ab 7 Sumbe: www.homepages.tesco Gais Singgung Lingkaan Lingkaan mungkin meupakan salah satu bentuk bangun data yang paling tekenal. Konsep lingkaan yang meliputi unsu-unsu lingkaan, luas lingkaan, dan keliling lingkaan sudah kamu pelajai sejak Sekolah asa. anyak benda-benda di sekitamu yang tanpa kamu sadai sebenanya menggunakan konsep lingkaan. isalnya, antai sepeda, katol timba, subwoofe, hingga alat-alat musik sepeti dum, banjo, dan keincing. ada bab ini, kamu akan mempelajai salah satu konsep penting tentang lingkaan, yaitu gais singgung lingkaan.. engetian Gais Singgung Lingkaan. Gais Singgung ua Lingkaan. Lingkaan Lua dan Lingkaan alam Segitiga 155
Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajai matei pada bab ini, kejakan soal-soal beikut. 1. H G 2. E F 16 cm ai gamba di samping tentukanlah: a. uas gais yang sejaja, b. uas gais yang bepotongan, c. uas gais yang saling tegak luus. 12 cm 3. ai gamba di samping tentukan: a. keliling lingkaan, b. panjang busu Hitunglah panjang. 7 cm 60 Gamba 7.1 : gais singgung lingkaan yang menyinggung lingkaan di titik. g' g. engetian Gais Singgung Lingkaan 1. Sifat Gais Singgung Lingkaan Gamba 7.1 di samping menunjukkan lingkaan yang bepusat di titik dengan diamete. Gais g tegak luus dan memotong lingkaan di dua titik. Jika g digese teus meneus ke atas hingga menyentuh titik maka akan dipeoleh gais g' yang menyinggung lingkaan dan tegak luus. Gais g' disebut gais singgung dan titik disebut titik singgung. Uaian di atas menggambakan definisi dai gais singgung lingkaan yaitu: Gais singgung lingkaan adalah gais yang memotong lingkaan tepat di satu titik. itik tesebut dinamakan titik singgung lingkaan. Setiap gais singgung lingkaan selalu tegak luus tehadap jai-jai (diamete) yang melalui titik singgungnya. ehatikan Gamba 7.2 Gamba 7.2(a) mempelihatkan bahwa gais g menyinggung lingkaan di titik. Gais g tegak luus jai-jai. engan kata lain, hanya tedapat satu buah gais singgung yang melalui satu titik pada lingkaan. ada Gamba 7.2(b), titik teletak di lua lingkaan. Gais l melalui titik dan menyinggung lingkaan di titik, sehingga gais l tegak luus jai-jai. Gais m melalui titik dan menyinggung lingkaan di titik, sehingga gais m tegak luus jai-jai. engan demikian, dapat dibuat dua buah gais singgung melalui satu titik di lua lingkaan. Gamba 7.2 : empelihatkan Gais singgung yang melalui satu titik pada lingkaan dan di lua lingkaan. (a) g (b) l m Gamba 7.2 : Gais singgung melalui satu titik 156 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
2. elukis Gais Singgung Sebelum melukis gais singgung lingkaan, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggais sebagai alat bantu. ehatikan uaian beikut. a. Gais Singgung elalui Satu itik pada Lingkaan Sebelumnya telah dijelaskan bahwa gais singgung lingkaan selalu tegak luus tehadap jai-jai (diamete) yang melalui titik singgungnya. leh kaena itu, melukis gais singgung lingkaan di titik singgung sama saja dengan melukis gais yang tegak luus tehadap jai-jai. ehatikan langkah-langkah melukis gais singgung lingkaan melalui satu titik pada lingkaan beikut ini. 1) Langkah 1 uatlah lingkaan dengan pusat dan jai-jai yang dipepanjang hingga titik. 2) Langkah 2 uatlah busu dengan pusat yang memotong uas dan di titik dan. 3) Langkah 3 uatlah busu dengan pusat dan sehingga bepotongan di titik. Ingat, jai-jainya haus sama. 4) Langkah 4 Hubungkan titik dan sehingga membentuk gais. Gais inilah yang disebut gais singgung g yang melalui titik pada lingkaan dengan pusat. g Gais Singgung Lingkaan 157
enyata, kita hanya dapat membuat satu buah gais singgung lingkaan di titik. Hal ini membuktikan sifat gais singgung lingkaan pada bagian sebelumnya. b. Gais Singgung elalui itik di Lua Lingkaan Sekaang, kamu akan melukis gais singgung yang melalui titik di lua lingkaan. ehatikan langkah-langkah beikut dengan baik. 1) Langkah 1 uatlah sebuah lingkaan dengan pusat. Hubungkan dengan titik yang teletak di lua lingkaan. 2) Langkah 2 agilah gais menjadi dua uas gais yang sama panjang dengan menempat kan titik sebagai titik tengah, sehingga =. 3) Langkah 3 uatlah busu lingkaan dengan pusat dan jai-jai sehingga memotong lingkaan dengan pusat di titik dan. 4) Langkah 4 Hubungkan titik dengan dan titik dengan sehingga dipeoleh dan, yaitu pasangan gais singgung yang melalui titik. enyata, kamu dapat membuat dua buah gais singgung lingkaan yang melalui titik di lua lingkaan. 158 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
3. anjang Gais Singgung Lingkaan Setelah melukis gais singgung lingkaan, sekaang kamu akan menghitung panjang gais singgung yang ditaik dai sebuah titik di lua lingkaan. ehatikan gamba beikut. Gais dan adalah gais singgung lingkaan yang bepusat di titik. anjang = panjang = = jai-jai lingkaan. leh kaena gais singgung selalu tegak luus tehadap jai-jai lingkaan maka panjang gais singgung dan dapat dihitung dengan menggunakan teoema ythagoas. ehatikan Δ pada. ada Δ belaku teoema ythagoas, yaitu: 2 + 2 = 2 2 = 2 2 = = ada Δ juga belaku teoema ythagoas, yaitu: 2 + 2 = 2 2 = 2 2 = - = - enyata, = = -. Uaian tesebut menggambakan definisi beikut. Kedua gais singgung lingkaan yang ditaik dai sebuah titik di lua lingkaan mempunyai panjang yang sama. lus + p edasakan teoema ythagoas, pada segitiga siku-siku belaku: 2 + 2 = 2 atau 2 + p 2 = q 2 ontoh Soal 7.1 ehatikan gamba beikut. Jika diketahui jai-jai lingkaan = 6 cm dan = 10 cm, tentukan: a. panjang gais singgung, b. luas Δ. Jawab : a. ada Δ belaku teoema ythagoas sehingga 2 = 2 2 = 10-6 = 100-36 = 64 = 8 Jadi, panjang adalah 8 cm. Gais Singgung Lingkaan 159
b. Luas Δ = 1 2 = 1 2 6 8 = 24 Jadi, luas Δ adalah 24 cm 2 Uji Kompetensi 7.1 Kejakanlah soal-soal beikut. 1. Lukislah gais singgung lingkaan yang melalui titik di lua lingkaan beikut ini. a. 2. ehatikan gamba beikut. b. Jai-jai lingkaan 6 cm dan panjang gais singgung 8 cm. entukan jaak titik pusat ke titik. 3. Jai-jai lingkaan yang bepusat di titik adalah 2 cm. itik teletak di lua lingkaan dan bejaak 7 cm dai pusat lingkaan. Hitunglah panjang gais singgung lingkaan yang melalui titik. 4. ehatikan gamba beikut. c. 10 cm 26 cm Hitung panjang gais singgung. 5. Sebuah lingkaan yang bepusat di memiliki jaijai. Jaak titik pusat ke titik yang teletak di lua lingkaan adalah + 8. Jika panjang gais singgung lingkaan yang melalui titik adalah 12 cm, tentukan panjang jai-jai dan jaak ke. Gais Singgung ua Lingkaan Kamu tentu sudah seing melihat sepeda. pabila kamu amati antai oda sepeda, tampak bahwa antai itu melilit dua oda begeigi yang bebeda ukuan. ua oda begeigi tesebut dapat dianggap sebagai dua lingkaan dan antai sepeda sebagai gais singgung pesekutuan lingkaan. 160 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
engan demikian, gais singgung pesekutuan dapat diatikan sebagai gais yang tepat menyinggung dua lingkaan. 1. Kedudukan ua lingkaan Secaa umum, kedudukan dua lingkaan dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaan besinggungan, bepotongan, dan saling lepas. a. ua Lingkaan esinggungan ehatikan Gamba 7.3 (a) k (b) l n m Gamba 7.3 : ua lingkaan yang besinggungan Gamba 7.3(a) mempelihatkan dua lingkaan yang besinggungan di dalam. Untuk kedudukan sepeti ini dapat dibuat satu buah gais singgung pesekutan lua, yaitu k dengan titik singgung. Gamba 7.3(b) mempelihatkan dua lingkaan yang besinggungan di lua. alam kedudukan sepeti ini dapat dibuat satu buah gais singgung pesekutuan dalam, yaitu n dan dua gais singgung pesekutuan lua, yaitu l dan m. b. ua Lingkaan epotongan ua lingkaan yang bepotongan sepeti yang ditunjukkan oleh Gamba 7.4 mempunyai dua gais singgung pesekutuan lua, yaitu dan s. s Gamba 7.4 : ua lingkaan yang bepotongan. c. ua Lingkaan Saling Lepas Gamba 7.5 mempelihatkan dua lingkaan yang saling lepas atau tepisah. alam kedudukan sepeti ini, dapat dibuat dua gais pesekutuan lua, yaitu k dan l dan dua gais pesekutuan dalam, yaitu m dan n. m k n l Gamba 7.5 : ua lingkaan yang saling lepas. Gais Singgung Lingkaan 161
2. Gais Singgung esekutuan Lua a. elukis Gais Singgung esekutuan Lua isalnya tedapat dua lingkaan saling lepas dengan pusat dan seta jaijai dan. agaimana caa melukis gais singgung pesekutuan lua dai lingkaan dan tesebut? elajailah langkah-langkah beikut. 1) Langkah 1 uatlah dua lingkaan dengan pusat dan seta jai-jai dan ( < ). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya. lus + Gais yang menghubungkan pusat lingkaan dan pusat lingkaan, yaitu disebut gais sental dai kedua lingkaan tesebut dan meupakan sumbu simeti. 2) Langkah 2 uatlah busu lingkaan sebaang yang bepusat di dan dengan jai-jai yang sama dan panjangnya haus lebih besa dai, sehingga bepotongan di titik dan N. 3) Langkah 3 Hubungkan dan N sehingga memotong di titik. N 162 udah elaja atematika untuk Kelas VIII N
4) Langkah 4 Gamba lingkaan yang bepusat di titik dengan jai-jai. N 5) Langkah 5 Lukislah busu lingkaan yang bepusat di titik dengan jai-jai sehingga memotong lingkaan yang bepusat di pada titik dan. N 6) Langkah 6 Hubungkan dengan dan dengan, kemudian pepanjang kedua gais tesebut sehingga memotong lingkaan yang bepusat di pada titik dan. N Gais Singgung Lingkaan 163
7) Langkah 7 Lukislah busu lingkaan dengan pusat di dan jai-jai sehingga memotong lingkaan yang bepusat di di titik E. Lukislah busu lingkaan dengan pusat di dan jai-jai sehingga memotong lingkaan yang bepusat di di titik F. 8) Langkah 8 Langkah teakhi adalah menghubungkan dengan E dan dengan F. Gais E dan F adalah gais singgung pesekutuan lua dua lingkaan yang bepusat di dan. b. enghitung anjang Gais Singgung esekutuan Lua ehatikan gamba beikut ini. E F E F S l l k lus + Jika gais sejaja dipotong oleh sebuah gais lain maka pasangan sudutsudut yang sehadap sama besa Gais meupakan gais singgung pesekutuan lua dua lingkaan yang bepusat di dan. = adalah jai-jai lingkaan yang bepusat di atau lingkaan petama. = adalah jai-jai lingkaan yang bepusat di atau lingkaan kedua. l adalah panjang gais singgung pesekutuan lua. k adalah jaak antaa kedua titik pusat dan. S meupakan tanslasi dai, sehingga panjang = panjang S = l. anjang S = =. sejaja S sehingga = S = 90 (sehadap) 164 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
Sekaang, pehatikan S. leh kaena S = 90 maka kita bisa meng gunakan teoema ythagoas untuk mencai panjang S. S siku-siku di S sehingga 2 = S 2 + S 2 S 2 = 2 S 2 l 2 = k 2 ( ) ; > l = k ( ) Jadi, panjang gais singgung pesekutuan lua dua lingkaan adalah: l = k ( ), untuk > dengan: l = panjang gais singgung pesekutuan lua k = jaak kedua titik pusat lingkaan = jai-jai lingkaan petama = jai-jai lingkaan kedua ontoh Soal 7.2 ada gamba di samping, adalah gais singgung pesekutuan lua dua lingkaan yang bepusat di dan. Hitunglah panjang. Jawab : ai gamba dipeoleh: jaak kedua titik pusat lingkaan, k = 17 cm, panjang jai-jai lingkaan petama, = 25 cm, panjang jai-jai lingkaan kedua, = 17 cm, panjang gais singgung pesekutuan lua = l. l = = k - ( ) 17 ( 25 17) 7 cm = 17-8 = 289 64 = 15 cm Jadi, panjang gais singgung l adalah 15 cm 13 cm 2 cm Solusi atematika iketahui dua buah lingkaan dengan pusat dan dengan panjang jai-jai masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jaak = 13 cm maka panjang gais singgung pesekutuan lua kedua lingkaan tesebut adalah... a. 5 cm b. 6 cm c. 12 cm d. 15 cm Jawab: Kedua lingkaan pada soal dapat digambakan sebagai beikut. 7 cm 2 cm l 13 cm = 7 cm = 2 cm k = 13 cm anjang gais singgung pesekutuan lua kedua lingkaan (l) adalah l = k - ( - ) 2 = 13-7 - 2 = 13-5 = 169 + 25 = 144 = 12 Jawaban: c Soal UN, 2007 ontoh Soal 7.3 ada gamba di samping, lingkaan bejai-jai 7 cm dan lingkaan bejai-jai 5 cm. entukan panjang gais singgung pesekutuan lua. Jawab : ai soal diketahui: = = 7 cm = = 5 cm Kedua lingkaan besinggungan di lua sehingga jaak kedua titik pusat lingkaan adalah. Gais Singgung Lingkaan 165
lus + ada bentuk aka belaku sifat: a + b = a b ; a 0 dan b 0 = + = 7 + 5 = 12 cm maka = ( ) ( ) = 12 ( 7 5) = 12 2 = 144 4 = 140 = 2 35 Jadi, panjang gais singgung adalah 2 35 cm 3. Gais Singgung esekutuan alam a. elukis Gais Singgung esekutuan alam ehatikan langkah-langkah melukis gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan beikut ini. 1) Langkah 1 Lukislah dua lingkaan dengan pusat dan seta jai-jai masingmasing dan ( < ), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya. 2) Langkah 2 uatlah busu lingkaan yang bepusat di dan dengan jai-jai yang panjangnya sama dan haus lebih besa dai 1 2 di titik dan N. sehingga bepotongan 3) Langkah 3 Hubungkan dan N sehingga memotong di titik. N 166 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
N 4) Langkah 4 Lukislah lingkaan yang bepusat di dengan jai-jai. N 5) Langkah 5 Lukislah busu lingkaan yang bepusat di dan bejai-jai + sehingga memotong lingkaan yang bepusat di pada titik dan. 6) Langkah 6 Hubungkan titik pusat dengan dan dengan sehingga memotong lingkaan dengan pusat di titik dan. Gais Singgung Lingkaan 167
7) Langkah 7 Lukislah busu lingkaan dai dengan jai-jai sehingga memotong lingkaan yang bepusat di pada titik E. Lukislah busu lingkaan dai dengan jai-jai sehingga memotong lingkaan yang bepusat di pada titik F. F E 8) Langkah 8 eakhi, hubungkan dengan E dan dengan F. Gais E dan F adalah gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan yang bepusat di dan. F E 168 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
b. enghitung anjang Gais Singgung esekutuan alam ehatikan gamba beikut ini. S k d d Gais meupakan gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan yang bepusat di dan di. = adalah jai-jai lingkaan yang bepusat di atau lingkaan petama dan = adalah jai-jai lingkaan yang bepusat di atau lingkaan kedua. S = S + = + = + = +. d adalah panjang gais singgung pesekutuan dalam. k adalah jaak antaa kedua titik pusat dan. S meupakan tanslasi dai, sehingga S sejaja dan panjang S = panjang = d. leh kaena S sejaja maka S = = 90. Sekaang pehatikan ΔS. leh kaena ΔS meupakan segitiga siku-siku dengan S = 90 maka kita bisa menggunakan teoema ythagoas untuk mencai panjang S. 2 = S 2 + S 2 S 2 = 2 S 2 d 2 = k 2 ( + ) 2 d = k 2 - ( + ) 2 Jadi, panjang gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan adalah d = k - ( + ) dengan: d = panjang gais singgung pesekutuan dalam k = jaak kedua titik pusat lingkaan = jai-jai lingkaan petama = jai-jai lingkaan kedua ontoh Soal 7.4 ugas 7.1 enahkah kamu melihat gehana bulan? ahukah kamu saat tejadi gehana bulan, posisi antaa atahai dan umi ini membentuk dua gais singgung pesekutuan. Sekaang, cailah infomasi (gamba) mengenai kedudukan atahai dan bumi saat tejadi gehana bulan. Kemudian, coba kamu hitung panjang gais singgung pesekutuan itu iketahui dua lingkaan dengan jai-jai 14 cm dan 4 cm. entukan panjang gais singgung pe sekutuan dalam kedua lingkaan tesebut jika jaak antaa kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Gais Singgung Lingkaan 169
oblematika Jawab : Soal tesebut dapat disajikan dalam gamba beikut. 2 Hitunglah keliling dan luas pesegipanjang jika diketahui panjang gais singgung pesekutuan lua = 3 2 cm. 14 cm 30 cm 4 cm iketahui k = 30 cm = 14 cm = 4 cm Solusi atematika anjang = 20 cm, = 25 cm, dan = 9 cm. ebandingan luas lingkaan yang bepusat di dengan luas lingkaan yang bepusat di adalah... a. 3 : 2 b. 5 : 3 c. 9 : 4 d. 9 : 7 Jawab: = - + = - + 20 = 25-9 + ) 2 400 = 625-9 + 2 9 + = 15 = 6 L : L p : p p9 2 : p6 2 81p : 36p 9:4 ) 2 2 Jawaban: c Soal UN, 2003 sehingga d = k ( + ) ontoh Soal 7.5 anjang gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya tepisah sejauh 17 cm. Jika panjang jai-jai salah satu lingkaan adalah 3 cm, tentukan panjang jai-jai lingkaan yang lain. Jawab : anjang gais singgung pesekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm. Jaak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm. anjang jai-jai () salah satu lingkaan adalah 3 cm maka = 3 cm. d = k ( + ) = 30 ( 14 + 4) = 30 18 = 900 324 = 576 = 24 Jadi, panjang gais singgung pesekutuan dalamnya adalah 24 cm 15 = 17 ( 3+ ) 2 15 2 = 17 2 (3 + ) 2 225 = 289 (3 + ) 2 (3 + ) 2 = 289 225 (3 + ) 2 = 64 3 + = 8 = 8 3 = 5 Jadi, panjang jai-jai yang lain adalah 5 cm 4. anjang Sabuk Lilitan inimal yang menghubungkan ua Lingkaan enahkah kamu mengganti antai oda sepedamu? agaimana kamu menentukan aga panjang antai yang dipelukan tidak telalu panjang atau telalu pendek? 170 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
( ( ( ( Jika kamu pehatikan, dua oda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaan dan antai yang melilitnya sebagai gais singgung pesekutuan lua. ehatikan gamba beikut ini. S α 360 α Jika α menyatakan besa sudut yang menghadap busu S maka besa sudut yang menghadap busu adalah 360 α. Kenapa demikian? ahukah kamu alasannya? edasakan uaian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan dua lingkaan. leh kaena = maka anjang sabuk lilitan minimal = 2 + S + engan, = ( ) ( ) a S = 360 2ϖ = 360 a 2ϖ 360 oblematika Gamba beikut ini adalah penampang sepuluh buah paalon yang akan diikat dengan menggunakan tali. eapakah panjang tali tependek aga dapat mengikat paalonpaalon itu jika diamete paalon 21 cm? ( ( ( ontoh Soal 7.6 ua buah pipa ai dengan jai-jai yang sama, yaitu 21 cm akan diikat menggunakan seutas kawat. eapa panjang kawat minimal yang dibutuhkan? Jawab : Jai-jai = 21 cm sehingga = = 21 cm = S = dan S = maka panjang kawat minimal untuk mengikat dua pipa ai, misalkan x, adalah x = 2 + 2 S 180 = 2 (21 + 21) + 2 360 2 22 7 21 1 = 2 42 + 2 2 22 3 2 = 84 + 132 = 216 Jadi, panjang kawat tependek yang dipelukan adalah 216 cm S Gais Singgung Lingkaan 171
ontoh Soal 7.7 Gamba di samping menunjukkan penampang 3 buah paalon yang teikat apat oleh seutas tali. Jika ketiga paalon tesebut memiliki ukuan jaijai yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya. Jawab : Jai-jai = = 14 cm. = S = U = N = N = = 2 = 2 14 = 28 cm ΔN sama sisi, sehingga N = N N = 60 N = S = U = 360 ( N + N + N) = 360 (90 + 60 + 90 ) = 360 240 = 120 = S = U = 120 360 2 p ( ( = 1 3 2 22 7 14 = 88 3 cm sehingga x = panjang tali pengikat paalon = + S + U + + S + U = 3 + 3 ( ( ( ( = 3 28 + 3 88 3 = 84 + 88 = 172 Jadi, panjang tali pengikat paalon tesebut adalah 172 cm ( 60 N U S Uji Kompetensi 7.2 Kejakanlah soal-soal beikut. 1. Lukislah gais singgung pesekutuan lua dan gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan beikut ini. a. b. 2. ehatikan gamba beikut ini. S α ß c. edasakan pengamatanmu, jawablah bena atau salah penyataan-penyataan beikut. a. sejaja b. panjang = panjang S c. S d. adalah sumbu simeti bangun tesebut e. α = ß 172 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
3. ehatikan gamba beikut ini. 6. ehatikan gamba beikut. anjang = 25 cm, = 4 cm, dan = 11 cm. eapakah panjang? 4. ua lingkaan masing-masing bejai-jai 8 cm dan 7 cm. Jaak tedekat kedua sisi lingkaan adalah 10 cm. entukan panjang gais singgung pesekutuan lua dua lingkaan tesebut. 5. ua lingkaan masing-masing bepusat di titik dan dengan panjang jai-jai 10 cm dan 6 cm. Jika jaak kedua titik pusat lingkaan adalah 34 cm, tentukan panjang gais singgung. 2 5 4 N anjang = 2, = 4, dan N = 5. Jika = 2 cm, tentukan jaak antaa kedua titik pusat lingkaan dan panjang gais singgung pesekutuan dalam kedua lingkaan tesebut. 7. iga buah pipa paalon, akan diikat sepeti tampak pada gamba di bawah. Jika jai-jai ketiga paalon tesebut sama, yaitu 10 cm, tentukan panjang tali minimal yang dipelukan untuk mengikat paalon tesebut.. Lingkaan Lua dan Lingkaan alam Segitiga ada subbab teakhi ini, kamu akan mempelajai tentang lingkaan yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaan lua dan lingkaan dalam suatu segitiga. 1. Lingkaan Lua Segitiga a. engetian Lingkaan Lua Segitiga Lingkaan lua suatu segitiga adalah suatu lingkaan yang melalui semua titik sudut segitiga dan bepusat di titik potong ketiga gais sumbu sisi-sisi segitiga. Gamba di samping menunjukkan lingkaan lua Δ dengan pusat. = = adalah jai-jai lingkaan dan = = adalah gais sumbu sisi-sisi segitiga. b. elukis Lingkaan Lua Segitiga elah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaan lua suatu segitiga adalah titik potong ketiga gais sumbu sisi-sisinya. leh kaena itu, untuk dapat melukis lingkaan lua segitiga, kamu haus melukis dulu gais sumbu ketiga sisi segitiga tesebut. ehatikan langkah-langkah beikut. 1) Lukislah sebuah segitiga sebaang, misalnya Δ. Kemudian, lukis lah gais sumbu. 2) Lukislah gais sumbu sehingga memotong gais sumbu di titik. Gais Singgung Lingkaan 173
3) Hubungkan dan. 4) Lukislah lingkaan dengan jai-jai dan bepusat di. Lingkaan tesebut meupakan lingkaan lua Δ. (1) (2) (3) (4) 2. Lingkaan alam Segitiga a. engetian Lingkaan alam Segitiga Lingkaan dalam suatu segitiga adalah lingkaan yang beada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tesebut. itik pusat lingkaan meupakan titik potong ketiga gais bagi sudut segitiga. Gamba beikut menunjukkan lingkaan dalam Δ dengan pusat. iketahui = = adalah jai-jai lingkaan. dapun, E, dan EF adalah gais bagi sudut segitiga. E F 174 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
b. elukis Lingkaan alam Segitiga Jika titik pusat lingkaan dalam segitiga adalah titik potong ketiga gais bagi sudut segitiga tesebut maka hal petama yang haus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana caa melukis gais bagi sudut segitiga, bukan? atei tesebut telah kalian pelajai di Kelas VII. ga lebih jelas, pehatikan langkah-langkah melukis lingkaan dalam segitiga, sebagai beikut. 1) Lukislah sebuah segitiga sebaang, misalkan Δ. Kemudian, lukislah gais bagi. 2) Lukislah gais bagi sehingga memotong gais bagi di titik. 3) Jai-jai dipeoleh dengan caa menaik gais tegak luus dai titik ke salah satu sisi segitiga. isalnya, tegak luus. 4) Lukislah lingkaan dengan jai-jai dan bepusat di titik. Lingkaan tesebut meupakan lingkaan dalam Δ. lus + Gais bagi segitiga adalah gais yang membagi setiap sudut pada segitiga menjadi dua sudut yang sama besa. (1) (2) (3) (4) Gais Singgung Lingkaan 175
Uji Kompetensi 7.3 Kejakanlah soal-soal beikut. 1. Lukislah lingkaan lua dan lingkaan dalam segitigasegitiga beikut ini. a. 2. Lukislah lingkaan yang melalui titik-titik beikut ini. a. b. b. c. N c. d. d. K L 176 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
angkuman 1. Gais singgung lingkaan adalah gais yang memotong lingkaan tepat di satu titik yang disebut titik singgung lingkaan. 2. Setiap gais singgung lingkaan selalu tegak luus tehadap jai-jai (diamete) yang melalui titik singgungnya. 3. ai satu titik pada lingkaan hanya dapat dibuat satu gais singgung. 4. ai satu titik di lua lingkaan dapat dibuat dua gais singgung lingkaan. 5. Gais singgung pesekutuan adalah gais yang tepat menyinggung dua lingkaan. 6. ai dua lingkaan yang saling lepas dapat dibuat dua gais singgung pesekutuan lua dan dua gais singgung pesekutuan dalam. 7. anjang gais singgung pesekutuan lua (l) dan gais singgung pesekutuan dalam (d) dapat dicai dengan: l = k ( + ) d = k ( + ) di mana: l = panjang gais singgung pesekutuan lua d = panjang gais singgung pesekutuan dalam k = jaak kedua titik pusat lingkaan = jai-jai lingkaan petama = jai-jai lingkaan kedua 8. Lingkaan lua segitiga adalah lingkaan yang melalui semua titik sudut segitiga dan bepusat di titik potong ketiga gais sumbu sisi-sisi segitiga. 9. Lingkaan dalam suatu segitiga adalah lingka an yang beada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga dan bepusat di titik potong ketiga gais bagi sudut segitiga. ada bab Gais Singgung Lingkaan ini, menuutmu bagian mana yang paling menaik untuk dipelajai? Setelah mempelajai bab ini, apakah kamu measa kesulitan memahami matei tetentu? atei apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajai matei bab ini? Gais Singgung Lingkaan 177
eta Konsep Lingkaan mempelajai tentang Gais Singgung Lingkaan Hubungan Lingkaan dengan Segitiga tedii atas engetian dan Sifat Gais Singgung Gais Singgung esekutuan Lingkaan Lua Segitiga Lingkaan alam Segitiga Gais Singgung esekutuan Lua umus Gais Singgung esekutuan alam umus elukis Lingkaan Lua dan alam Segitiga l = k ( ) d = k -( + ) 178 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
Uji Kompetensi ab 7. ilihlah satu jawaban yang bena. 1. Gais di bawah ini yang meupakan gais singgung lingkaan adalah... a. 4. ehatikan gamba beikut b. c. Jika panjang = 2 cm dan panjang = 7 cm maka luas bidang adalah... a. 4 5 cm 2 c. 6 5 cm 2 b. 5 5 cm 2 d. 7 5 cm 2 5. ehatikan gamba beikut ini. N d. 2. ehatikan gamba beikut. 3. 10 cm 24 cm anjang adalah... a. 16 cm b. 26 cm c. 34 cm d. 36 cm ada gamba, panjang jai-jai = 10 cm dan jaak = 26 cm. Luas Δ adalah... a. 120 cm 2 b. 140 cm 2 c. 160 cm 2 d. 180 cm 2 S ua lingkaan besinggungan sepeti tampak pada gamba. anjang = 15 cm, panjang = 10 cm, dan N = 30 cm. ebandingan N dan N adalah... a. 3 15 : 2 b. 15 : 3 2 c. 2 : 3 15 d. 3 2 : 15 6. ehatikan gamba beikut Kedua lingkaan pada gamba di atas memiliki... a. satu gais singgung pesekutuan lua dan satu gais singgung pesekutuan dalam b. satu gais singgung pesekutuan lua dan dua gais singgung pesekutuan dalam c. dua gais singgung pesekutuan lua dan satu gais singgung pesekutuan dalam d. dua gais singgung pesekutuan lua dan dua gais singgung pesekutuan dalam Gais Singgung Lingkaan 179
7. 11. ehatikan gamba beikut ini. ada gamba tesebut, panjang jai-jai = 8 cm, panjang jai-jai = 3 cm, dan jaak = 13 cm. Luas tapesium adalah... a. 46 cm 2 b. 56 cm 2 c. 66 cm 2 d. 76 cm 2 8. anjang jai-jai dua lingkaan masing-masing adalah 2 cm dan 10 cm. anjang gais singgung pesekutuan luanya adalah 15 cm. Jaak kedua titik pusat lingkaan adalah... a. 13 cm b. 17 cm c. 23 cm d. 17 cm 9. ehatikan gamba beikut ini. 10. S ua lingkaan bepotongan di dan. asingmasing lingkaan bejai-jai 6 cm dan 8 cm. Jika panjang = 4 cm maka panjang gais singgung S adalah... a. 3 5 b. 4 5 c. 3 6 d. 4 6 F E ada gamba di atas, meupakan titik singgung. anjang = 10 cm, E = 6 cm, dan = 10 cm. anjang dan masing-masing adalah... a. 6 cm dan 41 cm b. 8 cm dan 2 41 cm c. 10 cm dan 3 41 cm d. 12 cm dan 4 41 cm S anjang = 4 cm, panjang = panjang S = 2 cm. anjang gais singgung pesekutuan dalam adalah... a. 2 7 b. 3 7 c. 4 7 d. 5 7 12. ehatikan gamba di bawah ini. 3,5 cm 11 cm 8 cm 20 cm E 1,5 cm anjang = 3,5 cm, panjang E = 1,5 cm, dan jaak = 8 cm. Luas Δ adalah... a. 5 39 b. 1 2 39 c. 5 2 39 d. 3 2 39 13. ehatikan gamba beikut. 5 cm anjang gais singgung pesekutuan dalam adalah... a. 12 cm b. 14 cm c. 16 cm d. 18 cm 14. ua lingkaan bejai-jai 15 cm dan 9 cm. Jaak tedekat kedua sisi lingkaan tesebut adalah 16 cm. anjang gais singgung pesekutuan dalam kedua lingkaan tesebut adalah... a. 32 cm b. 34 cm c. 36 cm d. 38 cm 180 udah elaja atematika untuk Kelas VIII
15. ebandingan jai-jai dua lingkaan adalah 1 : 2. anjang gais singgung pesekutuan dalam kedua lingkaan tesebut adalah 12 cm dan jaak antaa kedua pusatnya 15 cm. anjang jai-jai masingmasing lingkaan adalah... a. 2 cm dan 4 cm b. 3 cm dan 6 cm c. 4 cm dan 8 cm d. 5 cm dan 10 cm 16. iketahui dua lingkaan yang masing-masing bejai-jai dan + 1. anjang gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan tesebut adalah 3. Jika jaak kedua titik pusat lingkaan adalah 15 cm maka panjang adalah... a. 3 cm b. 4 cm c. 5 cm d. 6 cm 17. Gamba beikut meupakan penampang lintasan lai di sebuah gelanggang olahaga. ihak pengelola beencana untuk memasang paga di sekeliling lintasan. Jika ongkos untuk memasang paga adalah p140.000,00 pe mete maka jumlah uang minimal yang haus disediakan adalah... 19. Gamba di bawah ini adalah penampang 10 buah gelas bebentuk tabung dengan jai-jai 10 cm. anjang tali minimal yang dipelukan untuk mengikat gelas-gelas tesebut dengan susunan sepeti dalam gamba adalah... a. 261,8 cm b. 262,8 cm c. 261,6 cm d. 262,6 cm 20. Lingkaan lua segitiga dipelihatkan oleh gamba... a. b. 140 m 100 m a. p81.200.000,00 b. p82.200.000,00 c. p83.200.000,00 d. p84.200.000,00 18. Gamba beikut ini adalah penampang 6 buah kaleng cat yang bebentuk tabung dan bejaijai 14 cm. anjang tali tependek yang dibutuhkan untuk mengikat keenam kaleng cat tesebut adalah... c. d. a. 256 cm b. 258 cm c. 260 cm d. 262 cm. Kejakanlah soal-soal beikut 1. anjang jai-jai dua lingkaan adalah 20 cm dan 10 cm. Jaak antaa kedua pusat lingkaan itu 50 cm. Hitunglah panjang gais singgung pesekutuan lua dan gais singgung pesekutuan dalamnya. 2. ua lingkaan yang bepusat di dan tepisah sejauh 25 cm. anjang gais singgung pesekutuan dalam dua lingkaan tesebut 34 cm. Jika diketahui jai-jai lingkaan dengan pusat adalah 4 cm, hitunglah jai-jai lingkaan dengan pusat. Gais Singgung Lingkaan 181
3. ehatikan gamba beikut. anjang = 24 cm, = 30 cm dan = 10 cm. Hitunglah pebandingan luas lingkaan yang be pusat di dengan luas lingkaan yang bepusat di. 4. Lima buah pipa disusun sepeti gamba beikut. Jika diamete pipa itu 20 cm, beapakah panjang tali minimal untuk mengikat lima pipa itu. 5. Lukislah lingkaan dalam dan lingkaan lua dai sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 5 cm. 182 udah elaja atematika untuk Kelas VIII