PENGEMBANGAN RUANG FUNGSI KLASIK Oleh: Encum Sumiaty FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bandung e-mail: e.sumiaty@yahoo.com Abstrak Diketahui ruang fungsi klasik L (, ). Melalui oerator T ada ruang fungsi klasik L (, ). akan dibentuk sebuah ruang fungsi baru yang dinamai ruang fungsi Cesaro CES. Selanjutnya, ada karya tulis ini diaarkan ula bahwa ruang fungsi Cesaro meruakan ruang yang lengka terhada norm yang didefinisikan adanya, memunyai sifat solid, dan terbagi. Kata Kunci: Ruang fungsi klasik L (, ), Oerator, Ruang fungsi Cesaro CES., sifat solid, dan sifat terbagi.
PENGEMBANGAN RUANG FUNGSI KLASIK Oleh: Encum Sumiaty FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bandung e-mail: e.sumiaty@yahoo.com A. Pendahuluan Pembahasan mengenai suatu ruang fungsi baru selalu dikaitkan dengan embentukannya, dan sifatsifat yang berlaku ada ruang fungsi tersebut. Oleh karena itu, yang menjadi kajian utama dalam karya tulis ini adalah bagaimana definisi ruang fungsi yang baru (ruang fungsi Cesaro) yang dikaitkan dengan ruang fungsi klasik L (, ), dan menelusuri sifat-sifat yang berlaku ada ruang fungsi baru (ruang fungsi Cesaro).Secara khusus, masalah tersebut daat dibagi menjadi dua bagian, yaitu:. Bagaimana definisi ruang fungsi Cesaro 2. Sifat-sifat aa yang berlaku ada ruang fungsi Cesaro. B.Teori Pendukung Definisi ( Norma, Ruang Bernorma, Ruang Banach ) Diberikan X suatu ruang vektor. (i) Sebuah norma ada ruang X yang dinotasikan dengan. adalah fungsi yang memetakan unsur-unsur di X ker, sehingga untuk setia,y X dan a R memenuhi: (N), dan = = (N2) α = α (N3) +y + y (ii) Ruang vektor X yang dilengkai dengan. disebut ruang bernorma yang dinotasikan dengan (X, ) atau X. (iii) Ruang bernorma X ((X, )) disebut ruang Banach jika untuk setia barisan Cauchy ada X konvergen di X. Dengan kata lain X ruang bernorma yang lengka. Teorema 2 Hubungan antara ruang metrik dengan ruang bernorma dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Jika X ruang bernorma maka X ruang metrik. Dengan mendefinisikan suatu fungsi d(,y)= y maka fungsi tersebut jelas akan memenuhi syarat dari suatu metrik Teorema 3 (Kelengkaan L (, ) Ruang fungsi klasik L (, ), < < adalah ruang fungsi bernorma yang lengka. 2. Himunan Solid Definisi 4 Diberikan X suatu himunan tak kosong.. X dikatakan solid jika y untuk suatu X mengakibatkan y X. 3. Himunan Padat dan Ruang Terbagi Definisi 5 (Himunan Padat ) Diberikan X suatu ruang metrik. Sebuah himunan bagian M dari X dikatakan adat di X jika M = X. Dengan M menyatakan enutu dari M. Definisi 6 (Ruang Terbagi) Diberikan X suatu ruang metrik. X dikatakan terbagi (searable) jika memiliki himunan bagian terhitung (countable) yang adat di X. Definisi 8 (Fungsi Tangga) Misalkan I R adalah sebuah interval dan misalkan s:i R. Fungsi s disebut fungsi tangga jika s hanya memiliki berhingga nilai berbeda, setia nilai diasumsikan ada satu interval atau lebih. Berikut ini adalah definisi dari fungsi terukur. Definisi 9 (Fungsi Terukur) Sebuah fungsi f :[a,b] R dikatakan terukur jika terdaat sebuah barisan fungsi tangga {s k } ada [a,b] sehingga f ( ) lim s ( ) k k untuk setia [a,b]. C. Hasil Kajian. Pembentukan Ruang Fungsi Cesaro
Misal A adalah suatu oerator linear dan Y adalah sebuah ruang fungsi. Didefinisikan ruang baru X, X : { f : Af Y}. Asumsikan bahwa emetaan dari X ke Y adalah satu-satu dan surjektif. Proses embentukan ruang fungsi Cesaro dinyatakan dalam definisi berikut. Definisi Misal X : { f : Af Y}. X disebut ruang fungsi Cesaro yang dinotasikan dengan CES jika A adalah oerator linear T dengan { T f ( ) dan Y L (, ), Dengan kata lain f (, ) jika dan hanya jika L d / Berdasarkan Definisi di atas menunjukkan bahwa ruang fungsi Cesaro memuat semua fungsi terukur f sehingga jika ditransformasikan oleh oerator T terdaat ada ruang fungsi klasik L (, ). 2. Ruang fungsi Cesaro meruakan ruang fungsi yang lengka Banach terhada norma yang didefinisikan sbb f d / 3. Ruang fungsi Cesaro CES adalah ruang solid. Bukti: Misalkan f CES, maka T f L (, ), denan ( T f )( ) Jika g ( untuk setia t (, ), maka ( T g )( ) g( Hal ini berarti bahwa T g L (, ). Dengan kata lain g CES Terbukti bahwa CES meruakan ruang solid.
3. Ruang fungsi Cesaro CES adalah ruang terbagi (searable). Bukti: Misalkan W adalah ruang dari semua fungsi terukur bernilai rasional (, ) sehingga norma d / konvergen Akan ditunjukkan bahwa W meruakan subruang dari ruang CES, yaitu dengan menunjukkan bahwa W meruakan ruang bernorma. Diambil sebarang f, g W dan skalar, dieroleh / (N ) f d dan f f ( untuk semua t (, ), sebab f d / = = = (karena (, ), maka f ( = f( = (N 2 ) f d / d / = d /
= d / = d / =. f (N 3 ) f g ( f g)( d / d / g( d / = f g Karena norma yang didefinisikan memenuhi aksioma norma (N ), (N 2 ), dan (N 3 ), maka W meruakan subruang fungsi bernorma. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa W adat di CES. Perhatikan himunan dari semua fungsi bernilai rasional dan semua titik akumulasinya yaitu fungsi bernilai irrasiona W, sehingga membentuk ruang fungsi CES, Ini berarti W = CES, Berdasarkan definisi, maka CES meruakan ruang terbagi 4. Ruang fungsi Cesaro CES adalah ruang solid. Bukti: Misalkan f CES, maka T f L (, ), denan ( T f )( ) Jika g ( untuk setia t (, ), maka ( T g )( ) g( Hal ini berarti bahwa T g L (, ). Dengan kata lain g CES Terbukti bahwa CES meruakan ruang solid.
5. Ruang fungsi Cesaro CES adalah ruang terbagi (searable). Bukti: Misalkan W adalah ruang dari semua fungsi terukur bernilai rasional (, ) sehingga norma d / konvergen Akan ditunjukkan bahwa W meruakan subruang dari ruang CES, yaitu dengan menunjukkan bahwa W meruakan ruang bernorma. Diambil sebarang f, g W dan skalar, dieroleh / (N ) f d dan f f ( untuk semua t (, ), sebab f d / = = = (karena (, ), maka f ( = f( = (N 2 ) f d / d / = d /
= d / = d / =. f (N 3 ) f g ( f g)( d / d / g( d / = f g Karena norma yang didefinisikan memenuhi aksioma norma (N ), (N 2 ), dan (N 3 ), maka W meruakan subruang fungsi bernorma. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa W adat di CES. Perhatikan himunan dari semua fungsi bernilai rasional dan semua titik akumulasinya yaitu fungsi bernilai irrasiona W, sehingga membentuk ruang fungsi CES, Ini berarti W = CES, Berdasarkan definisi, maka CES meruakan ruang terbagi