Konsep yng erkitn dengn : www.ujinnsionl.we.id Ringksn Teori Ujin Nsionl 011 Sekolh Menengh Ats / Mdrsh Aliyh IPA SMA / MA IPA Mt Peljrn : Mtemtik Brisn dn Deret = U = S 1 1 U n = S n S n1 untuk n =, 3, 4, Ciri risn : Selisih du suku yng erurutn konstn U n U n1 = konstn, dengn n =, 3, 4, Nili konstn ini dinotsikn dengn (ed). = suku pertm risn ; = ed risn Brisnny:, +, +, + 3,, + (n 1), Rumus risn : U n = + (n 1), dengn n = 1,, 3, Rumus Jumlh n suku pertm risn ritmtik ( S n ) 1. S n = 1 n ( + (n 1) ). S n = 1 n ( + U n ) 3. S n = n U t, dimn nyk suku ( c : n ) gnjil dn U t suku tengh tu U t = 1 ( + U n ) U n ritmtik dpt ditulis segi fungsi linier dri n, yitu U n = n + c ; = ed, c sutu konstnt S n ritmtik dpt ditulis segi fungsi kudrt tnp konstnt tetp dri n, yitu S n = n + d n ; = ed, d sutu konstnt Ciri risn : Hsil gi du suku yng erurutn konstn Un = konstn, dengn n =, 3, 4, Un1 Nili konstn ini isny dinotsikn dengn r (rsio). Rumus risn : U n = r n 1, dengn n = 1,, 3, = suku pertm risn dn r = rsio risn Rumus Jumlh n suku pertm risn ritmtik ( S n ) S n = rn 1 tu S n = 1 r r n 1 r 1 Dpt ditulis S n = d d n r ; d sutu konstnt, r = rsio risn Notsi : S = lim = U + U + U + U + 1 3 4 n Ad du kemungkinn hsil dri S, yitu Untuk r > 1, erlku Untuk r < 1, erlku S = ± S = 1 r diseut deret divergen diseut deret konvergen www.ujinnsionl.we.id Syrt jumlh tk hingg suku konvergen dlh r < 1
www.ujinnsionl.we.id Persmn kudrt, Bentuk umum persmn diwh ini diseut persmn kudrt. x + x + c = 0 dengn,,c rel dn 0 Penyelesin sutu persmn diseut jug dengn kr. Ad 3 cr mencri kr persmn kudrt, yitu dengn memfktorkn, dengn melengkpi kudrt sempurn dri entuk umum dn dengn rumus c. Persisny cr rumus c dlh x 1, = ± D x1 dn x kr x + x + c = 0 D = 4c D diseut diskriminn SIFAT OPERASI AKAR Sift jumlh x + x = 1 Sift kli c x1.x = Sift pengurngn x x = 1 ± Beerp entuk rumus yng dinytkn dengn sift dits D 1. Jumlh kudrt kr-kr x 1 + x = (x 1 + x ) x 1 x. Jumlh pngkt tig kr-kr x 1 3 + x 3 = (x 1 + x ) 3 3x 1 x (x 1 + x ) www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id 3. kudrt selisih kr-kr (x 1 x ) = D (x 1 x ) = (x 1 + x ) 4x 1 x 4. selisih kudrt kr-kr x 1 x = (x 1 + x ) (x 1 x ) 5. jumlh kelikn kr-kr x 1 + x x x 1 + x 1 1 = x 1 x1, = ± D D 0 Kedu kr rel D < 0 Kedu kr tidk rel D = 0 Akr kemr D > 0 Kedu kr rel ered Kedu krny rel positif, jik 1. D 0. x 1 + x > 0 3. x 1 x > 0 Kedu krny rel negtif, jik 1. D 0. x 1 + x < 0 3. x 1 x > 0 Kedu kr ered tnd, jik 1. D > 0. x 1 x < 0 Akr erlwnn tnd ( c x 1 = x ) x 1 + x = 0 = 0 www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id Akr erkelikn ( c x 1 = 1 ) x 1 x = 1 c = 1 x Kedu kr rsionl D = k dimn,, c dn k ilngn rsionl. Menyusun persmn kudrt ru Persmn kudrt dengn kr-kr z 1 dn z dlh x ( z 1 + z ) x + z 1 z = 0 Mtriks, Bentuk umum sutu mtriks dlh : 11 1 :::: 1n A = 1 :::: n :: :: :::: :: m1 m :::: mn Mtriks A dits memut m ris dn n kolom, diseut erordo m x n. Trnspos sutu mtriks Trnspose sutu mtriks A ditulis A t dlh mtriks dengn menukr elemen-elemen pd ris A dengn elemen-elemen pd kolomny Kesmn du mtriks A = B 1. Ordo A = Ordo B. elemen-elemen yng seletk niliny Opersi Jumlh C = A + B 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B. c i,j = i,j + i,j ; i ris dn j kolom Sift opersi penjumlhn 1. Komuttif : A + B = B + A. Asositif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ad mtriks 0 sehingg A + 0 = 0 + A = A 4. Ad mtriks A sehingg A + (A) = 0 5. (A+ B) t = A t + B t Definisi A B = A + (B) Cttn Mtriks nol dlh mtriks yng semu elemenny 0. www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id Mtriks A diperoleh dengn menglikn setip elemen A dengn 1. Perklin dengn konstnt C = k A 1. k ilngn rel, A dn C mtriks erordo sm. c i,j = k i,j ; i ris dn j kolom Sift perklin dengn konstnt p dn q ilngn rel, A dn B mtriks, mk 1. (p + q) A = p A + q A. p ( A + B) = p A + p B 3. p (q A ) = ( p q) A Opersi Kli C = A B 1. C m x n = Amxp Bpxn. = + + + cij i1 1 j i j ip pj Sift-sift opersi kli 1. Tidk komuttif: A B B A. Asositif: ( A B ) C = A (B C) 3. Distriutif A (B + C) = A B + AC 4. Ad I mtriks Identits sehingg A I = I A = A 5. Jik A B = 0 mk elum tentu A = 0 tu B = 0 6. Jik A B = A C mk elum tentu B = C 7. ( A. B ) t = B t A t Cttn Mtriks Identits dlh mtriks ordo n x n (tu ujursngkr) yng semu elemen digonl 11 = = = nn = 1 dn elemen linny nol Determinn Determinn mtriks A ditulis segi det(a) tu A. 1. A = 11 1 A = 11 1 1 1 11 1 31 1 13 3 3 33. A = A = Cr lin dlh dengn metode Sorrus 11 1 13 11 1 A = 1 3 1 31 3 33 31 3 11 3 3 1 3 1 1 + 13 33 31 33 31 3 Sift = ( 11 33 + 1 3 31 + 13 1 3 ) ( 11 33 + 1 3 31 + 13 1 3 ) www.ujinnsionl.we.id
1. det (A B) = det(a) det (B). det (A + B) det(a) + det(b) 3. A ordo nxn det(k A) = k n det(a) 4. det (A t ) = det(a) det ( A 1 ) = 1 det A Invers Mtriks Invers dri mtriks A ditulis A 1 dn didefinisikn segi erikut A 1 invers A 1. A mtriks ordo n x n. A A 1 = A 1 A = I A = A 1 = 1 d c d A c Sift Invers mtriks 1. A = B 1 B = A 1. (A 1 ) 1 = A 3. (A B ) 1 = B 1 A 1 4. A B = C A = C B 1 5. A B = C B = A 1 C Ketig klimt erikut mempunyi pengertin sm 1. A singulr. A tidk puny invers 3. det A = 0 Vektor, Vektor dlh esrn yng mempunyi rh. Dilukiskn segi pnh. www.ujinnsionl.we.id Vektor dengn titik pngkl A( x, y, z ) dn titik ujung B( x, y, z ) dinotsikn dengn x x B ( x, y, z ) AB. AB = y y z z A( x, y, z ) cr menuliskn vektor, yitu 1 = = ( 1,, 3 ) = 1 î + ĵ + 3 kˆ 3 Mislkn = (1,, 3 ) Notsi : (c pnjng vektor ) Definisi : = 1 + + 3 www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id Vektor dengn titik pngkl O(0, 0, 0) diseut vektor posisi Perhtikn gmr z A = OA dlh vektor posisi titik A B = OB dlh vektor posisi titik B O y Mk AB = x Ciri vektor dlh pnjng dn rh vektor terseut. Seuh vektor tidk tergntung pngkl dn ujungny, oleh digeser selm tidk meruh rh dn pnjngny ρ = = ρ ρ ρ ρ ρ rh dn rh sm opersi pd vektor Secr nlitik (ljr) Mislkn = (1,, 3 ), = (1,, 3 ), k ilngn rel Mk k + = (1 + 1, +, 3 + 3 ) = (k 1, k, k 3 ) opersi pd vektor Secr geometri + Aturn Jjrn Genjng Titik pngkl dn hrus sm. Lukiskn jjrn genjng. + dlh vektor digonl. A t u r n S e g i t i g Ujung menjdi pngkl + = PQ + QR = PR P + R Q Berikut ini dlh sift-sift penjumlhn vektor 1. Komuttif : + = +. Assositif: ( + ) + C = + ( + C ) 3. Ad unsur identits yitu = (0, 0, 0) sehingg + 0 0 = 0 + = 4. Ad vektor sehingg + ( ) = 0 Vektor 0 dpt dilukiskn segi seuh titik. Vektor 0 tidk mempunyi rh. Sttistik, Ukurn Pemustn x i 1. Rt-rt (Men) x = n. Medin = nili tengh setelh dt diurutkn 3. Modus = nili yng pling sering muncul www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id 4. Kurtil = nili perempt setelh dt diurutkn Q 1 = kurtil wh Q = medin Q 3 = kurtil ts Jik seluruh dt dikli dengn n mk ukurn pemustn kn dikli n Jik seluruh dt digi dengn n mk ukurn pemustn kn digi n Jik seluruh dt ditmh dengn n mk ukurn pemustn kn ditmh n Jik seluruh dt dikurng dengn n mk ukurn pemustn kn dikurng n Ukurn Penyern 1. Jngkun = dt teresr dt terkecil x i x. simpngn rt-rt = n (x i x) 3. simpngn ku = n 4. jngkun kurtil = Q 3 Q 1 5. simpngn kurtil = 1 ( Q 3 Q 1 ) Jik seluruh dt dikli dengn n mk ukurn penyern kn dikli n Jik seluruh dt digi dengn n mk ukurn penyern kn digi n Jik seluruh dt ditmh dengn n mk ukurn penyern tidk eruh Jik seluruh dt dikurng dengn n mk ukurn penyern tidk eruh Dt Berkelompok fi.x i = = + fi.d i x xs f f d1 Modus T I d1 d = + + Medin = T Q = T Q 1 3 = T + + Limit 1 4 3 4 + 1 n f f Q 1 n f f k n f f Q 3 k M k www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id lim x f(x) = L rtiny nili f(x) kn mendekti L untuk nili x mendekti. Fungsi f(x) kontinu di x = jik lim x f(x) = f() Berikut sedikit ilustrsi tentng mslh limit dn kekontinun sutu fungsi. Bis kit liht, nili f(x) elum tentu sm dengn nili f(). x Lim L L Lim f(x) = L x f() tidk terdefinisi f(x) tidk kontinu di Lim f(x) = L x f() = L f(x) kontinu di Lim f(x) tidk d x f() tidk terdefinisi f(x) tidk kontinu di Opersi pd limit 1. Lim [ f(x) + g(x) ] = Lim f(x) + Lim g(x) 4. Lim [ f(x) g(x) ] = Lim f(x) Lim g(x) x x x x x x Limf(x) f(x). Lim [ f(x) g(x) ] = Lim f(x) Lim g(x) 5. Lim = x, dengn x x x x g(x) Limg(x) Lim g(x) 0 x x 3. Lim [ C f(x) ] = C Lim f(x), C konstnt 6. Lim [ f(x) ] n n x x x = [ Lim f(x)] x Bentuk tk tentu Bentuk 00,,, 0 Limit entuk 0 0 Bentuk cr Lim x f(x) g(x) Limit entuk dimn f() = 0 dn g() = 0 deseut entuk 00. Bentuk ini diselesikn dengn Metode pencoretn: f(x) dn g(x) kn mempunyi fktor yng sm, entuk ini diselesikn dengn pencoretn fktor yng sm terseut. Metode L hopitl lim x Limit entuk Bentuk umum : Lim (x) x Cr penyelesin : n nx m mx f g(x) lim x g(x) + + f (x) entuk n 1 n 1x +... + 0 = m 1 m 1x +... + 0 0 mk 0 lim f(x) x g(x) = lim f (x) x g (x) n Untuk n = m n 0 Untuk n < m Untuk n > m www.ujinnsionl.we.id
www.ujinnsionl.we.id Klikn dengn entuk sekwn (Bc : f (x) + g(x) ) Lim f(x) g(x) f(x) + g(x) = x f(x) + g(x) Lim x f(x) g(x) f(x) + g(x) menjdi entuk. Selesikn (Liht seelumny) Lim x 1. x p + x c x + px q = 1 + + untuk = 1 =. untuk 1 > 3. untuk 1 < p Lim n n n x + x 1 +... n n n x + px 1 +... = x n n n 1 Limit fungsi trigonometri Untuk ξ 0 Nili dri sin ξ ξ sec ξ 1 + 1 ξ tn ξ sin ξ tn ξ ξ cos ξ 1 1 ξ 1 ξ 3 www.ujinnsionl.we.id