KERANGKA BAHAN AJAR Mata Kuliah : Sistem Linier Semester: 3 Kode: TE-1336 sks: 3 Jurusan : Teknik Elektro Dosen: Yusuf Bilfaqih SISTEM LINIER (TE-1336, 3/0/0 ) Tinjauan Mata Kuliah a. Deskripsi Singkat Mata kuliah Sistem Linier ini membahas tentang analisa sistem linier time-invariant (LTI), baik sistem waktu kontinyu maupun sistem waktu diskrit dalam berbagai ranah (time-domain, frequency-domain, s-domain dan z-domain). Metode-metode yang digunakan untuk menganalisa sistem linier itu memberikan kontribusi yang sangat besar pada bidang ilmu teknik elektro. Mata kuliah ini menekankan pada kemampuan mahasiswa untuk menganalisa sistem LTI. b. Manfaat Perkembangan teknologi yang semakin canggih membutuhkan sistem yang lebih kompleks/rumit. Hal ini menuntut mahasiswa untuk meningkatkan pengetahuannya tentang sinyal dan sistem, sehingga mereka dapat secara efektif menggunakan beragam teknik analisa dan sintesa yang telah ada. Mata kuliah ini juga memberikan teknik-teknik analisa sinyal dan sistem yang sudah digunakan secara luas, terutama di bidang teknik elektro. Konsep dan teknik-teknik yang ditawarkan akan banyak bermanfaat bagi sarjana-sarjana teknik yang berkemauan untuk mengembangkan/memperluas pemahamannya mengenai sinyal dan sistem. c. Tujuan Instruksional Umum Mampu menganalisa sinyal dan sistem LTI ranah waktu kontinyu dan ranah waktu diskrit (C4). d. Urutan Bahan Ajar Mata kuliah ini memerlukan mata kuliah Rangkaian Listrik dan Kalkulus sebagai prasyarat. Materi perkuliahan ini secara umum terbagi dalam dua bagian. Pertama, membahas sinyal dan sistem waktu kontinyu. Bagian kedua membahas sinyal dan sistem waktu diskrit. e. Petunjuk Menggunakan Bahan Ajar Untuk mencakup kedua bagian ini secara bersama-sama seringkali membingungkan mahasiswa dan mereka seringkali tidak bisa membedakan apakah suatu teknik atau konsep diterapkan untuk sistem waktu kontinyu atau untuk sistem waktu diskrit atau untuk keduanya. Lebih jauh lagi kuliah-kuliah yang telah didapat oleh mahasiswa sebelum mengikuti mata kuliah ini seperti halnya fisika, matematika dan rangkaian listrik berkenaan dengan sinyal dan sistem waktu kontinyu, kosekuensinya mahasiswa dapat menerima teori dan analisis sistem waktu kontinyu tanpa kesulitan. Dengan pertimbangan ini mata kuliah ini diberikan dengan membahas terlebih dahulu sinyal dan sistem waktu kontinyu dalam berbagai ranah, yaitu time-domain, frequencydomain, dan s-domain dengan menggunakan Deret Fourier, Transformasi Fourier dan Transformasi Laplace.
Setelah mahasiswa familiar dengan sistem waktu kontinyu, bahasan dilanjutkan dengan sinyal dan sistem waktu diskrit. Disini mahasiswa juga dituntut menguasai penggunaan Deret Fourier, Transformasi Fourier Waktu Diskrit dan Transformasi Z yang akan sangat membantu untuk melakukan analisa terhadap respon impuls, respon frekuensi serta kestabilan sistem LTI. Bab 1. Konsep Sinyal dan Sistem Mahasiswa mampu merepresentasikan sinyal dan sistem LTI (C3, P3). Pada bagian ini diperkenalkan konsep sinyal dan sistem, sifat-sifat dan klasifikasinya, serta bagaimana merepresentasikannya. Bagian ini membuka wawasan mahasiswa dan memberikan pemahaman bagaimana hal-hal yang dijumpai di sekitarnya dan di dunia kerja direpresentasikan secara konseptual. 1.1 Konsep Sinyal Membahas konsep sinyal, macam-macam sinyal dan klasifikasinya serta representasinya sinyal secara grafis dan matematis baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktu diskrit. 1.2 Konsep Sistem Membahas konsep sistem, sifat-sifat sistem dan klasifikasinya serta representasi sistem secara matematis dan diagram baik sistem waktu kontinyu maupun sistem waktu diskrit. 1.3 Ringkasan Sinyal adalah fungsi atau sekuen dari nilai yang menyatakan informasi Secara matematis, sinyal direpresentasikan sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel bebas, misalkan : Tegangan listrik fungsi waktu : Medan elektromagnetik fungsi waktu dan posisi : Berdasarkan karakteristik sinyal, maka sinyal dapat diklasifikasi sebagai berikut : Sinyal Waktu Kontinyu - Sinyal Waktu Diskrit Sinyal Analog - Sinyal Digital Sinyal Riil - Sinyal Kompleks Sinyal Deterministik - Sinyal Acak Sinyal Periodik - Sinyal Nonperiodik Sinyal Energi - Sinyal Daya Ada tiga macam operasi pada variabel bebas, yang banyak digunakan dalam praktek, yaitu pergeseran (shifting) pencerminan (refleksi) dan penyekalaan waktu (time scaling). Sinyal dasar adalah sinyal yang dapat dipergunakan untuk menyusun/membentuk sinyal-sinyal yang lain. Terdapat tiga macam cara untuk merepresentasikan suatu sistem yang banyak digunakan, yaitu :
- Model Matematik - Diagram Blok (Block Diagram) - Grafik Aliran Sinyal (Signal Flow Graph) 1.4 Latihan Bab 2. Sistem LTI Waktu Kontinyu Menganalisa sistem LTI waktu kontinyu dalam ranah waktu (C4). Bab 2 ini membahas lebih spesifik sistem Linier Time-Invariant waktu kontinyu, representasi, sifar-sifat dan klasifikasinya, serta analisisnya dalam ranah waktu. Pada bagian mahasiswa ditunjukkan bagaimana sebuah rangkaian listrik dapat direpresentasikan dalam bentuk yang berbeda, dimodelkan, dianalisa, dan diketahui sifat-sifatnya melalui pendekatan sistem. 2.1 Representasi Sinyal Waktu Kontinyu dalam Bentuk Impuls Menjelaskan bahwa sinyal waktu kontinyu secara analitis dapat dinyatakan sebagai jumlahan sinyal impuls berbobot sebagai dasar pemahaman konvolusi integral. 2.2 Representasi Integral Konvolusi Menjelaskan dan membahas konsep konvolusi integral. Respon sistem waktu LTI waktu kontinyu merupakan konvolusi integral antara respon impuls sistem dengan sinyal masukan. 2.3 Sifat-Sifat Sistem LTI Waktu Kontinyu Membahas lebih spesifik sifat-sifat sistem LTI waktu kontinyu. 2.4 Representasi Persamaan Differensial Langkah pertama dalam analisis sistem adalah mendapatkan model matematik dari sistem, yaitu mendapatkan suatu persamaan matematik yang dapat menggambarkan perilaku sistem. Salah satu bentuk model matematik suatu sistem adalah persamaan diferensial (PD) input-output. 2.5 Stabilitas Sistem LTI Waktu Kontinyu Pada bagian ini dibahas pengertian stabilitas BIBO untuk sistem yang dinyatakan oleh PD input-output. Stabilitas BIBO hanya ditentukan dari hubungan inputoutput saja, tanpa memperhatikan komponen-komponen dalam sistem. 2.6 Ringkasan Output sistem linier time invariant merupakan konvolusi dari input dan repons impuls,h(t). Notasi simbolik dari konvolusi yang didefinisikan oleh: Integral Konvolusi bersifat komutatif, asosiatif dan distributif.
Stabil BIBO jika akar-akar persamaan karakteristiknya memiliki bagian riil negatif Tidak stabil BIBO jika akar-akar persamaan karakteristiknya memiliki bagian riil positif. Marginally stable jika akar-akar persamaan karakteristiknya imajiner murni. Tidak stabil BIBO jika akar-akar persamaan karakteristiknya imajiner murni berulang. 2.7 Latihan Bab 3. Deret Fourier Waktu Kontinyu dan Aplikasinya Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu kontinyu menggunakan DFWK (C4). Pembahasan tentang deret Fourier menjelaskan bahwa suatu sinyal periodik dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang berelasi harmonis. Dengan cara ini maka salah satu persoalan dalam analisis sistem LTI, yaitu bagaimana mendapatkan respon sistem LTI waktu kontinyu jika inputnya berupa sinyal periodik dan diskontinyu dapat dengan mudah diselesaikan. Telah kita ketahui bersama bahwa suatu sinyal sebarang dapat direpresentasikan dalam bentuk kombinasi linier dari sinyal-sinyal dasar. Keuntungan representasi tersebut diantaranya adalah : o Himpunan sinyal-sinyal dasar dapat digunakan untuk membentuk atau merekonstruksi kelompok sinyal yang penting. o Respon sistem LTI terhadap tiap-tiap sinyal dasar memiliki struktur yang sederhana, sehingga respon sistem terhadap input sebarang dapat diperoleh dengan cara yang lebih mudah, yaitu kombinasi linier dari respon sistem terhadap sinyal dasar. Untuk sistem LTI waktu kontinyu, kedua keuntungan tersebut diberikan oleh sinyal eksponensial kompleks. 3.1 Representasi Orthogonal Representasi orthogonal dari suatu sinyal merupakan persoalan yang sangat penting dalam masalah-masalah rekayasa. Hal ini dikarenakan, secara matematis operasi-operasi terhadap suatu sinyal menjadi lebih sederhana jika sinyal tersebut dinyatakan sebagai penjumlahan berbobot dari sinyal-sinyal orthogonal. 3.2 Deret Fourier Eksponensial Kompleks Membahas bagaimana suatu sinyal periodik dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang berelasi harmonis. 3.3 Sifat-Sifat Deret Fourier
Sifat-sifat deret Fourier berikut ini dapat memberikan pamahaman yang lebih baik tentang spektrum frekwensi dari sinyal waktu kontinyu. Sifat-sifat tersebut juga membantu untuk mereduksi tingkat kerumitan dalam perhitungan koefisien deret Fourier 3.4 Sistem dengan Input Periodik Pada pokok bahasan ini akan dijelaskan cara mendapatkan respon sistem jika mendapat input sinyal periodik 3.5 Ringkasan Sinyal periodik deret Fourier : dapat dinyatakan dalam bentuk Spektrum Garis terdiri dari Grafik lawan : Spektrum Amplitudo Grafik lawan : Spektrum Fase Kondisi Dirichlet : a. harus absolutly integrable, yaitu b. hanya memiliki sejumlah berhingga maksimum dan minimum c. banyaknya diskontinyuitas harus berhingga 3.6 Latihan Bab 4. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dan Aplikasinya Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu kontinyu menggunakan TFWK (C4). Pada bab ini dipaparkan suatu metode untuk merepresentasikan sinyal aperiodik dalam himpunan sinyal eksponensial kompleks. Pada pokok bahasan tentang deret Fourier telah diulas aplikasi deret Fourier sebagai alat untuk menganalisa sinyal periodik. Respon steady state suatu sistem LTI kontinyu stabil terhadap input sinyal periodik lebih mudah didapatkan jika sinyal periodik tersebut dinyatakan dalam bentuk deret Fourier eksponensial kompleks. Pemakaian analisa deret Fourier pada sistem LTI ini agak terbatas dalam arti analisa tersebut hanya dapat digunakan jika sinyal inputnya periodik.
Padahal umumnya banyak sinyal yang dijumpai bersifat tidak periodik (aperiodik). 4.1 Transformasi Fourier Membahas definisi transformasi Fourier. 4.2 Sifat-sifat Transformasi Fourier Transformasi Fourier memiliki beberapa sifat yang memungkinkan penyelesaian persoalan menjadi lebih sederhana. Pada pokok bahasan ini akan dipaparkan beberapa sifat dari Transformasi Fourier. 4.3 Respon Frekuensi Sistem Respon suatu sistem LTI dapat dikelompokkan menjadi 2 macam, yaitu respon peralihan (transient) dan respon keadaan tunak (steady-state). Respon stady-state dari suatu sistem LTI jika mendapat input sinusoida atau eksponensial kompleks disebut Respon Frekuensi sistem. Pada pokok bahasan ini akan dibahas lebih jauh tentang Respon Frekuensi sistem dengan menggunakan sifat-sifat transformasi Fourier. 4.4 Aplikasi Transformasi Fourier Transformasi Fourier, baik waktu kontinyu maupun waktu diskrit merupakan alat yang sangat penting, yang aplikasinya secara luas dijumpai dalam sistem komunikasi, pengolahan sinyal sistem kontrol dan lain-lain. Berikut ini akan dibahas tiga contoh aplikasi dari Transformasi Fourier. 4.5 Ringkasan Pasangan Transformasi Fourier : konvergen jika: o o x(t) absolutely integrable x(t) berperilaku baik 4.6 Latihan Bab 5. Transformasi Laplace dan Aplikasinya
Tujuan Instruksional Khusus Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu kontinyu menggunakan Transf. Laplace (C4). Gambaran Umum Materi Pada pokok bahasan ini akan dibahas metode transformasi Laplace yang merupakan perluasan dari transformasi Fourier waktu kontinyu. Relevansi Pada pokok bahasan transformasi Fourier ditunjukkan manfaat dari metode tersebut untuk analisis sinyal dan sistem LTI waktu kontinyu. Diantara manfaat tersebut adalah dapat mereduksi operasi integral konvolusi (yang diperlukan untuk mencari respon sistem) menjadi perkalian transformasi Fourier sinyal input dan respon frekuensi dari sistem. Meskipun demikian, masih terdapat kelemahan pada metode tersebut, yaitu banyak sinyal yang tidak memiliki transformasi Fourier, karena tidak konvergen. 5.1 Transformasi Laplace Memberikan definisi transformasi Laplace 5.2 Sifat-sifat Transformasi Laplace Ada beberapa sifat transformasi Laplace yang banyak digunakan karena dapat memepermudah penyelesaian persoalan analisis sistem LTI. Selain itu, dengan menggunakan sifat-sifat tersebut juga dapat diturunkan transformasi Laplace dari banyak sinyal. 5.3 Transformasi Laplace Balik (Invers) Pada pokok bahasan transformasi Laplace telah diuraikan bagaimana mentransformasi sinyal dan sistem dalam domain waktu ke domain kompleks s. Menyelesaikan persoalan dalam domain-s relatif lebih mudah daripada dalam domain waktu. Apabila persoalan telah diselesaikan dalam domain-s, maka untuk mendapatkan penyelesaian/solusi dalam domain waktu harus dilakukan transformasi Laplace balik (Invers). Pada pokok bahasan ini akan dibahas bagaimana mendapatkan jika diketahui, atau yang dikenal sebagai transformasi Laplace-balik (Invers). 5.4 Fungsi Transfer Transformasi-Laplace memainkan peranan yang sangat penting dalam analisis dan representasi sistem LTI waktu kontinyu. Salah satu sifat transformasi- Laplace yang sangat penting dan telah dibahas pada pokok bahasan Sifat-Sifat Transformasi-Laplace adalah sifat konvolusi. Sifat ini memberikan kemudahan dalam perhitungan untuk mendapatkan respon sistem. Pada pokok bahasan ini akan dieksploitasi sifat ini lebih jauh. 5.5 Blok Diagram Sistem Selain dalam bentuk model matematik, suatu sistem dapat juga direpresentasikan dalam bentuk grafis. Salah satu bentuk representasi secara grafis ini adalah diagram-blok, seperti yang akan dijelaskan pada pokok bahasan ini. 5.6 Stabilitas Sistem dalam Domain-s Stabilitas merupakan salah satu persoalan yang sangat penting dalam disain sistem. Pada salah satu pokok bahasan sistem LTI waktu kontinyu, telah dibahas stabilitas sistem dalam kaitannya dengan respon impuls, yaitu satbil BIBO. Stabilitas BIBO juga dapat dianalisa dalam domain-s melalui fungsi transfer H(s), seperti yang akan dibahas dalam pokok bahasan ini. 5.7 Ringkasan Transformasi Laplace Bilateral :
Transformasi Lapalca Unilateral : Formula Transformasi Laplace Balik (Invers): Metode Pecahan Parsial : dimana berbentuk atau Suatu sistem yang memiliki Fungsi Transfer H(s) akan stabil BIBO jika : o Jika pole dari H(s) terletak di sebelah kiri setengah bidang-s. o Jika H(s) memiliki pole sederhana di sumbu imajiner 5.8 Latihan Bab 6. Sistem LTI Waktu Diskrit Menganalisa sistem LTI waktu diskrit dalam ranah waktu (C4). Bab 6 ini membahas lebih spesifik sistem Linier Time-Invariant waktu diskrit, representasi, sifar-sifat dan klasifikasinya, serta analisisnya dalam ranah waktu. Pada bagian mahasiswa ditunjukkan bagaimana sebuah sistem dapat direpresentasikan dalam bentuk yang berbeda, dimodelkan, dianalisa, dan diketahui sifat-sifatnya melalui pendekatan sistem. 6.1 Representasi Sinyal Waktu Diskrit dalam Bentuk Impuls Dari pembahasan tentang sinyal, telah disinggung bahwa sinyal impuls satuan (unit impuls) dapat digunakan untuk menyusun atau membentuk macam-macam sinyal. Dalam pokok bahasan ini, akan dijelaskan bagaimana penyusunan sinyal waktu diskrit dalam bentuk impuls satuan dapat dilakukan. Representasi dalam bentuk
impuls satuan ini merupakan representasi yang sangat penting dan merupakan dasar dari alat/tool untuk analisis sinyal dan sistem LTI. 6.2 RepresentasiPenjumlahan Konvolusi Persoalan mendasar dalam analisis sistem adalah menentukan respons sistem terhadap input tertentu. Secara analitik, ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persoalan tersebut. Salah satu diantaranya adalah dengan cara menyelesaikan persamaan beda yang mendiskripsikan sistem untuk input dan kondisi mula tertentu. Cara yang lain adalah dengan mengeksploitasi sifat linieritas dan invariansi pergeseran dari sistem. Dengan cara yang kedua ini akan dihasilkan penjumlahan yang sangat penting, yang dikenal sebagai penjumlahan konvolusi. 6.3 Sifat-Sifat Sistem LTI Waktu DiskritWaktu Diskrit Pada pokok bahasan sebelumnya, telah dibahas representasi yang sangat penting dari sistem linier waktu diskrit berupa respon impuls dari sistem dan dikenal sebagai Penjumlahan Konvolusi. Konsekuensi dari representasi tersebut adalah karakteristik dari sistem linier waktu diskrit secara lengkap dicirikan oleh respon impulsnya. Pada pokok bahasan ini akan ditelaah beberapa sifat yang penting dari sistem dengan menggunakan respon impuls. 6.4 Representasi Persamaan Beda Pada pokok bahasan tentang Penjumlahan Konvolusi telah dibahas bagaimana mendapatkan respon sistem dengan mengeksploitasi sifat linieritas dan invariansi pergeseran. Dengan cara tersebut respon sistem diperoleh melalui konvolusi respon impuls dan sinyal masukan, dan karakteristik sistem dapat ditentukan dari respon impuls sistem. Pada pokok bahasan ini akan ditelaah karakteristik sistem yang dinyatakan oleh persamaan beda 6.5 Stabilitas Sistem Waktu Diskrit Sebagaimana sistem waktu kontinyu, stabilitas merupakan salah satu sifat yang penting dari suatu sistem waktu diskrit. Salah satu jenis stabilitas adalah stabilitas BIBO atau bounded-input bounded-output. Pada bagian ini akan dibahas stabilitas sistem waktu diskrit 6.6 Ringkasan Output sistem linier shift invariant merupakan konvolusi dari input, x[n] dan repon impuls, h[n]. Notasi simbolik dari konvolusi Penjumlahan konvolusi bersifat komutatif, asosiatif dan distributif. Dari pembahasan di atas dapat dibuat ringkasan sebagai berikut : Sifat-sifat sistem linier shift invariant dapat dicirikan menggunakan respon impuls. Karakteristik sistem linier shift invariant dalam bentuk repon impuls: - Sistem tanpa memory : - Sistem invertible : { = respon invers } - Sistem Kausal : untuk - Sistem stabil BIBO:
- Respon tangga satuan : Ada dua cara untuk mencari respon sistem yang dinyatakan dalam bentuk persamaan beda, yaitu secara iteratif/rekursif dan secara analitik. Solusi persamaan beda terdiri dari dua komponen, yaitu solusi homogen dan solusi khusus. Solusi homogen ditentukan oleh kondisi mula, sedangkan solusi khusus adalah solusi yang disebabkan oleh input. 6.7 Latihan Bab 7. Deret Fourier Waktu Diskrit dan Aplikasinya Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu diskrit menggunakan DFWD (C4). Membahas deret Fourier waktu diskrit yang merupakan padanan deret Fourier waktu kontinyu dan aplikasinya untuk analisa sistem LTI dengan input sinyal periodik Sebagaimana sistem waktu kontinyu, untuk mempermudah memperoleh respon sistem dengan input periodik dapat dilakukan dengan cara menyatakan sinyal input periodik dalam bentuk bentuk penjumlahan sinyal eksponensial kompleks. 7.1 Deret Fourier Waktu Diskrit Pada uraian berikut, akan dibahas cara merepresentasikan sinyal periodik waktu diskrit dalam bentuk penjumlahan sinyal-sinyal dasar berupa sinyal eksponensial kompleks. 7.2 Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Diskrit Pada pokok bahasan ini akan dijelaskan beberapa sifat deret Fourier yang penting dan banyak digunakan. Sifat-sifat deret Fourier tersebut dapat membantu untuk mereduksi tingkat kerumitan dalam perhitungan koefisien deret Fourier. 7.3 Sistem dengan Input Periodik Suatu sinyal waktu diskrit periodik dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang berelasi harmonis. Dengan representasi dalam bentuk deret Fourier kompleks, maka respon sistem linier waktu diskrit dapat diperoleh dengan mudah. Pada pokok bahasan ini akan dijelaskan cara mendapatkan respon sistem jika mendapat input sinyal periodik. 7.4 Ringkasan Deret Fourier Waktu Diskrit : Persamaan sintesis : Persamaan Analisis : Deret Fourier waktu diskrit hanya memiliki N suku yang berbeda, yaitu
7.5 Latihan Bab 8. Transformasi Fourier Waktu Diskrit dan Aplikasinya Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu diskrit menggunakan TFWD (C4). Pada pokok bahasan ini akan dibahas representasi sinyal aperiodik waktu diskrit dalam bentuk eksponensial kompleks. Sebagaimana sinyal aperiodik waktu kontinyu, sinyal aperiodik waktu diskrit juga ditransformasi menjadi eksponensial kompleks dengan menggunakan transformasi Fourier. Pada pokok bahasan tentang deret Fourier waktu diskrit telah diulas aplikasi deret Fourier waktu diskrit sebagai alat analisa sinyal periodik waktu diskrit. Dengan menyatakan sinyal periodik dalam bentuk deret Fourier eksponensial kompleks, respon steady state suatu sistem LTI waktu diskrit dengan input sinyal periodik lebih mudah didapatkan. Pemakaian analisa deret Fourier pada sistem LTI ini agak terbatas dalam arti analisa tersebut hanya dapat digunakan jika sinyal inputnya periodik. 8.1 Transformasi Fourier Waktu Diskrit Memberikan definisi transformasi Fourier waktu diskrit. 8.2 Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit Sifat-sifat transformasi Fourier waktu diskrit sangat mirip dengan sifat-sifat transformasi Fourier waktu kontinyu. Sifat-sifat tersebut dapat bermanfaat untuk menyederhanakan perhitungan saat mencari transformasi Fourier maupun inversnya. Selain itu juga bermanfaaat dalam analisis sisnyal dan sistem. Pada pokok bahasan ini akan ditelaah sifat-sifat dari transformasi Fourier tersebut. 8.3 Respon Frekuensi Sistem Waktu Diskrit Salah satu sifat transformasi Fourier yang sangat penting dan telah dibahas pada pokok bahasan Sifat-Sifat Transformasi Fourier adalah sifat konvolusi. Sifat ini memberikan kemudahan dalam perhitungan untuk mendapatkan respon sistem. Pada pokok bahasan ini akan dieksploitasi sifat ini lebih jauh. 8.4 Transformasi Fourier Sinyal Waktu Kontinyu Tersampel Sinyal waktu diskrit adalah sinyal yang didefinisikan hanya pada saat waktu diskrit. Sifat diskrit pada sinyal tersebut ada yang terjadi secara alami dan melekat pada sinyal, tetapi dapat juga terjadi karena sinyal waktu kontinyu disampling. Sinyal hasil dari proses sampling biasa disebut sebagai sinyal tersampel. Pada pokok bahasan ini akan dibahas relasi spektrum sinyal kontinyu, sinyal tersampel dan sinyal waktu diskrit. 8.5 Ringkasan Pasangan Transformasi Fourier Waktu Diskrit
8.6 Latihan Bab 9. Transformasi-Z dan Aplikasinya Menganalisa sinyal dan sistem LTI waktu diskrit menggunakan Transformasi Z (C4). Pada pokok bahasan ini akan dibahas konsep Transformasi Z dan aplikasinya untuk analisa sistem waktu diskrit. Transformasi merupakan counterpart waktu-diskrit dari transformasi Laplace. Sebagaimana transformasi Laplace yang dapat dipandang sebagai perluasan dari transformasi Fourier waktu kontinyu, Transformasi- dapat dipandang sebagai perluasan transformasi Fourier waktu-diskrit. 9.1 Transformasi Z Memberikan definisi transformasi Z. 9.2 Sifat-sifat Transformasi Z Sebagaimana transformasi-transformasi lain,transformasi-z memiliki sejumlah sifat yang dapat mempermudah analisis sinyal dan sistem waktu diskrit. Pada pokok bahasan ini akan dibuat ringkasan sifat-sifat Transformasi-Z unilateral. Penurunan sifat-sifat tersebut dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada transformasi yang lain 9.3 Tranformasi Z - Balik (Invers) Penggunaan Transformasi-Z untuk analisis sistem waktu diskrit mengikuti prosedur yang serupa dengan penggunaan Transformasi Laplace pada sistem waktu kontinyu. Prosedur tersebut adalah mengambil transformasi z dari dinamika sistem untuk mendapatkan dinamika sistem dalam domain z, kemudian dilakukan transformasi-z balik (invers) untuk mendapatkan solusi domain waktu 9.4 Fungsi Transfer Z Transformasi-Z memainkan peranan yang sangat penting dalam analisis dan representasi sistem LTI waktu diskrit. Salah satu sifat Transformasi-Z yang sangat penting dan telah dibahas pada pokok bahasan Sifat-Sifat Transformasi-Z adalah sifat konvolusi. Sifat ini memberikan kemudahan dalam perhitungan
untuk mendapatkan respon sistem. Pada pokok bahasan ini akan dieksploitasi sifat ini lebih jauh 9.5 Stabilitas Sistem dalam domain z Karakteristik suatu sistem, seperti stabilitas dan kausalitas dapat dikaitkan dengan pola pole-zero dan ROC dari fungsi transfer. Pada bagian ini akan dibahas stabilitas sistem kausal waktu diskrit dalam domain-z, dan merupakan persoalan yang sangat penting dalam analisis sistem. 9.6 Relasi antara Transformasi Z dan Transformasi Laplace Pada pokok bahasan ini akan ditelaah relasi antara Transformasi-Z dan Transformasi Laplace, dimana masing-masing merupakan perluasan dari Transformasi Fourier Waktu Diskrit dan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu. 9.7 Ringkasan Transformasi- bilateral dari sekuen waktu-diskrit didefinisikan oleh Transformasi-Z unilateral diberikan oleh : Untuk mendapatkan relasi yang unik antara Transformasi-Z bilateral dan fungsi waktu, maka harus disertakan daerah konvergensinya. Suatu sistem LTI waktu diskrit kausal stabil BIBO, jika dan hanya jika ROC dari terletak di dalam lingkaran satuan. Suatu sistem LTI waktu diskrit kausal stabil BIBO, jika dan hanya jika polenya terletak di dalam lingkaran satuan 9.8 Latihan RINGKASAN Mata kuliah sistem linier di jurusan teknik elektro ini membahas konsep sinyal dan sistem, representasi dan analisis dalam ranah waktu baik waktu kontinyu dan waktu diskrit serta analisisnya dalam ranah transformasi. Secara konseptual apa yang telah dipelajari disini dapat diilustrasikan pada diagram di berikut ini (lihat Gambar 1).
analisa sistem waktu kontinyu ( domain - s ) analisa domain - transformasi analisa sistem waktu diskrit ( domain - z ) F(s) analisa domain - waktu -1 F[z] -1 f(t) sampling f[k] 1 1 rekonstruks i F( ) F[ ] analisa sinyal waktu kontinyu ( domain - ) analisa sinyal waktu diskrit ( domain - ) Gambar 1. Konsep analisa sinyal dan sistem PUSTAKA 1. S.Soliman, Samir and D.Srinath,M. : "Continous and Discrete Signal and Systems", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1990. 2. V. Oppenheim, A and T. Young, Ian : "Signal and Systems", Prentice-Hall of India, New Delhi 1990.