ESTIMASI VOLATILITY (σ) DARI MODEL AR(p) MENGGUNAKAN METODE MARKOV CHAIN MONTE CARLO (MCMC)

Transkripsi

1 ESTIMASI VOLATILITY (σ) DARI MODEL AR(p) MENGGUNAKAN METODE MARKOV CHAIN MONTE CARLO (MCMC) Radite Astana Murti 1), Bambang Susanto 2), dan Hanna Arini Parhusip 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3) Dosen Program Studi Matematika 1) 2) 3) Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro Salatiga PENDAHULUAN Saham adalah satuan nilai dalam intrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Harga saham mengalami perubahan naik turun dari satu waktu ke waktu yang lain. Perubahan harga saham tergantung pada tinggi rendahnya permintaan dan penawaran. Apabila suatu saham mengalami kelebihan permintaan, maka harga saham akan naik. Sebaliknya, apabila kelebihan penawaran, maka harga saham akan turun (web1). Volatility saham merupakan standart deviasi untuk perubahan harga saham, (web 2)dengan volatility investor dapat mengetahui perubahan harga saham. Dan dengan mengetahui harga saham, investor dapat menentukan, kapan menjual, membeli atau menahan investasinya.estimasi volatility, dilakukan menggunakan Markov 301 Chain Monte Carlo (MCMC) dengan model AR(p) untuk return harga saham. Data yang digunakan dari PT. Bank Rakyat Indonesia BRI yang diunduh dari website yahoo finance. DASAR TEORI MODEL HARGA SAHAM Model harga saham dipengaruhi oleh keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan pengaruh ini dapat diartikan perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov merupakan proses stokastik dimana harga saham saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. (Shandy,2012) Pada makalah ini return harga saham dimodelkan sebagai Logaritma dari harga

2 saham penutupan pada saat ke-t Return :. Bentuk Dari persamaan (4) karena diminimumkan, maka terdapat persyaratan. sebagai berikut : (1) Dengan T = Saat pengambilan terakhir data Harga Saham Penutupan (Tsay,2010) Karena pergerakan harga saham tidak dapat diprediksi. Maka diperlukan model agar pergerakan harga saham dapat diprediksi. Selanjutnya akan dijelaskan tentang model Autoregressive (p). Model Autoregressive (p) AR (p) Model (AR) autoregressive adalah suatu model yang sering digunakan untuk memprediksi output dari sebuah system yang didasarkan pada output sebelumnya. (web 3) Bentuk umum model autoregressive (p) sebagai berikut: (2) adalah parameter dari model, dan ε t adalah white noise. (Tsay,2010) Menentukan nilai (p) Terdapat beberapa pendekatan umum yang tersedia untuk menentukan nilai p. Dalam makalah ini digunakan pendekatan informasi kriteria. Kususnya Akaike Information Criterion (AIC). Pendekatan informasi kriteria berdasarkan likelihood. sbb: (5) (3) dimana fungsi likelihood dievaluasi dengan estimasi maksimum likelihood dan T adalah ukuran sampel. Selanjutnya nilai p dipilih yang memberikan nilai AIC terkecil. (Tsay,2010) Menentukan nilai awal parameter α dan σ Nilai awal parameter ditentukan dari model return harian AR(p) mengunakan fungsi kuadrat terkecil. Fungsi sebagai berikut : (4) 302 Setelah nilai awal parameter yang akan diestimasi diperoleh. Estimasi dilakukan dengan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Markov Chain Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan sampel titik yang ditetapkan oleh distribusi posterior gabungan. Secara umum untuk menghitung distribusi posterior gabungan melibatkan gabungan distribusi prior untuk parameter-

3 paraneter yang belum diketahui, dan sulit untuk dipecahkan. Namun, dengan menggunakan distribusi posterior bersyarat, untuk parameter yang belum diketahui dapat diestimasi dengan mudah. (William,2009) Model Bayesian Dalam pendekatan Bayesian. Parameter yang akan diestimasi harus memiliki distribusi. Distribusi ini disebut distribusi prior. Distribusi prior biasanya ditentukan oleh para ahli atau ditentukan oleh peneliti (Koop,2003). Berikut distribusi prior untuk setiap parameter yang akan diestimasi : Jika distribusi prior untuk parameter :,, dan Dengan adalah penggerak parameter prior dan. karena adalah likelihood dari, berdistribusi normal karena pada model AR(p) terdapat maka dan. Distribusi prior diatas diasumsikan independen satu sama lain. Maka diperoleh Langkah 1 : α dan Gibbs Sampling Gibbs Sampling adalah prosedur dimana nilai baru atau nilai awal dari parameter yang akan diestimasi digunakan untuk menghasilkan nilai parameter selanjutnya. Gibbs Sampling diterapkan ketika distribusi posterior bersyarat diketahui. Distribusi posterior bersyarat digunakan untuk menghasilkan parameter acak yang dapat ditentukan mean atau rata-ratanya untuk menghasilkan integrasi Monte Carlo. Gibbs Sampling bekerja dengan mensimulasi nilai baru untuk setiap parameter selanjutnya, simulasi dilakukan dari distribusi posterior lengkap bersyarat. (William,2009) Penentuan Distribusi Posterior Bersyarat Distribusi posterior bersyarat diperoleh dari distribusi gabungan. Dimisalkan:,, = distribusi gamma. Bentuk Distribusi Gabungan : Diperoleh : 303

4 Maka : Langkah 2 : h Menggunakan rumus Akaike Information Criterion (AIC) pada persamaan (3) diperoleh nilai (p) berdasarkan data saham penutupan PT Bank Rakyat Indonesia yang diambil pada tanggal 1 Maret 2011 sampai tanggal 1 Maret Data ditunjukan oleh Gambar 1. Return dari harga saham penutupan harian PT. Bank Rakyat Indonesia. ditunjukkan Gambar 2. yang merupakan selisih dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t Sehingga didapat distribusi posterior bersyarat : Algoritma Gibbs Sampling Diasumsikan nilai awal untuk menjadi Gibbs Sampling berjalan bedasarkan distribusi posterior bersyarat. Sebagai berikut : 1. Menarik sempel acak dari 2. Menarik sempel acak dari 3. Menarik sempel acak dari 4. Menarik sampel acak dari Proses ini berulang menggunakan set parameter yang sudah dihasilkan hingga menghasilkan set parameter berikutnya, hingga membentuk rantai. Rantai yang dihasilkan dari prosedur sampling dikenal sebagai rantai markov, karena setiap nilai baru yang dihasilkan untuk parameter bergantung pada parameter sebelumnya (William,2009). Dalam Algoritma Gibbs Sampling untuk menghasilkan Gibbs Sampling dilakukan pembuangan data secara acak yang sering disebut burn-in (Nugroho, -) harga saham Return harga saham waktu Gambar 1. Harga Saham Penutupan PT. Bank Rakyat Indonesia waktu (t) Gambar 2. Return Harga Saham Daftar nilai p ditunjukkan pada Tabel 1. P AI C ANALISIS DAN PEMBAHASAN Menentukan Nilai (p)

5 Selanjutnya dipilih nilai p=5 karena nilai AIC terkecil. Sehingga bentuk model AR(p) yang digunakan adalah Dengan t = p+1 = 6 Model AR(p) menjadi Menentukan Nilai Awal parameter α dan σ Setelah didapat nilai (p) untuk model AR(p), selanjutnya ditentukan nilai awal untuk parameter-parameter yang akan diestimasi, penentuan menggunakan fungsi kuadrat terkecil dengan nilai p=5 dari persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai awal untuk setiap parameter, yang ditunjukan pada Tabel 2. Table 2. Daftar nilai awal untuk setiap parameter dengan t=0 sampai t=100 ditunjukan Tabel 3 dan Gambar 4. Return harga saham Waktu Gambar 4. Mean dan Variansi Gibbs Sampling. Tabel 3. Daftar estimasi untuk setiap parameter pada Mean dan Variansi Parameter = Variansi = Mean Mean Variansi Parameter Nilai Hasil parameter yang diperoleh dari Gibbs Samling di pengaruhi oleh nilai awal parameter dan input nilai parameter distribusi prior. Sejauh ini parameter yang diperoleh belum dijamin baik tidaknya. Karena belum dilakukan Uji untuk parameter yang diperoleh. Return harga saham saham waktu Gambar 3. AR(5) dan Return Harga Saham = AR(5) = Return harga Estimasi Parameter Estimasi parameter diperoleh dari mean dan variansi dari algoritma Gibbs Sampling, KESIMPULAN Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan estimasi parameter α dan σ (volatility) dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. Bank Rakyat Indonesia BRI. pada tanggal 1 Maret 2011 sampai 1 Maret Metode yang digunakan adalah Metode Markov Chain Monte Carlo dengan pendekatan Gibbs Sampling. Diperoleh hasil Mean dan Variansi dari setiap pamaneter. Hasil ini dipengaruhi oleh model Return yang digunakan dan nilai awal untuk setiap 305

6 parameter pada model, serta parameter dari distribusi prior. Untuk paper selanjutnya akan dibahas tentang Uji parameter untuk hasil Gibbs Sampling. UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih ditujukan kepada : Didit Budi Nugroho untuk informasi literatur, bimbingan tentang makalah ini. DAFTAR PUSTAKA William, B. J., 2009, MCMC Estimation in MLwiN versi Bristol : University of Bristol. Koop, G., 2003, Bayesian Econometrics, Department of Economics, University of Glasgow. Nugroho, D. B, Morimoto, T Comparison of Griddy Gibbs and Metropolis- Hastings Sampler for Estimation of the Standard LNSV. Department of Mathematical Sciences, Kwansei Gakuin University. Nugroho, D. B, _.Gibbs Sampler for A Sample from A Single Population, _. Sandhy, K. A Perhitungan Harga Opsi Eropa menggunakan Metode Gerak Brown Geometri, Skripsi. Fakultas Sains dan Matematika. Universitas Kristen Satya Wacana. Tsay, Ruey S. 2010,Analysis od financial Time Series. Chicago : The University of Chicago. PUSTAKA WEB Web 1 : Saham (diakses pada 15 Juni 2012) Web 2 : Volatility (diakses pada 15 Juni 2012) Web 3 : Autoregressive (diakses pada 2 Juli 2012) 306

7 307