44.475 Y = 1011 XY = 61.685 Y 2 = 85.905 X = 60,417 Y = 84,25 b0 = Y b1 b 0 = 84,250 X 0,8972(60,417) b 0 = 30,0433 Persamaan Regresi Dugaan : Y = 30,0433 + 0,8972 X
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Ragam Galat Dugaan (S y/x 2 ), S b1 2 dan S b02 : X = 725 X 2 = 44.475 Y = 1011 XY = 61.685 Y 2 = 85.905 X = 60,417 Y = 84,25 S y/x 2 = 85905 30,0433(1011) 0,8972(61685) 12 1 1 S y/x 2 = 18,6557 S y/x 2 18,6557 S b1 2 = = X 2 ( X) 2 /n 44475 (725) 2 /12 S b1 2 = 0,0277 S b1 = 0,1665
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Ragam Galat Dugaan (S 2 y/x ), S 2 b1 dan S b02 : X = 725 X 2 = 44.475 Y = 1011 XY = 61.685 Y 2 = 85.905 X = 60,417 Y = 84,25 S b0 2 = S y/x 2 1/n + x 2 X 2 ( X) 2 /n S b0 2 = 18,6557 1/12 + S b0 2 = 102,7509 (60,417) 2 44475 (725) 2 /12 S b0 = 10,1366
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Pengujian Koefisien Regresi : H 0 β i = 0 Lawan H 1 β i 0 Uji Statistik : t = b i S bi Wilayah Kritik : t < t α/2(n-2) atau t > t α/2(n-2)
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Pengujian Koefisien Regresi : b 0 = 30,0433 b 1 = 0,8972 S b0 = 10,1366 S b1 = 0,1665 t = b i S bi 30,0433 t = t = 2,964 10,1366 t = b i S bi t = 0,8972 0,1665 t = 5,389 t α/2(n-2) = t 0,025(10) = 2,228 Kesimpulan : H 0 ditolak, artinya koefisien regresi bersifat nyata, regresi Y = 30,0433 + 0,8972 X dapat digunakan untuk peramalan, karena besarnya Y tergantung dari besarnya X.
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Uji Kelinearan Regresi : Uji Kelinearan Regresi dapat dilakukan apabila peubah bebas X dirancang dengan adanya pengulangan (pengulangan tidak harus sama). Statistik uji yang digunakan adalah Uji F dalam Analisis Ragam. X = 725 X 2 = 44.475 Y = 1011 XY = 61.685 Y 2 = 85.905 b 1 = 0,8972 Analisis Ragam : 1. FK = ( Y) 2 / n = (1011) 2 / 12 = 85176,7500 2. JKT = Y 2 FK = 85905 85176,7500 = 728,2500
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA 3. JKR = b 1 [ ( XY ( X)( Y)/n ] = 0,8972 [ (61.685 (725)(1.011)/12 ] = 541,6927 4. JKG = JKT JKR = 728,2500 541,6927 = 186,5573 JKG-Murni = JKGM = Y 2 i ( Y i ) 2 = 178,6667 JKG-SDM = JKG JKGM = 7,8906 No Variasi DB JK KT F F 5% 1 Regresi 1 541,6927 541,6927 29,0363 4,495 2 Galat 10 186,5573 18,6557 G-Murni 8 178,6667 22,3333 G-SDM 2 7,8906 3,953 0,1767 4,459 Total 11 728,2500 DB (G-SDM) = k 2 = 4 2 = 2 DB (G-Murni) = n k = 12 4 = 8
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Cara Menghitung Jumlah Kuadrat Galat Murni (JKGM) : X Y Y 2 i ( Y i ) 2 JKGM 50 74 50 76 11252 11250 2,0000 55 76 55 85 55 81 55 74 25038 24964 74,0000 65 85 65 90 65 94 24161 24120,33 40,6667 70 87 70 98 70 91 25454 25392 62,0000 Jumlah 178,6667
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA No Variasi DB JK KT F F 5% 1 Regresi 1 541,6927 541,6927 29,0363 4,495 2 Galat 10 186,5573 18,6557 G-Murni 8 178,6667 22,3333 G-SDM 2 7,8906 3,953 0,1767 4,459 Total 11 728,2500 Keterangan : 1. F-Regresi = KT (Regresi) : KT (Galat) (F = 29,0363) > (F 0,05(1 ; 10) = 4,495) Regresi bersifat nyata 2. F-SDM = KTG (SDM) : KTG (Murni) (F = 0,1767) < (F 0,05(2 ;8) = 4.459) H 0 diterima (Regresi Linear) 3. R 2 = 541,6927 : 728,2500 = 0,7438 R = 0,8625
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA Penggunaan Matriks : Persamaan Normal dari : Y = b 0 + b 1 X yaitu : Y = b 0 n + b 1 X XY = b 0 X + b 1 X 2 Matrik dari persamaan normal diatas : n X b 0 Y X X 2 b = 1 XY 12 725 b 0 1011 725 44475 = b 1 61685 ( X X ) ( b ) ( X Y )
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b 0 12 725 1 1011 = b 1 725 44475 61685 b 0 5,508 0,090 1011 = b 1 0,090 0,001 61685 b 0 30,0433 = b 1 0,8972 Persamaan Regresi Dugaan : Y = 30,0433 + 0,8972 X
I. REGRESI LINEAR SEDERHANA ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b 0 5,508 0,090 1011 = b 1 0,090 0,001 61685 b i KTG C ii KTG.C ii S b t 30,0433 18,6557 5,508 102,7509 10,1366 2,964 0,8972 18,6557 0,001 0,0277 0,1665 5,389 t 0,025 (10) = 2,228
II. REGRESI LINEAR GANDA Tabel berikut menunjukkan skor tes kecerdasan (X 1 ), frekuensi membolos (X 2 ) dan nilai ujian statistika (Y) dari 12 mahasiswa : Skor tes (X1) Frek. Bolos (X2) Nilai (Y) 65 1 85 50 7 74 55 5 76 65 2 90 55 6 85 70 3 87 65 2 94 70 5 98 55 4 81 70 3 91 50 1 76 55 4 74 X 1 = 725 X 2 = 43 X 2 1 = 44.475 X 2 2 = 195 X 1 X 2 = 2.540 Y = 1.011 X 1 Y = 61.685 X 2 Y = 3.581
II. REGRESI LINEAR GANDA Regresi Dugaan : Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2. Kemudian persamaan normal yang dapat dibentuk yaitu : Y = b 0 n + b 1 X 1 + b 2 X 2 X 1 Y X 2 Y = b 0 X 1 + b 1 X 2 1 + b 2 X 1 X 2 = b 0 X 2 + b 1 X 1 X 2 + b 2 X 2 2 Matrik dari persamaan normal diatas : n X 1 X 2 b 0 Y X 1 X 1 2 X 1 X 2 = b 1 X 1 Y X 2 X 2 X 1 X 2 2 X 2 Y b 2
II. REGRESI LINEAR GANDA X 1 = 725 X 2 1 = 44.475 X 2 = 43 X 1 X 2 = 2.540 X 2 2 = 195 Y = 1.011 X 1 Y = 61.685 X 2 Y = 3.581 n X 1 X 2 b 0 X 1 X 1 2 X 1 X 2 = Y X 2 X 2 X 1 X 2 2 X 2 Y b 1 b 2 X 1 Y ( X X ) ( b ) ( X Y ) b 0 n X 1 X 1 2 Y b 1 = X 1 X 2 1 X 1 X 2 X 1 Y b 2 X 2 X 1 X 2 X 2 2 X 2 Y
II. REGRESI LINEAR GANDA b 0 12 725 43 1 1011 b 1 = 725 44475 2540 61685 b 2 43 2540 195 3581 ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b 0 7,6547 0,111 0,244 1011 b 1 = 0,111 0,0017 0,002 61685 b 2 0,244 0,002 0,0278 3581
II. REGRESI LINEAR GANDA b 0 27,547 b 1 = 0,922 b 2 0,284 Regresi Dugaan : Y = 27,547 + 0,922 X 1 + 0,284 X 2. Apabila X 2 tetap maka peningkatan X 1 sebesar satu satuan akan meningkatkan Y sebesar 0,922 satuan. Apabila X 1 tetap maka peningkatan X 2 sebesar satu satuan akan meningkatkan Y sebesar 0,284 satuan.
II. REGRESI LINEAR GANDA Pengujian Regresi Linear Ganda : 1. FK = ( Y) 2 / n = (1,011) 2 / 12 = 85.176,75 2. JKT = Y 2 FK = 85.905 85,175,75 = 728,25 3. JKR = b 1 [ ( X 1 Y ( X 1 )( Y)/n ] + b 2 [ ( X 2 Y ( X 2 )( Y)/n ] = 0,922 [ (61.685 (725)(1.011)/12 ] + 0,284 [ (3.581 (43)(1.011)/12 ] = 556,658 11.857 = 544,801 4. JKG = JKT JKR = 728,25 544,801 = 183,449
II. REGRESI LINEAR GANDA No Variasi DB JK KT F F 5% 1 Regresi 2 544,596 272,401 13,364 4,256 R (b 1 ) 1 556,658 556,658 27,270 5,117 R (b 2 ) 1 11,857 11,857 0,582 5,117 2 Galat 9 183,449 20,383 Total 11 728,250 Keterangan : 1. Regresi (b 1 ) (F = 27,270) > (F 0,05 = 4,495) Signifikan 2. Regresi (b 2 ) Non Signifikan 3. R 2 1 = 0,7641 R = 0,8741 4. R 2 2 = 0,0163 R = 0,1277
II. REGRESI LINEAR GANDA b 0 7,6547 0,111 0,244 1011 b 1 = 0,111 0,0017 0,002 61685 b 2 0,244 0,002 0,0278 3581 ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b i KTG C ii KTG.C ii S b t 27,5467 20,41 7,6547 156,2028 12,4981 2,204 0,9217 20,41 0,0017 0,0345 0,1858 4,960 0,2842 20,41 0,0278 0,5679 0,7536 0,377
III. REGRESI NON LINEAR Regresi Kuadratik : Y = b 0 + b 1 X + b 2 X 2. Y = b 0 n + b 1 X + b 2 X 2 XY X 2 Y = b 0 X + b 1 X 2 + b 2 X 3 = b 0 X 2 + b 1 X 3 + b 2 X 4 n X X 2 b 0 X X 2 X 3 b 1 = X 4 Y XY X 2 X 3 X 2 Y b 2 ( X X ) ( b ) ( X Y )
III. REGRESI NON LINEAR b 0 n X X 2 1 Y b 1 b 2 = X X 2 X3 XY X 2 X 3 X 4 X 2 Y ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) Misal telah dilakukan sebuah penelitian tentang Pengaruh Kadar Air Gabah Terhadap Mutu Fisik Beras Giling. Salah satu respon yang diamati yaitu Persentase Butir Patah. Hasil pengamatannya disajikan pada tabel berikut :
III. REGRESI NON LINEAR Pengamatan Persentase Butir Patah : No Perlakuan Butir Patah (%) I II III IV 1 k 1 (8 %) 27,40 26,56 29,52 27,70 2 k 2 (10 %) 19,40 16,88 18,28 17,78 3 k 3 (12 %) 6,68 6,24 7,56 5,90 4 k 4 (14 %) 3,46 3,20 4,00 2,92 5 k 5 (16 %) 13,12 15,04 12,02 13,84 6 k 6 (18 %) 16,76 18,32 23,64 21,42
III. REGRESI NON LINEAR Untuk memudahkan perhitungan, taraf Faktor atau Variabel Bebas Kadar Air diubah menjadi : K i = X i (Rata-rata) 2 X i = Taraf Kadar Air Rata-rata = Rata-rata seluruh taraf Kadar Air = 13 % 2 = Selisih antar taraf Kadar Air Kadar Air ( X i ) 8 % 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % K i 2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5
III. REGRESI NON LINEAR No Y X X 2 X 3 X 4 1 27,40-2,5 6,25-15,625 39,0625 2 19,40-1,5 2,25-3,375 5,0625 6 16,76 2,5 6,25 15,625 39,0625 7 26,56-2,5 6,25-15,625 39,0625 12 18,32 2,5 6,25 15,625 39,0625 13 29,52-2,5 6,25-15,625 39,0625 18 23,64 2,5 6,25 15,625 39,0625 19 27,70-2,5 6,25-15,625 39,0625 24 21,42 2,5 6,25 15,625 39,0625
III. REGRESI NON LINEAR X = 0 X 2 = 70 X 3 = 0 X 4 = 354 Y = 357,640 XY = 111,480 X 2 Y = 1490,050 b 0 n X X 2 1 Y b 1 b 2 = X X 2 X3 XY X 2 X 3 X 4 X 2 Y ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b 0 24 0 70 1 357,640 b 1 = 0 70 0 111,480 b 2 70 0 354 1490,050
III. REGRESI NON LINEAR ( b ) ( X X ) 1 ( X Y ) b 0 0,0986 0,0000 0,0195 357,640 b 1 b 2 = 0,0000 0,0143 0,0000 111,480 0,0195 0,0000 0,0067 1490,050 b 0 6,1725 b 1 = 1,5926 b 2 2,9929 Regresi Kuadratik : Y = 6,1725 1,5926 X + 2,9929 X 2.
III. REGRESI NON LINEAR Pengujian Regresi Non Linear : X = 0 X 2 = 70 Y = 357,640 X 3 = 0 X 4 = 354 Y 2 = 6997,305 XY = 111,480 X 2 Y = 1490,050 1. FK = ( Y) 2 / n = (357,640) 2 / 24 = 5329,432 2. JKT = Y 2 FK = 6996,305 5329,432 = 1667,873 3. JKR = b 1 [ ( XY ( X)( Y)/n ] + b 2 [ ( X 2 Y ( X 2 )( Y)/n ] = 1,5926 [ ( 111,480 (0)(357,640)/24 ] + 2,9929 [ (1490,050 (70)(357,640)/24 ] = 177,540 + 1337,608 = 1515,147 4. JKG = JKT JKR = 1667,873 1515,147 = 152,725
III. REGRESI NON LINEAR No Variasi DB JK KT F F 5% 1 Regresi 2 1515,147 757,574 104,168 3,467 R (b 1 ) 1 177,540 177,540 24,412 4,325 R (b 2 ) 1 1337,608 1337,608 183,923 4,325 2 Galat 21 152,725 7,273 Total 23 1667,873 Keterangan : 1. Regresi (b 1 ) (F = 24,412) > (F 0,05 = 4,325) Signifikan 2. Regresi (b 2 ) (F = 182,923)>(F 0,05 = 4,325) Signifikan 3. R 2 = 0,9084 R = 0,9531
III. REGRESI NON LINEAR Penggunaan Metode Doolitle : Baris Matriks (X'X) Matriks b 0 b 1 b 2 (X'Y) Matriks (X'X) -1 (0) 24 0 70 357,640 1 0 0 (1) 70 0-111,480 0 1 0 (2) 354 1490,050 0 0 1 (3) 24 0 70 357,640 1 0 0 (4) 1,00 0,00 2,917 14,902 0,0417 0,0000 0,0000 (5) 70,00 0,00-111,480 0,0000 1,0000 0,0000 (6) 1,00 0,00-1,593 0,0000 0,0143 0,0000 (7) 149,333 446,933-2,9167 0,0000 1,0000 (8) 1,00 2,993-0,0195 0,0000 0,0067 Baris (3) = Baris (0) Baris (4) = Baris (3)/24 Baris (5) = (70) (0)(Baris 4) Baris (6) = Baris (5) /70 Baris (7) = (354) (70)(Baris 4) (0,00)(Baris 6) Baris (8) = Baris (7) /149,33
III. REGRESI NON LINEAR Baris Matriks (X'X) Penentuan Koefisien Regresi : Matriks b 0 b 1 b 2 (X'Y) Baris (8) 1,00 (b 2 ) = 2,993 b 2 = 2,993 Matriks (X'X) -1 (3) 24 0 70 357,640 1 0 0 (4) 1,00 0,00 2,917 14,902 0,0417 0,0000 0,0000 (5) 70,00 0,00-111,480 0,0000 1,0000 0,0000 (6) 1,00 0,00-1,593 0,0000 0,0143 0,0000 (7) 149,333 446,933-2,9167 0,0000 1,0000 (8) 1,00 2,993-0,0195 0,0000 0,0067 Baris (6) 1,00 (b 1 ) + 0,00 (b 2 ) = 1,593 b 1 = 1,593 Baris (4) 1,00 (b 0 ) + 0,00 (b 1 ) + 2,917 (b 2 ) = 14,902 b 0 = 6,173
III. REGRESI NON LINEAR Matriks (X'X) Matriks Baris Matriks (X'X) -1 b 0 b 1 b 2 (X'Y) (3) 24 0 70 357,640 1 0 0 (4) 1,00 0,00 2,917 14,902 0,0417 0,0000 0,0000 (5) 70,00 0,00-111,480 0,0000 1,0000 0,0000 (6) 1,00 0,00-1,593 0,0000 0,0143 0,0000 (7) 149,333 446,933-2,9167 0,0000 1,0000 (8) 1,00 2,993-0,0195 0,0000 0,0067 Pengujian Koefisien Regresi : Matrik (X X) 1 Baris (3), (5), (7) 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 2,9167 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 2,9167 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000 Matriks : T Matriks : T 1
III. REGRESI NON LINEAR Matriks (X'X) Matriks Baris Matriks (X'X) -1 b 0 b 1 b 2 (X'Y) (3) 24 0 70 357,640 1 0 0 (4) 1,00 0,00 2,917 14,902 0,0417 0,0000 0,0000 (5) 70,00 0,00-111,480 0,0000 1,0000 0,0000 (6) 1,00 0,00-1,593 0,0000 0,0143 0,0000 (7) 149,333 446,933-2,9167 0,0000 1,0000 (8) 1,00 2,993-0,0195 0,0000 0,0067 Pengujian Koefisien Regresi : Matrik (X X) 1 Baris (4), (6), (8) 0,0417 0,0000 0,0195 0,0000 0,0143 0,0000 0,0000 0,0000 0,0067 Matriks : t
III. REGRESI NON LINEAR 1,0000 0,0000 2,9167 0,0417 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0143 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0195 0,0000 0,0067 Matriks : T 1 Matriks : t 0,0986 0,0000 0,0195 0,0000 0,0143 0,0000 0,0195 0,0000 0,0067 Matriks : ( T 1 t ) = ( X X) 1
III. REGRESI NON LINEAR Matriks (X'X) Matriks Baris Matriks (X'X) -1 b 0 b 1 b 2 (X'Y) (3) 24 0 70 357,640 1 0 0 (4) 1,00 0,00 2,917 14,902 0,0417 0,0000 0,0000 (5) 70,00 0,00-111,480 0,0000 1,0000 0,0000 (6) 1,00 0,00-1,593 0,0000 0,0143 0,0000 (7) 149,333 446,933-2,9167 0,0000 1,0000 (8) 1,00 2,993-0,0195 0,0000 0,0067 Menghitung JKR (b 1 ) dan JKR (b 2 ) dari kolom Matrik (X Y) : 1. JKR (b 1 ) = (baris 5)(baris 6) = ( 111,480)( 1,593) = 177,540 2. JKR (b 2 ) = (baris 7)(baris 8) = (446,933)(2,993) = 1337,608
III. REGRESI NON LINEAR 0,0986 0,0000 0,0195 0,0000 0,0143 0,0000 0,0195 0,0000 0,0067 Matriks : ( T 1 t ) = ( X X) 1 b i KTG C ii KTG.C ii S b t 6,173 7,273 0,0986 0,7173 0,847 7,288-1,593 7,273 0,0143 0,1039 0,322-4,941 2,993 7,273 0,0067 0,0487 0,221 13,562