Vol. 3, No. 1, Juni 007: 7884 INVERSI DAN TITIK-TITIK HARMONIS Himmawati P.L dan Catuiyati Juusan Pendidikan Matematika FMIPA Univesitas Negei Yogyakata Abstact Given a cicle cente O and adius in R, the invesion in this cicle is the mapping t : R \{ O} R \{ O} defined by t( A) A', whee A ' lies on the staight line though O and A, and on the same side of O as A, and OA. OA'. It will be investigated the popety of invesion elated to fou hamonic points. The esult is that the coss-atio of any fou coplana points A, B, C, D is invaiant unde invesion. Hence, the invesion peseves the fou hamonic points. Keywods : invesion, coss atio, fou hamonic points. PENDAHULUAN Setiap titik di R dapat dikoespondensikan dengan suatu titik inves tehadap suatu penceminan tehadap suatu lingkaan (invesi). Selanjutnya, gais yang melalui sebaang titik dan titik invesnya tesebut memotong lingkaan invesi di dua titik. Tekait dengan empat titik tesebut dapat ditentukan suatu pebandingan ganda. Jika pebandingan angkap tesebut benilai -1, maka keempat titik tesebut meupakan empat titik hamonis. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang invesi dan sifat-sifatnya tekait dengan titik-titik hamonis. INVERSI Definisi 1 (Huggett, 004) Dibeikan lingkaan yang bepusat di titik O dan bejai-jai, O() di lingkaan ini adalah pemetaan t : R \{ O} R \{ O} yang didefinisikan oleh t( A) A' R. Invesi pada 78
Invesi dan Titik-Titik Hamonis... (Himmawati P.L.) dengan A ' teletak pada gais luus yang melalui O dan A, sepihak dengan A tehadap O, dan memenuhi OA. OA'. Selanjutnya lingkaan O() disebut lingkaan invesi, titik O disebut pusat invesi, disebut jai-jai invesi, disebut kuasa invesi, dan titik A ' disebut inves titik A tehadap O(). Invesi dengan pusat O dan kuasa 0 dinotasikan I ( O, ). Definisi di atas mengakibatkan bahwa untuk setiap titik A pada bidang selain titik O tedapat dikoespondensikan dengan tunggal suatu inves titik inves A, maka A adalah inves dai A ', dan jika A ' adalah A '. Kaena tidak ada titik yang bekoespondensi dengan pusat invesi O, maka bukan meupakan suatu tansfomasi dai himpunan yang tedii dai semua titik pada bidang. Aga invesi membentuk suatu tansfomasi, dapat dilakukan dengan dua caa. Petama, dengan mengambil R \{ O} himpunan semua titik pada bidang kecuali titik O, maka invesi meupakan suatu tansfomasi pada R R \{ O}. Kedua, dengan menambahkan pada himpunan S, suatu single ideal point at infinity Z menjadi himpunan R ' yang akan bekoenpondensi dengan pusat invesi. Untuk selanjutnya yang dimaksud invesi disini, adalah suatu tansfomasi pada tesebut. Dai pesamaan maka titik A adalah inves dai OA. OA' telihat bahwa (1) jika titik ' R ' A inves dai titik A, A ' ; () jika titik A titik inteio lingkaan, maka titik eksteio lingkaan; (3) jika titik A titik eksteio lingkaan, maka titik A ' adalah A ' titik inteio; dan (4) jika titik A adalah titik pada lingkaan invesi, maka begitu juga titik A ' (Kunkel, 003). Teoema 1 (Eves, 197) Suatu titik D di lua lingkaan invesi dan suatu titik C yang meupakan titik potong dai tali busu singgung dai titik D pada lingkaan invesi dan gais meupakan titik-titik inves. Haus dibuktikan bahwa OD. OC diametal OD 79
Vol. 3, No. 1, Juni 007: 7884 Pada gamba 1 DT adalah gais singgung segitiga OTD sehingga segitiga OTD siku siku di T. Menuut sifat tali busu singgung tegak luus gais diametal dipeoleh Bedasakan sifat segitiga siku-siku dipeoleh bahwa OD. OC OT. TC OD. Gamba 1 TITIK-TITIK HARMONIS Definisi (Eves, 197) Jika A, B, C, D empat titik belainan yang segais, maka pebandingan dai pebandingan AC CB/ AD / DB /, disimbolkan (AB,CD) dan dinamakan coss atio/double atio (pebandingan angkap) dai empat titik beuutan A, B, C, D. Dalam definisi di atas, aah dai uas gais dipehatikan. Jika haga pebandingan angkap negatif, maka salah satu dai titik dai pasangan titik A, B teletak di antaa pasangan titik C, D. Jadi pebandingan angkap dapat dituliskan juga sebagai AC / CB/ AD DB ( AB, CD) e / di mana AC, CB, AD, dan DB panjang tali busu dan e 1 atau e 1 besesuaian dengan pasangan A, B dan C, D saling memisahkan atau tidak saling memisahkan. Definisi 3 (Eves, 197) Jika A, B, C, D empat titik segais sedemikian hingga (AB,CD) = -1, maka uas gais AB dikatakan tebagi hamonis oleh C dan D, titik C dan D disebut konjugat hamonis 80
Invesi dan Titik-Titik Hamonis... (Himmawati P.L.) tehadap A dan B, dan empat titik A, B, C, D meupakan a hamonic ange atau empat titik hamonis. SIFAT-SIFAT INVERSI Selanjutnya akan dibahas bebeapa sifat invesi yang dinyatakan dalam teoemateoema beikut. Teoema Pasangan titik P, P dan Q, Q meupakan pasangan titik-titik inves tehadap lingkaan O() jika dan hanya jika P' Q' PQ OPOQ Andaikan O, P, Q tidak segais. Pasangan titik P, P dan Q, Q meupakan pasangan titik titik inves jika dan hanya jika OP'Q', maka OP. OP' OQOQ. '. Kaena OPQ sebangun dengan P' Q' PQ OQ' OP OQ' OQ OPOQ OPOQ P O 0 P Q Q Untuk kasus O, P, Q segais dibuktikan dengan mengambil OP. OP' OQ. OQ' OQ QPOP' OQOP PQ' QP. OP' OQ. P' Q' mendekati 0, atau 81
Vol. 3, No. 1, Juni 007: 7884 P' Q' ( QPOP. ') / OQ ( QPOP. '. OP) / OPOQ. ( QP. ) /( OPOQ. ) O Q P P Q Bukti selesai. Teoema 3 (AB,CD) = -1 jika hanya jika OB OC. OD dengan O titik tengah AB. Diketahui (AB,CD) = -1, akan dibuktikanob OC. OD dengan O titik tengah AB. Diketahui (AB,CD) = -1, maka Dengan demikian, AC CB AD DB. Kaena Selanjutnya, (OC-OA)/(OB-OC) = - (OD-OA)/(OB-OD) OA OB, maka (OC+OB)/(OB-OC) = - (OD+OB)/(OB-OD) (OC+OB)/(OD-OB) = - (OD+OB)/(OB-OC) OC.OD OC.OB + OB.OD - OC.OD = OB OB = OD.OB OD.OC + OB - OB.OC Jadi OB OC. OD. Bukti penyataan OB OC. OD dengan O titik tengah AB maka (AB,CD) = -1 dilakukan dengan membalik langkah-langkahnya. Teoema di atas menyatakan bahwa empat titik A, B, C, dan D meupakan empat titik hamonis jika dan hanya jika titik D adalah inves dai titik C tehadap invesi pada lingkaan invesi bepusat di titik tengah AB dan bejai-jai sifat yang meupakan akibat dai teoema di atas. 1 AB. Beikut adalah 8
Invesi dan Titik-Titik Hamonis... (Himmawati P.L.) Akibat 4 Jika C dan D titik titik inves tehadap lingkaan O(), maka (AB,CD) = -1, dengan AB diamete lingkaan O(), melalui C dan D ; sebaliknya jika (AB,CD) = -1 dengan AB suatu diamete lingkaan O(), maka C dan D titik titik inves tehadap lingkaan O(). Bedasakan uaian-uaian di atas, dapat dibuktikan salah satu sifat penting dai invesi, yaitu bahwa invesi mempetahankan pebandingan angkap, yang dinyatakan dalam teoema beikut. Teoema 5 Sebaang invesi mempetahankan pebandingan angkap dai empat titik pada suatu lingkaan yang tidak beimpit dengan pusat invesi, yaitu ( A' B', C' D') ( AB, CD) Misalkan A, B, C, D empat titik belainan pada suatu lingkaan yang tidak beimpit dengan pusat invesi. Menuut Teoema, dipeoleh A' C'. OC. OA A' C' AC OA OC AC C' B'. OC. OB C' B' CB OCOB CB A' D'. OAOD. A' D' AD OA OD AD D' B'. ODOB. D' B' DB ODOB DB. Selanjutnya, dengan mensubstitusikan keempat pesamaan di atas ke dalam pesamaan AC / CB/ AD DB ( AB, CD) / dan dengan penyedehanaan akan dipeoleh ( A' B', C' D') ( AB, CD). 83
Vol. 3, No. 1, Juni 007: 7884 Dai Teoema 5 ini, telihat bahwa invesi juga mempetahankan kehamonisan empat titik, yaitu jika empat titik meupakan empat titik hamonis, maka keempat titik invesnya juga meupakan empat titik hamonis. PENUTUP Dai uaian di atas dapat disimpulkan bahwa tedapat hubungan antaa penceminan tehadap suatu lingkaan (invesi) dan empat titik hamonis, yaitu : 1. Empat titik A, B, C, dan D meupakan empat titik hamonis jika dan hanya jika titik D adalah inves dai titik C tehadap invesi pada lingkaan invesi bepusat di titik tengah AB dan bejai-jai 1 AB.. Suatu invesi besifat mempetahankan kehamonisan empat titik, yaitu jika empat titik meupakan empat titik hamonis, maka keempat titik invesnya juga meupakan empat titik hamonis. DAFTAR PUSTAKA Alexande Bogomolny (007). Coss Ratio. http://www.cut-theknot.og/pythagoas/coss-ratio.shtml. Didownload pada 14 Mei 007. Eves, Howad. (197). A Suvey of Geomety. Boston : Allyn and Bacon. Stephen Hugget. (004). Invesive Geomety. http://homepage.mac.com/stephen_huggett/home.html. Didownload pada 6 Juli 006. Paul Kunkel (003). Invesion Geomety. whistling@whistlealley.com. Didownload pada 5 Mei 007. 84