POLA DISTRIBUSI INTERVAL DENYUT JANTUNG DENGAN MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX Herlina D Tendean ), Hanna A Parhusip ), Suryasatria Trihandaru 3), Bambang Susanto ) ) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW ) Dosen Program Studi Matematika 3) Dosen Program Studi Fisika ) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro - Salatiga 7 ) herlinadwitendean@gmail.com, ) hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 3) suryasatriya@staff.uksw.edu, ) bsusanto@gmail.com Abstrak denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. denyut jantung didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. terjadinya jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter a berada pada interval 9.737 a 373.7 dan parameter b berada pada interval. b.3 yang diperoleh dari distribusi Gamma. Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror,, Distribusi Gamma Pendahuluan Model denyut jantung yang pernah diteliti merupakan sistem persamaan tak linier yang berbentuk εx = (x 3 Tx + x ), model denyut x = x x d jantung telah diteliti dengan mengunakan teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas titik setimbangnya dan didapatkan bahwa model merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang siklus periodiknya dapat muncul dan menghilang apabila parameter divariasi dengan sifat stabilitas titik setimbang yang cenderung tidak stabil (Tendean dkk, ). Menurut (Thanom dan Robert, ) model denyut jantung yang telah diteliti belum tepat dengan data denyut jantung sehingga perlu dilakukan modifikasi. Modifikasi model yang dilakukan dengan ketegangan dalam otot pada model yang sebelumnya dianggap sebagai konstata sedangkan pada model yang baru ketegangan dijadikan sebagai parameter dalam fungsi waktu, lalu penambahan konstanta yang mempresentasikan sinyal kontrol pada pacemaker (Thanom dan Robert, ). Sedangkan pada makalah ini modifikasi akan dilakukan dengan proses fitting terhadap data denyut jantung yang telah ada. Fitting dilakukan dengan menggunakan Metode Nelder-Mead simplex dengan mengasumsikan bahwa data sebagai jumlahan pada sebuah periode gelombang dengan fungsi Gauss Model Denyut Jantung Dengan Kombinasi Fungsi Gauss denyut jantung yang diteliti merupakan data yang terdiri dari banyaknya jumlah titik-titik sampel dan selalu terjadi gelombang yang berulang-ulang. merupakan hasil pengukuran denyut jantung yang diambil selama detik. Pada awalnya dicari dahulu satu gelombang dari keseluruhan data yang dimiliki.
y (mv) y (mv) y (mv)...... R.... P T. 3 S -....3....7..9 Gambar. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang (kanan) Pada gambar terlihat titik-titik puncak maksimum lokal dan minimum lokal. Puncak-puncak tersebut mempunyai makna fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya puncak T bernilai positif apabila puncak T negatif atau terbalik maka bisa terjadi ketidaknormalan pada jantung (Azhar dan dan T sebagaimana ditunjukan pada Suyanto, 9). Berdasarkan gambar Gambar kanan. Irama jantung normal dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu irama yang terletak pada sekitar Vena Cava Superior di atrium kanan jantung. Irama jantung yang teratur yang berarti jarak antara gelombang yang relatif sama dan teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S adalah bertujuan untuk membedakan suatu irama jantung, bentuk dan durasi pada puncak merupakan pembesaran pada atrium jantung. Sedangkan pada puncak-puncak Q, R dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu terlihat bahwa posisi puncak-puncak S terhadap potensial selalu berada pada posisi negatif sedangkan untuk puncak-puncak T selalu berada pada posisi positif. yang telah diukur merupakan data untuk jantung yang sehat. Pada penelitian ini akan ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk keseluruhan data yang diukur. Untuk itu, diperlukan periode satu gelombang. Untuk menentukan periode satu gelombang maka syarat utama dari satu gelombang adalah satu gelombang harus memuat puncakpuncak irama jantung, abnormalitas konduksi. P, Q, R, S dan T. Dengan contoh Gelombang T mengambarkan bahwa satu gelombang ditunjukan pada gambar adanya kembali proses pemompaan kanan. -. Q.3. T. -. -. S -.3 -. Indeks Gambar. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur
y (mv). R.. sr Diasumsikan satu gelombang yang memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang berbentuk: y t = A i exp (t t i ) dengan error.. -. S -....3....7..9 Gambar 3. pada satu gelombang dengan letak A i, t i dan s i pada tiap puncak P, Q, R, S dan T ditentukan dengan bantuan aplikasi peakdet.m pada program Matlab R9a untuk mendapatkan hasil A i, t i dan s i pada tiap puncak P, Q, R, S dan T yang ditunjukkan pada Tabel. Tabel. Daftar hasil program peakdet.m E = Titik puncak A i t i s i y di y ti () P.9.3.3 N Q -.9..3 R.3..3 S -.337..3 T.7.7.3 Puncak-puncak pada tabel dijadikan sebagai puncak-puncak dugaan dalam menyusun fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead untuk menentukan nilai parameter A i, t i dan s i yang dapat meminimumkan nilai eror. i=p,q,r,s,t s () i dengan y t : titik-titik dugaan dengan menggunakan fungsi Gauss, y di : titik-titik pada data denyut jantung, A i : tinggi titik puncak pada gelombang pada waktu ke i, t i : waktu yang diperlukan pada saat ke i, s i : lebar setiap puncak pada waktu ke i, E : menghitung nilai eror, N : banyaknya jumlahan data. Setelah mendapatkan titik-titik puncak maksimum dan minimum dalam satu gelombang maka selanjutnya pada setiap puncak P, Q, R, S dan T dicari nilai parameter A i, t i dan s i yang akan dijadikan sebagai nilai-nilai parameter awal yang akan digunakan dalam menyusun fungsi Gauss. Puncak-puncak yang terjadi dalam satu gelombang harus memuat puncak minimum dan puncak maksimum P, Q, R, S dan T. Posisi P, Q, R, S dan T AP P sp tq ts sq tp tr AQ Q ss AR AS T tt st AT Metode Penelitian Agar satu gelombang mudah ditentukan maka posisi satu gelombang dicari berdasarkan jarak dari puncak R ke puncak R berikutnya sehingga dari keseluruhan data yang dimiliki selama detik sedangkan banyaknya titik puncak R pada keseluruhan data dengan menggunakan bantuan peakdet.m. 3
y (mv) y (mv)... R R R3..... -... -. -.... Gambar. Puncak-puncak R pada tiap gelombang (kiri) dan tiap gelombang selalu memiliki puncak P, Q, R, S dan T (kanan) Dalam keseluruhan data dalam waktu Masalah optimasi disini adalah ditentukan detik terdapat titik puncak R dengan x i yang meminimumkan xi = E i. selang waktu yang terjadi antara masing puncak R rata-rata mencapai.793 detik. Pasangan nilai parameter A i, t i dan s i dipakai untuk menentukan titik-titik dengan menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan untuk meminimumkan nilai eror E dengan menggunakan metode Nelder-Mead. Metode Nelder-Mead untuk meminimumkan fungsi tujuan Gambar (kiri) menujukan bahwa terdapat 3 gelombang dari puncak R ke puncak R berikutnya pada setiap gelombang R pasti didalamnya memuat puncak-puncak P, Q, R, S dan T dan ditiap puncak P, Q, R, S dan T terdapat A i, t i, s i. Pada gambar jarak antara R ke R adalah.3 detik dan jarak antara R ke R 3 adalah.3 detik jadi periode rata-rata.3. Dalam kasus ini dicari A p t p s p A Q t Q s Q x i = A R t R s R (3) A S t S s S A T t T s T untuk setiap gelombang ke-i dengan i =,,, n +. Jadi terdapat x, x,, xn+. Anggap bahwa E disetiap x i adalah E( xi ) yang dapat diurutkan yang memenuhi E E E n+ dimana n + adalah banyaknya titik puncak R, sedangkan n adalah banyaknya gelombang. Jadi fungsi inilah sebagai fungsi tujuan yang diminimumkan. -.... Nelder-Mead bertujuan untuk meminimumkan nilai fungsi E x untuk x R n, dimana x adalah pasangan A i, t i, s i pada setiap puncak P, Q, R, S dan T. Parameter skalar dalam metode Nelder- Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien dari refleksi ρ, ekspansi atau perluasan χ, kontraksi γ dan penyusutan σ. Parameter yang dapat digunakan dalam Nelder-Mead (Lagarias dkk, 99) ρ >, χ > ρ, < γ <, dan < σ < () Tetapi parameter χ > ρ tidak didefinisikan secara tegas, sehingga parameter yang dipakai secara umum adalah ρ =, χ =, γ = dan σ = () Variasi parameter (ρ, χ, γ, σ) dilakukan untuk dimensi ke m (Gao dan Han, ) ρ =, χ = +, γ =.7 m m dan σ = () m Diasumsikan bahwa parameter pada persamaan () merupakan kondisi untuk keadaan satu dimensi sedangkan untuk parameter () dapat digunakan untuk analisis dua dimensi. Pada penelitian ini parameter pada persamaan () juga masih digunakan. Satu Iterasi dalam Metode Nelder-Mead. Urutan Urutakan puncak n + untuk memenuhi
E (k) E (k) E n+ (k) dengan menggunakan aturan pada langkah selanjutnya.. Mencerminkan Menghitung titik-titik hasil pencerminan dari x r = x + ρ x x n+ (7) dengan x x = n i= Titik tengah terbaik terletak pada n kecuali x n+. Selanjutnya E r = E x r. Jika E E r < E n, maka titik refleksi x r diterima sehingga iterasi diakhiri dan x r dipilih sebagai parameter-parameter yang baru. Apabila tidak lanjutkan kelangkah perluasan 3. 3. Memperluas / ekspansi Jika E r < E atau E > E r hitung nilai titik perluasan atau ekspansi x e yaitu n x e = x + χ x r x = x + ρχ(x x n+ ) () Selanjutnya evaluasi E e = E(x e ), jika E e < E r maka langkah ini diterima dan iterasi dihentikan. Apabila E e E r,maka x r diterima dan iterasi diakhiri. Kontraksi Apabila E r E n lakukan proses kontranksi antara x, x n+ dan x r. a. Tahap satu Jika E n E r < E n+ apabila x r lebih baik daripada x n+, kontraksi yang terjadi pada tahap satu dengan menghitung x c = x + γ x r x = x + γρ x x n+ (9) Evaluasi E c = E x c, maka x c diterima dan hentikan iterasi sehingga x c dipakai sebagai parameter baru, apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah b. Tahap dua Jika E n E n+, lakukan kontraksi pada tahap dua dengan menhitung x cc = x + γ x x n+ () Evaluasi E cc = E x cc, jika E cc E n+ maka E cc diterima dan hentikan iterasi sehingga x cc digunakan sebagai parameter baru. Apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah. Langkah terakhir Langkah terakhir apabila langkah sampai tidak dipenuhi yaitu dengan menghitung E pada saat titik ke n yaitu v i = x + σ x i x () dengan i =,,, n +. Titik puncak untuk iterasi selanjutnya terdiri dari x, v i,, v n+ Dalam kasus ini x merupakan pasangan data P, Q, R, S dan T yang memuat A i, t i, s i yang terdapat pada puncak maksimum dan minimum yang dijadikan sebagai titik dugaan awal x () pada gelombang pertama dalam menggunakan metode Nelder-Mead. x () =..3.7.7..7.3..7.9..7.9.7.7 Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q, R, S dan T untuk langkah awal dicari terlebih dahulu y t yang dijadikan sebagai titik-titik dugaan dari parameter-parameter A i, t i, s i pada puncak-puncak P, Q, R, S dan T dengan menyusun pada persamaan () pada satu gelombang yang pertama y t = A P exp (t t P ) S P + A Q exp (t t Q ) S Q + A R exp (t t R ) S + A S exp (t t ) S R S + S A T exp (t t T ) S T Setelah mendapatkan titik-titik pada y t selanjutnya akan dihitung nilai eror antara pendekatan y t dengan y d dengan menggunakan persamaan () didapatkan nilai E untuk gelombang yang pertama.3%.
y (mv)..... -. -....3....7..9 Pada Gambar terlihat pendekatan antara y t dengan y d dengan bantuan fminsearch dalam fungsi matlab dimana y t pada gambar adalah garis lurus yang merupakan pendekatan dengan menggunakan parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan T pada data dan titik-titik pada gambar merupakan y d data pada gelombang yang pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch pada matlab didapatkan nilai pendekatan antara data dengan dugaan yang terdekat dan didapatkan nilai parameter A i, t i, s i yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S dan T Tabel. Parameter A i, t i, s i yang baru pada gelombang pertama Titik A i t i s i puncak P.9.37.9 Q.33.37. R.3..9 S.9.33.37 T..73. Parameter baru yang didapatkan merupakan parameter yang berdasarkan metode Nelder-Mead yang meminimumkan nilai eror. Sedangkan metode Nelder-Mead dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss pada keseluruhan gelombang yang terjadi Gambar. Pendekatan antara y t dengan y d adalah pendekatan Gauss untuk keseluruhan gelombang semakin bergeser karena parameter A i, t i dan s i pada keseluruhan gelombang hampir sama, dianggap bahwa satu gelombang pada semua gelombang memiliki periode dan jarak yang sama. Distribusi Gamma untuk frekuensi waktu antar puncak ke puncak Langkah selanjutnya dicari jarak antara puncak R ke puncak R berikutnya pada keseluruhan gelombang dalam waktu detik. Laju denyut jantung dengan distribusi amplitudo denyut jantung yang pernah diamati antara orang sakit dan orang sehat dengan menggunakan analisis wavelet yang menunjukan bahwa perbedaan pada time series interval denyut jantung pada orang dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak terletak pada variasi distribusi antar gelombang, karena variasi pola variabilitas denyut jantung selama sakit dapat mirip dengan pada saat sehat(ivanov dkk, 99). Pada makalah ini distribusi amplitudo diamati dengan memperhatikan frekuensi dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q, R-R, S-S dan T-T).
..7.7.79.77.79..3.7.7.9 Density.9.77.7.7.7.7.3..7.97.9 y (detik).9.9...7 3 3.7 Gambar. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi munculnya t pada gelombang Setelah semua puncak-punck R pada yang diduga pada gelombang denyut keseluruhan data didapatkan maka dicari jantung dimana terdapat data x = jarak antar masing-masing puncak R ke [x, x,, x n ] dengan x adalah jarak antar puncak R berikutnya terdapat puncak R masing-masing puncak data yang dengan masing-masing jarak antar puncak R ada titik. Dengan variansi pada berdistribusi Gamma dengan parameter a dan b maka fungsi densitasnya atau fungsi masing-masing jarak antar puncak.7. kepadatan terjadinya peluang dapat Dari semua jarak antar R yang dijadikan sebagai jarak antar gelombang pada data, dirumuskan sebagai p x a, b = Ga x; a, b ditunjukan rata-rata gelombang berkisar.793. yang muncul pada = xa Γ(a)b gambar (kanan) yaitu jarak waktu yang b diperlukan antara puncak R ke puncak R dengan memperhatikan histogram frekuensi Γ α = x α e x dx yang muncul pada t antar puncak untuk dengan x >, a > dan b >. jantung yang sehat diduga sebagai distribusi Pada tiap puncak P, Q, R, S dan T Gamma. Distribusi Gamma pernah masing-masing dicari jarak antar puncak digunakan untuk memprediksi periode yang kemudian dicari frekuensi yang gelombang air di pantai barat daya India muncul t pada tiap puncak. (Satheesh dkk, ). Distribusi Gamma Tabel 3. Frekunsi terjadinya t pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma Puncak Histogram () Hasil fitting distribusi Gamma P-P. Indeks 3 3 puncak P fitting.7.7...9 7
..73.7.79.77.79....7.9 Density.9.77.7.7.7.7.3..7.97.9 Density.9.77.7.7.7.7.3..7.97.9 Density..7.7.7.77....7.9.9 Density Q-Q 3 3 Puncak Q fitting R-R 3 3.7.7...9 Puncak R fitting S-S 3 3.7.7...9 Puncak S fitting T-T 3 3.7.7...9 Puncak T fitting Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab R9a dfittool maka fitting data yang.7.7...9 diduga berdistribusi Gamma dilakukan dengan fungsi densitas atau fungsi
kepadatan terjadinya peluang pada tiap-tiap t pada masing-masing puncak pada gelombang denyut jantung dan fitting hasil distribusi Gamma terlihat hampir menyerupai data frekuensi tiap puncak. Tabel. Parameter a dan b yang merupakan hasil fitting distribusi Gamma Puncak a Standar eror b Standar eror P-P 33.77 37.73.3. Q-Q 9.737 3.77.9.3 R-R 3.399.93..3 S-S 373.7.773..3 T-T 3.99 39.33.. Parameter a dan b merupakan hasil fitting distribusi Gamma terlihat bahwa data frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data denyut jantung merupakan distribusi Gamma. Parameter a berada pada interval 9.737 a 373.7 dan parameter b berada pada interval. b.3. Sehingga dapat dikatakan bahwa data denyut jantung berdistribusi Gamma dengan a dan b memiliki interval yang tidak terlalu jauh dan histogram yang terjadi dengan fungsi kepadatan peluang hampir sama. Kesimpulan denyut jantung yang telah diukur merupakan data periodik yang merupakan fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead maka diperoleh parameterparameter pada data yang memenuhi fungsi Gauss yang meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss. Nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss adalah.3%. pada tiap puncak yang dalam denyut jantung yang diukur merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter a berada pada interval 9.737 a 373.7 dan parameter b berada pada interval. b.3. Saran Perlu adanya data jantung untuk orang yang tidak sehat untuk dapat mengetahui perbedaan puncak S dan T antara orang yang sehat dengan yang tidak sehat lalu t frekuensi antar puncak berdistribusi Gamma atau tidak. Ucapan Terima Kasih Terimakasih kepada sdr. Gill Gaspar Lobo Pinto atas data denyut jantung yang telah diberikan sehingga dapat digunakan untuk penelitian dalam makalah ini. Daftar Pustaka []. Lagarias. J. C, J. A. Reeds, M. H. Wright dan P. E. Wright, Convergence Properties Of The Dimension Nelder-Mead Simplex Method In Low Dimension, Siam J. Optim, vol. 9, no. pp -7, 99. []. A. N. Azhar dan Suyanto, Studi Identifikasi Sinyal ECG Irama Myocardial Ischemia Dengan Pendekatan Fuzzy Logic, Juti, vol. 7, no., pp 93-, 9. [3]. Gao, Funchang dan Lixing Han, Implementing The Nelder-Mead Simplex Algorithm With Adaptive Parameters. Springer Science and Business Media,. []. Tendean, Herlina Dwi, Hanna. A. Parhusip dan Bambang Susanto, Analisis Model denyut Jantung Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika Peran Matematika dan Pendidikan Matematika sebagai solusi Problematika Pada Abad ke-, pp -7,, ISBN : 97-979-773-7-. []. Ivanov. P.Ch, M.G. Rosenblum, C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin, H.E. Stanley dan A.L Goldberger, Scaling and Universality in Heart Rate Variability Distribution, Elsevier. Physica A 9 pp 7-93, 99. []. Thanom, Witt dan Robert. N. K. Loh, Nonlinier Control of Heartbeat Models. Systemic, Cybernetics and Informatics, vol. 9, no., pp -7,, ISSN : 9-. [7]. Satheesh. S. P, V. K. Praveen, V. Jagadish Kumar, G. Muraleedhran dan P. G. Kurup, Weibul and Gamma distribution for Wave Parameter Predictions. J Ind 9
Geophys Union, vol. 9, no., pp -,.