The Rank Plus Nullity Theorem L(V,W) 1) Sembarang komplemen dari ker () adalah isomorphik dengan im( ), 2) The rank plus nullity Theorem dim(ker () )+dim(im () ) = dim(v) Teorema 2.8. Misal atau rk() + null( ) = dim(v) Bukti: Misal L(V,W). 1.a).Sembarang subruang dari V mempunyai komplemen, sedangkan ker( ) adalah subruang dari V, jadi kita punya V = ker () ker( )...(i) dimana ker () adalah komplemen dari ker () di V. Sehingga berdasarkan teorema 1.14 diperoleh : dim(v) = dim(ker () ) + dim(ker () ) Selanjutnya pembatasan pada domain ker( ) saja dan didefinisikan sebagai : ( ) W : ker b). Selanjutnya akan ditunjukkan im( C ) = im( ) Akan ditunjukkan bahwa im ( C ) im( ) Karena C adalah transformasi linier juga tetapi dengan melakukan pembatasan domain hanya ker( ) C, maka im ( C ) im( ) Akan ditunjukkan im( ) im ( C ) misal ambil sembarang vim( ), karena v = u+w untuk uker( ) dan w ker( ), maka v = u + w = w= wim( Maka im( ) im ( C ) Jadi didapat im( ) = im( ), ).Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa ker maka akan ditunjukkan : dan surjektif. Akan ditunjukkan C adalah injektif. ) karena w ker( ) ) ( isomorphik dengan im( ), ker ( ) im( ), adalah pemetaan yang injetif
Karena (i), maka ker( )ker () ={0} ker ( ) berdasarkan teorema 2.3.2, = ker ( ) ker( ) ={0} d).akan ditunjukkan adalah surjektif. adalah injektif ker ( ) ={0} jadi injektif. Berdasarkan teorema 2.3 bagian 1. : ker ( ) im( ) adalah surjektif jika im( ) = im( ) Pada b) telah ditunjukkan bahwa im( ) = im( ), jadi adalah surjektif. Jadi karena : ker ( ) im( ) adalah bijektif. Jadi terbukti bahwa ker() isomorphis dengan im( ). 2). Akan ditunjukkan bahwa dim(ker () )+dim(im ()) = dim(v) dari uraian sebelumnya telah diketahui bahwa dim(v) = dim(ker () ) + dim(ker () ) karena telah ditunjukkan bahwa ker ) dim(ker () )+dim(im ()) = dim(v) ( im( ), maka jelaslah bahwa Akibat 2.9. Misal hanya jika surjektif. L(V,W), dimana dim(v) = dim (W) <. Maka adalah injektif jika Akan ditunjukkan bahwa dengan diketahui dim(v) = dim(w), *) surjektif injektif **) injektif surjektif *) Jika surjektif jika hanya jika im( ) = W Menurut teorema 2.3 injektif jika hanya jika ker () = {0} Menurut teorema 2.8 dim(ker () )+ dim(w) = dim(v), karena dim(v )= dim(w) sehingga dim(ker () ) = 0 jadi ker () = {0}, injektif
**) jika injektif jika hanya jika ker( ) = {0} Menurut torema 2.8 dim(ker () )+ dim(im ()) = dim(v) 0 + dim(im ()) = dim(v) dim(im ()) = dim(v) dim(im ()) = dim(w) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa surjektif. Ambil sembarang v V karena injektif maka akan terdapat v W yang selalu tunggal dan karena dim(v) = dim(w) dan sedemikian sehingga dim(im ()) = dim(w) maka im () (W) Karena im () W maka im () = W Menurut teorema 2.3 bagian 1), karena surjektif jika hanya jika im( ) = W Jadi surjektif. Terbukti bahwa misal adalah injektif jika hanya jika surjektif. L(V,W), dimana dim(v) = dim (W) <. Maka Transformasi Linier dari F n ke F m Sembarang matriks A berukuran m x n atas F didefinisikan sebagai pemetatan perkalian berikut : A (v) = Av adalah suatu transformasi linier. Sembarang transformasi linier L(F n,f m ) mempunyai bentuk yaitu yang merupakan perkalian oleh suatu matriks, sebagai berikut : dan sehingga (e 1... e n )e i = ( e 1... e n ) (i) = e i A, dimana A = (e 1... e n ) Teorema 2.10 1) Jika A adalah suatu matriksberukuran m x n atas F maka A L(F n,f m ). 2) Jika L(F n,f m ) maka A, dimana A = (e 1... e n ) Matriks A disebut matriks dari. 1) Akan ditunjukkan bahwa adalah suatu transformasi linier. Untuk sembarang u,v F n dan skalar, F akan ditunjukkan
A ( u+ v) = A (u)+ A (v) Berdasarkan definisi A, maka A ( u+ v) = A(( u) +(v)) = A( u) + A(v), berdasarkan sifat perkalian matriks dan skalar diperoleh, = (Au) + (Av), berdasarkan definisi A maka = A (u)+ A (v) Jadi A adalah transformasi linier dari F n ke F m.atau dengan kata lain A L(F n,f m ) 2) Jika L(F n,f m ) maka A = (e 1... e n ) Matriks A disebut matriks dari. A, dimana Sembarang transformasi linier L(F n,f m ) mempunyai bentuk (e 1... e n )e i = (e 1... e n ) (i) = e i Jadi A, dimana A = ( e 1... e n ) Contoh 2 Perhatikan suatu transformasi linier : F 2 F 3 didefinisikan oleh (x,y,z) = (x-2y,z,x+y+z) Maka dipunyai bentuk kolom, x x 2y 1 2 0x y z 0 0 1 y z x y z 1 1 1 z Dan matriks standar dari adalah 1 A 0 1 2 0 1 Jika A m,n, maka karena im( A ) adalah ruang kolom dari A, sehingga dim (ker( A )) + dim(im( A ) = dim (F n ) karena dimensi ruang kolom A adalah rk(a), maka dim (ker( A )) + rk(a) = dim (F n ) Teorema 2.11 Misal A adalah suatu matriks m x n atas F. 1) A :F n F m adalah injektif jika hanya jika rk(a) = n. 2) A :F n F m adalah surjektif jika hanya jika rk(a) = m. 0 1 1 1). Berdasarkan pada teorema 2.3.2 A injektif ker( A ) = {0} dim (ker( A ) = dim{0} = 0
Karena dim (ker( A )) + rk(a) = dim(f n ), maka 0 + rk(a) = dim (F n ) Karena {e 1,...,e n } adalah basis untuk F n maka dim(f n ) = n, jadi, dim (ker( A ) = 0 rk(a) = n 3) Berdasarkan teorema 2.3.1, maka A surjektif im( A ) = F m dim (im( A ) = dim(f m ) Karena {e 1,...,e m } adalah basis untuk F m maka dim(f m ) = m. Karena im( A ) adalah subruang dari F m dan diketahui dim(im( A ) = dim (F m ) = m selanjutnya dapat disimpulkan im( A ) = F m Jadi (Im( A )) = dim(f m ) rk(a) = m Matriks Perubahan Basis Misalkan bahwa B = (b 1,...,b n ) dan C = ( 1,..., n ) adalah basis terurut pada ruang vektor V. Matriks koordinat [v] B dan [v] C. Pada gambar.1 : Dari gambar terlihat bahwa B,C [v] B= C B -1 [v] B = [v] C yang menunjukkan relasi antara matriks koordinat [v] B dan [v] C Pemetaan dari [v] B ke [v] C adalah B,C = C B -1 dan disebut operator perubahan basis ( atau operator perubahan koordinat). Karena B,C adalah operator pada F n, maka berbentuk A,dimana : A = ( B,C (e 1 )... B,C (e n )) = (CB -1 ([b 1 ] B ) C B -1 ([b n ] B )) = ( [b 1 ] C ) [b n ] C )
Dinotasikan A sebagai M B,C dan disebut matriks perubahan basis dari B ke C. Teorema 2.12 Misalkan bahwa B = (b 1,...,b n ) dan C = ( 1,..., n ) adalah basis terurut pada ruang vektor V. Maka operator perubahan basis B,C = C B -1 adalah suatu pemetaan automorphisma dari F n, yang mempunyai matriks standar yaitu: M B,C = ([b 1 ] C... [b n ] C )) sehingga [v] C = M B,C [v] B Dan -1 M B,C = M C,B Misal B = (b 1,...,b n ) dan C = ( 1,., n ) adalah basis-basis terurut untuk ruang vektor V. Akan ditunjukkan bahwa operator perubahan basis B,C = C B -1 adalah suatu pemetaan automorphisme pada F n yang artinya B,C = C B -1 adalah pemetaan yang bijektif. Karena B L(V,F n ) adalah pemetaan linier dari setiap vektor elemen V ke matriks koordinat vektor terebut pada basis B, karena setiap vektor di V pasti dapat dinyatakan sebagai matriks koordinat juga berlaku sebaliknya, maka B L(V,F n ) adalah bijektif. Demikian juga untuk C L(V,F n ) adalah pemetaan linier dari setiap vektor elemen V ke matriks koordinat vektor terebut pada basis C, karena setiap vektor di V pasti dapat dinyatakan sebagai matriks koordinat juga berlaku sebaliknya, maka C L(V,F n ) adalah bijektif. Berdasarkan teorema 2.1 bagian (3) diperoleh bahwa jika B L(V,F n ) bijektif maka B -1 L(V,F n ) adalah bijektif. Berdasarkan teorema 2.1 bagian (2) diperoleh bahwa jika B -1 L(V,F n ) dan C L(V,F n ) bijektif maka B,C = C B -1 adalah bijektif. Jadi B,C = C B -1 adalah suatu automorphisma. Diketahui bahwa B,C adalah operator linier pada F n (atau B,C L(F n )) Jadi berdasarkan teorema 2.10 (2). Jika B,C L(F n ) maka B,C = A dimana A = ( B,C (e 1 )... B,C (e n )) karena b 1 = 1b 1 + 0b 2 + + 0 b n, maka [b 1 ] B = e 1 b 2 = 0b 1 + 1b 2 + + 0 b n, maka [b 2 ] B = e 2
b n = 0b 1 + 0b 2 + + 1 b n, maka [b n ] B = e n dan karena B,C = C,B -1, maka A = (C,B -1 ([b 1 ] B ) C,B -1 ([b n ] B )) A = ( [b 1 ] C ) [b n ] C ) Dinotasikan A sebagai M B,C dan disebut matriks perubahan basis dari B ke C. M B,C = ( [b 1 ] C ) [b n ] C ) Berdasarkan pemetaan perkalian transformasi linier diperoleh, B,C [v] B = A[v] B karena A = M BC, maka B,C [v] B = M B,C [v] B Sedangkan Jadi B,C [v] B = CB -1 [v] B = [v] C [v] C = M B,C [v] B Jika dikalikan masing-masing dengan M B,C -1 dari kiri maka diperoleh: M B,C -1 [v] C = M B,C -1 M B,C [v] B M B,C -1 [v] C = I [v] B M B,C -1 [v] C = [v] B Jadi [v] B = M C,B [v] C dengan M C,B = M B,C -1 Perhatikan persamaan A = M B,C dengan A = ([b 1 ] C... [b n ] C )). Jika diberikan sembarang matriks A (berukuran n x n yang dapat dibalik), B dan C (adalah suatu basis terurut pada F n ), jika dua dantaranya diketahui maka komponen yang ketiga akan dapat ditentukan seara unik dengan persamaan tersebut. Jika A dan B diketahui, maka terdapatlah suatu C unik yang memenuhi A -1 = M C,B Dan sedemikian sehingga terdapatlah suatu C unik yang memenuhi A = M B,C. Teorema 2.13 Jika diberikan sembarang dua buah dari yang berikut ini : 1) Suatu matriks A yang inversibel 2) Suatu basis terurut B pada F n 3) Suatu basis terurut C pada F n Maka yang ketiga dapat ditentukan seara unik dengan persamaan A = M B,C Bukti: Jika 1) dan 3) diketahui maka akan ditentukan 2)
Diketahui A = ([b 1 ] C... [b n ] C ) dapat dibalik C = ( 1,..., n ) Dari [b 1 ] C, misal [b 1 ] C = (r 11,,r 1n ), maka b 1 = r 11 b 1 +...+ r 1n b n Dari [b 2 ] C, misal [b 2 ] C = (r 21,,r 2n ), maka b 2 = r 21 b 1 +...+ r 2n b n Dari [b n ] C, misal [b n ] C = (r n1,,r nn ), maka b n = r n1 b 1 +...+ r nn b n Jadi B ditentukan seara unik, sehingga diperoleh B = (b 1,...,b n ) Jika 1) dan 2) diketahui maka akan ditentukan 3) Diketahui A = ([b 1 ] C... [b n ] C ) dapat dibalik B = (b 1,...,b n ) Karena A = M B,C maka A -1 = M B,C -1 = M C,B A -1 = M C,B = ([ 1 ] B... [ n ] B ) Dari [ 1 ] B, misal [ 1 ] B = (k 11,,k 1n ), maka 1 = k 11 1 +...+ k 1n n Dari [ 2 ] B, misal [ 2 ] B = (k 21,,k 2n ), maka 2 = k 21 1 +...+ k 2n n Dari [ n ] B, misal [ n ] B = (k n1,,k nn ), maka n = k n1 1 +...+ k nn n Jadi C ditentukan seara unik, sehingga diperoleh C = ( 1,..., n ) Jika 2) dan 3) diketahui maka akan ditentukan 1) Misal diketahui : B = (b 1,...,b n ) C = ( 1,..., n ) Akan ditentukan A = ([b 1 ] C... [b n ] C ) Cari [b 1 ] C,...,[b n ] C b 1 = (t 11 1 + +t 1n n ), maka [b 1 ] C = (t 11,... t n1 ) b 2 = (t 21 1 + +t 2n n ), maka [b 2 ] C = (t 21,... t 2n ) b n = (t n1 1 + +t nn n ), maka [b n ] C = (t n1,... t nn ) Jadi A ditentukan seara unik, sehingga diperoleh A = ([b 1 ] C... [b n ] C ). Matriks Transformasi Linier Misal :V W adalah suatu transformasi linier, dimana dim(v) = n, dan dim(w) = m dan misalkan B = (b 1,,b n ) adalah basis terurut pada V dan C adalah basis terurut pada W. Maka pemetaan : [v] B [v] C Adalah representasi dari sebagai transformasi linier dari F n ke F m, yang artinya untuk menentukan (berikut B dan C) adalah sama saja dengan menentukan. Representasi ini tergantung pada pemilihan basis terurut B dan C.
Karena adalah suatu transformasi linier dari F n ke F m, jadi merupakan perkalian dari A berukuran m x n dengan [v] B, yaitu [ v ] C = A[v] B Karena [b i ] B = e i, didapat kolom ke-i dari A adalah sebagai berikut: A (i) = Ae i = A[v i ] B = [b i ] C Teorema 2.14 Misal L(V<W) dan misal B = (b 1,,b n ) dan C adalah basis terurut untuk V dan W. Maka dapat direpresentasikan berkenaan dengan B dan C sebagaiperkalian matriks, yaitu : [ v ] C = [ ] B,C [v] B [] B,C = ([ b 1 ] C... [b n ] C ) yang disebut matriks dari yang berkenaan dengan basis B dan C. Ketika V = W dan B = C, dinotasikan [] B,B oleh [] B dan juga [ v ] B = [] B [v] B : [v] B [v] C Berdasarkan teorema 2.10 bagian (2) Jika L(F n,f m ) maka = A Dimana A = ( (e 1 )... (e n )) karena b 1 = 1b 1 + 0b 2 + + 0 b n, maka [b 1 ] B = e 1 b 2 = 0b 1 + 1b 2 + + 0 b n, maka [b 2 ] B = e 2 b n = 0b 1 + 0b 2 + + 1 b n, maka [b n ] B = e n A = ( ( [b 1 ] B ) ([b n ] B )) A = ( [b 1 ] C ) [ b n ] C ) A = [] B,C Menurut definisi perkalian pemetaan maka diperoleh: [v] C = [] B,C [v] B [] B,C adalah matriks untuk yang berkaitan dengan basis B dan C. Contoh 2.4 Ambil D:P 2P 2 adalah operator derivatif, didefinisikan pada ruang vektor dari semua polynomial berderajat 2. Misal B = C = (1,x,x 2 ). Maka 0 1 0 [D(1)] C = [0] = 0, [D(x)] C = [1] = 0,[D(x 2 )] C = [2x] = 2, 0 0 0
0 1 0 [D] B = 0 0 2 0 0 0 Karena, pada ontoh, jika p(x) = 5 + x + 2x 2, maka 0 1 0 5 1 [D P (x)] C = [D] B [p(x)] B = 0 0 2 = 1 4 0 0 0 2 0 Dan juga Dp(x) = 1 + 4x. Hasil tersebut menunjukkan bahwa kita dapat megerjakannya dengan transformasi linier atau dengan matriks yang merepresentasikannya ( dengan basis terurut B dan C tetap yang bersesuaian). Ini menggunakan tidak hanya untuk penjumlahan dan perkalian skalar, tetapi juga untuk perkalian matriks. Teorema 2.15 Misall V dan W adalah ruang vektor yang berdimensi berhingga atas F, dengan basis terurut masing-masing adalah B = (b 1,...,b n ) dan C = ( 1,... n )atas F, dengan : 1) Pemetaan :L(V,W) M m,n (F) didefinisikan sebagai berikut: () = [ ] B,C adalah isomorphis sehingga L(V,W) M m,n (F)) dim (L(V,W))= dim( M m,n (F))= m x n 2) Jika L(U,V) dan L(V,W) dan jika B,C dan D adalah basis- basis terurut masing-masing pada U, V dan W, maka [ ] B,D = [] C,D [ ] B,C Jadi, matriks komposisi perkalian adalah perkalian dari matriks dan. Untuk melihat bahwa adalah linier, amati bahwa untuk semua i, [s +t] B,C [b i ] B = [(s +t)(b i )] C = [(s +t)(b i )] C = s[ (b i )] C +t[(b i )] C = s[ ] B,C [b i ] B +t[] B,C [b i ] B = (s[ ] B,C +t[] B,C )[b i ] B Dan karena [b i ] B = e i, adalah vektor basis standar, kita simpulkan bahwa [s +t] B,C = s[ ] B,C +t[] B,C
dan juga adalah linier. Jika A M m,n, kita definisikan oleh [ b i ] C = A (i), dimana () = A dan adalah surjektif. Juga, ker() = {0} karena [ ] B = 0 menyebabkan bahwa = 0. Jadi, pemetaan adalah isomorphisme. Untuk bukti bagian 2) kita punya [] B,D [v] B = [ (v) ] D = [ ] C,D [ v] C = [] C,D [ ] B,C [v] B