Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu ang sangat singkat atau t mendekati nol. Penulisanna secara matematis adalah sebagai berikut. Pada Gambar dibawah ini, kecepatan sesaatna secara matematis dituliskan sebagai berikut. d = lim = t 0 d Dalam kajian ektor, kecepatan sesaat benda ang bergerak menurut sumbu- dan sumbu- dinatakan sebagai berikut. r d r d d = lim = = i + j t 0 t Oleh karena d d = dan = maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi = i + j Besarna kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut. + 2 2 Perhatikanlah Gambar berikut ini. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P ang memiliki kecepatan, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu- dinatakan dengan θ. Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut tanϑ = dengan: = cosθ, dan = sinθ. Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 1
Contoh : Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat dan. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah: a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon; c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon. Jawab Diketahui: ektor posisi partikel, aitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j. a. t 1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter. t 2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter. Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah r = r 2 r 1 = (12i + 16j) (6i + 8j) = (6i + 8j) meter Besar ektor r adalah r = + = = 2 2 r = 6 8 100 10 m b. Kecepatan rata-rata partikel adalah r 6 i + 8 = = j = ( 3i + 4 j ) m t 2 0 s Besar kecepatan rata-rata partikel adalah = 3 + 4 = 25 = 5 s c. Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut. 2 2 m d d = (6 3 t ) 3 m = + = s dan d d = (8 4 ) 4 m t = + = s Dengan demikian, diperoleh ektor kecepatan sesaat partikel adalah = i + j = (3i + 4j) m/s. Besar kecepatan sesaat partikel adalah = 3 + 4 = 25 = 5 s Arah ektor kecepatan sesaat terhadap sumbu- adalah θ dengan 4 tan θ = = dan besarna sudut θ adalah θ = 53. 3 2 2 m Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 2
Perhatikan grafik kedudukan () terhadap waktu (t) berikut. Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu: a. antara t = 0 sampai t = 3 s; b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan c. antara t = 8 sampai t = 12 s. Jawab Diketahui: grafik t dan kecepatan rata-rata i =. t a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah (12 0) i m = = 4i m (3 0) s s b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah (12 12) i m = = 0i m (8 3) s s c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah (0 12) i m = = 3i m (12 8) s s Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 3
Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 4
Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan kecepatan per satuan waktu ang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan ang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halna dengan kecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, aitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat. Percepatan Rata-Rata Perhatikanlah Gambar berikut Grafik kecepatan terhadap waktu pada gambar tersebut menatakan gerak benda ang berpindah dengan kecepatan tertentu setiap saatna. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah dan pada saat t + t kecepatanna +, percepatan rata-rata benda tersebut (a) dinatakan sebagai berikut. ( + ) a = = ( t + t) t t dalam bentuk ektor dalam arah sumbu- dan sumbu- adalah sebagai berikut. ( i + j) a = = i + j t t t Oleh karena = a dan = a dan dapat ditulis menjadi a = a i + a j Besar percepatan rata-rata dinatakan sebagai a = a + a 2 2 Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 5
Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut. a tanϑ = a b. Percepatan Sesaat Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu t ang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaanna dituliskan sebagai berikut. lim d a = a = lim = t 0 t 0 t Apabila ektorna disesuaikan menurut arah sumbu- dan sumbu-, persamaan tersebut menjadi d d a = i + j = a i + a j dt t Oleh karena dr dt = maka persamaan tersebut dapat sebagai berikut 2 2 2 d d r d d r d d a = = = = i + j Contoh Kecepatan dan Percepatan ( Kinematika dng Analisa Vektor) 6