BAB I PENDAHULUAN. Pengntr Logik dn Himpunn Mtemtik mempunyi hs dn turn yng terdefinisi dengn ik, penlrn yng jels dn sistemtik, dn struktur yng sngt kut. Dengn ergi keungguln ini mtemtik digunkn segi sutu cr pendektn dlm mempeljri ilmu pengethun dn teknologi dn dlm menyelesikn mslh yng rumit. Mtemtik jug merupkn lt ntu dlm menyelesikn mslh dlm ergi disiplin ilmu. Dengn mtemtik, sutu mslh nyt dpt diliht dlm sutu model yng strukturny jels, tept dn entukny kompk (singkt dn pdt). Unsur utm dlm pekerjn mtemtik dlh penlrn deduktif dn induktif. Penlrn deduktif ekerj dengn ergi sumsi, tidk dengn pengmtn. Sedngkn penlrn induktif ekerj erdsrkn fkt dn fenomen yng muncul untuk smpi kepd sutu perkirn tertentu. Tetpi perkirn yng diperoleh tidk dpt diterim egitu sj, hrus diykinkn keenrnny tu diuktikn secr deduktif. Proses induktif deduktif dpt digunkn segi slh stu cr dlm mempeljri sutu konsep mtemtik.... Sistem Aksiom Mtemtik dingun erdsrkn sutu sistem yng memut eerp istilh dsr dn sift yng keenrnny diterim tnp pemuktin. Sutu sistem mtemtik merupkn penerpn ergi metode secr ksiomtik dri logik ts sekelompok unsur, relsi dn opersi. Pemilihn eerp sift dsr yng diut konsisten kn menentukn sutu sistem secr utuh. Dlm proses penlrn mtemtik, sutu rumus (teorem) mtemtik terdiri dri eerp hipotesis dn kesimpuln. Penlrn dilik sistem logik dpt diphmi erdsrkn sift sistem dn opersi yng dirncng di dlmny. Sistem ksiom terdiri dri empt gin penting, yitu istilh tk terdefinisi, terdefinisi, ksiom, dn teorem. Mtemtik Dsr
Istilh Tk Terdefinisi Istilh dsr (primitif) yng digunkn untuk memngun istilh lin, rti istilhny sendiri tidk didefinisikn, tetpi deskripsiny d. Pd sutu sistem mtemtik tertentu, kit mengenl istilh tk terdefinisi, seperti titik, gris, idng, himpunn dn seginy. Istilh Terdefinisi Istilh yng digunkn dlm sistem, ukn istilh dsr, dn dirumuskn dri istilh dsr sehingg mempunyi rti tertentu dn perumusnny menjdi sutu pernytn yng enr. Dlm sutu definisi, istilh jik errti jik dn hny jik. Sutu definisi yng ik mempunyi ciri erikut : jels, tept dn mempunyi sutu mkn; hny menggunkn istilh dsr tu yng telh d seelumny konsisten, dlm setip ksus mempunyi rti yng sm jngkunny cukup lus untuk dpt memut senyk mungkin ojek dri sistem. Aksiom tu Postult Aksiom dlh sutu pernytn yng dindikn enr pd sutu sistem dn diterim tnp pemuktin. Aksiom hny memut istilh dsr dn istilh terdefinisi, tidk erdiri sendiri dn tidk diuji keenrnny. Sekelompok ksiom dlm sutu sistem hrus konsisten, dpt memngun sistem terseut dn tidk sling ertentngn. Teorem Teorem dlh sutu pernytn mtemtik yng dirumuskn secr logik dn diuktikn dengn memnftkn istilh dsr, istilh terdefinisi, ksiom dn pernytn enr linny. Mtemtik Dsr
Pernytn Sutu pernytn mtemtik (disingkt pernytn) dlh rngkin kt yng dpt ditentukn nili keenrnny, yitu enr tu slh.dintr enr dn slh hny erlku slh stu : enr sj tu slh sj dn tidk mungkin keduny sekligus. Ukurn enr tu slhny sutu pernytn tidk didsrkn ts opini tu pendpt. Contoh. () Setip segitig sm sisi dlh segitig sm kki (B) () Setip persegi pnjng dlh jjrn genjng (B) (c) Jik 9, mk (S) (d) Pd sistem ilngn riil, persmn 4 tidk mempunyi jw (B) (e) Merek mhsisw Unhs (klimt teruk, ukn pernytn) (f) 8 (klimt teuk,ukn pernytn) Klimt yng tidk dpt ditentukn nili keenrnny diseut ukn pernytn (klimt nondeklrtif). Mislny klimt tny, klimt perinth, klimt hrpn, klimt teruk (klimt yng mempunyi esrn yng tidk dikethui) semuny ukn pernytn kren tidk dpt ditentukn nili enr tu slhny. Slh stu dsr dlm Mtemtik yng hrus diphmi dlh konsep seuh himpunn. Himpunn didefinisikn segi kumpuln ojek-ojek yng ered. Mhsisw-mhsisw yng mengmil mtkulih Mtemtik dsr, uku-uku yng dijul dlm sutu toko, hewn-hewn yng d di keun intng, dn lin-lin dlh contoh sutu himpunn. Bisny himpunn dinotsikn dengn huruf cpitl, seperti A, B, C, Ojek dlm himpunn diseut elemen/nggot himpunn, yng disimolkn dengn huruf kecil... Sistem Bilngn Riil Klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn sift-siftny. Tetpi pkh ilngn rel itu dn p sift-siftny? Untuk menjw, kit muli dengn eerp sistem ilngn yng leih sederhn. Mtemtik Dsr
Bilngn Bult dn Rsionl Di ntr sistem ilngn, yng pling sederhn dlh ilngn-ilngn sli, ykni,,,4,5,6,... Dengn ilngn ini kit dpt menghitung: uku-uku kit, ung kit. Jik kit gndengkn negtifny dn nol, kit peroleh ilngn ult, ykni:...,,,,,,,,... Bilmn kit menco mengukur pnjng, ert, tu tegngn listrik, ilngnilngn ult tidk memdi. Bilngn ini terllu renggng untuk memerikn cukup kecermtn. Kit dituntun untuk jug mempertimngkn hsi gi (rsio) dri ilngnilngn ult yitu ilngn-ilngn seperti 7,,, 4 9 6 7 Bilngn-ilngn yng dpt dituliskn dlm entuk m, dengn m dn n dlh n ilngn-ilngn ult dengn n, diseut ilngn-ilngn rsionl. Apkh ilngn-ilngn rsionl erfungsi mengukur semu pnjng? Tidk. Fkt yng mengejutkn ini ditemukn oleh orng Yunni Kuno eerp d seelum msehi. Merek memperlihtkn hw meskipun merupkn pnjng sisi miring seuh segi tig siku-siku dengn sisi-sisi, ilngn ini tidk dpt dituliskn segi sutu hsil gi dri du ilngn ult. jdi dlh sutu ilngn tk rsionl. Demikin jug, 5,, dn sekelompok ilngn lin. Gungn ntr ilngn rsionl dn ilngn tk rsionl diseut ilngn rel. Bilngn-ilngn ini dpt dipndng segi lel untuk titik-titik sepnjng seuh gris mendtr (gris rel). Terdpt lmng-lmng ku untuk mengenli kels-kels ilngn yng telh kit hs. menytkn himpunn ilngn sli (ilngn ult positif), menytkn himpunn ilngn ult, Q menytkn himpunn ilngn rsionl, dn menytkn himpunn ilngn rel. Dri pengenln eerp ilngn, mk Q, disini dlh lmng himpunn gin; dic dlh himpunn gin dri. Mtemtik Dsr 4
Opersi Aritmetik Dierikn du ilngn rel dn y, kit dpt menmhkn tu menglikn keduny untuk memperoleh du ilngn rel ru, ykni y dn y. Penmhn dn perklin mempunyi sift-sift erikut,yng kit kenl dengn sift-sift medn. Sift-sift Medn. Sift komuttif. y y dn y y.. Sift sositif. ( y z) ( y) z dn ( yz) ( y) z.. Sift distriutif. ( y z) y z 4. Elemen-elemen identits. Terdpt du ilngn rel ykni dn yng memenuhi dn. 5. Blikn (invers). Setip ilngn mempunyi likn penmhn, ykni, yng memenuhi ( ). Jug, setip ilngn keculi mempunyi likn perklin, ykni, yng memenuhi.. Pengurngn dn Pemgin didefinisikn dengn y ( y) dn y. y Urutn Bilngn-ilngn rel tk nol dpt dipish menjdi du himpunn terpish, ykni ilngn rel positif dn ilngn rel negtif. Fkt ini memungkinkn kit memperkenlkn relsi urutn (dic kurng dri ), yitu Tfsirn geometri hw y jik dn hny jik y dlh positif. y errti hw erd di seelh kiri y pd gris rel. Mtemtik Dsr 5
Sift-Sift Urutn. Trikotomi. Jik dn y dlh ilngn-ilngn, mk psti stu dintr yng erikut erlku : y tu y tu y. Trnsitif. Jik y dn y z, mk z. Penmhn. Jik y, mk z y z 4. Perklin. Mislkn z positif,jik y, mk z yz, tetpi ilmn z negtif, jik y, mk z yz Relsi urutn (dic kurng dri tu sm dengn ) didefinisikn segi Selng (Intervl) y jik dn hny jik y positif tu nol Beerp jenis selng dn cr penulisn kn diperkenlkn. Ketidksmn mendeskripsikn selng uk yng terdiri dri semu ilngn ntr dn, tidk termsuk titik-titik ujung dn. Kit nytkn dengn lmng ketksmn. Selikny, mendeskripsikn selng tutup yng terdiri dri semu ilngn ntr dn, termsuk titik-titik ujung dn. Kit nytkn dengn lmng. Tel erikut sejumlh esr kemungkinn selng dn cr penulisnny. Intervl Berhingg : seelh kiri dn knn mempunyi ts No Notsi Himpunn Notsi Intervl Grfik,,, 4, Mtemtik Dsr 6
Intervl Tk Berhingg : slh stu sisi tidk mempunyi ts No Notsi Himpunn Notsi Intervl Grfik, [, ) (, ) (, ] 4 Tnd Akr dn Nili Mutlk Konsep nili mutlk sngt ergun dlm klkulus, oleh krenny perlu termpil dlm ekerj dengnny. Nili mutlk sutu ilngn rel, dinytkn dengn didefinisikn segi jik Mislny, 5 5,, 5 ( 5) 5. jik Dri definisi terliht hw, untuk setip ilngn rel, erlku. Slh stu cr terik untuk memyngkn nili mutlk dlh jrk (tk errh).. Khususny, dlh jrk ntr dengn titik sl. Demikin jug, dlh jrk ntr dengn. Mtemtik Dsr 7
Sift-sift nili mutlk (i) (ii) (iii) (ketidksmn segitig) (iv) Ketidksmn yng Menyngkut Nili Mutlk (i) (ii) errti errti tu Kit dpt menggunkn fkt dits untuk menyelesikn yng menyngkut nili mutlk. Contoh. Selesikn ketksmn 4, 5 Penyelesin. 4,5, errti,5, 5. Kemudin msing-msing rus ditmhkn 4, mk ketidksmn menjdi,5 5, 5. Jdi Himpunn penyelesinny dlm entuk selng dlh,5, 5,5 Contoh. Selesikn ketksmn 5 Peyelesin. Ketksmn ini dpt ditulis secr erurutn segi 5 tu 5 4 tu 6 4 tu Jdi Himpunn penyelesinny dlh erup gungn du uh selng yitu :, 4, Mtemtik Dsr 8
Akr Kudrt Mislkn dlh ilngn rel tk negtif. Akr dri (ditulis : ) dlh ilngn tk negtif yng kudrtny sm dengn. Kren hny d stu ilngn tk negtif yng memenuhi definisi ini, definisi ini diktkn well-defined Cttn Jngn mendefinisikn dengn segi penyelesin dri, kren penyelesin persmn ini is ernili negtif, yitu dn. Tetpi kit is mendefinisiknny segi penyelesin tk negtif dri persmn terseut. Perhtikn, untuk setip ilngn non negtif, erlku dn. Sift-sift Akr kudrt (i) (ii) jik dn hny jik Contoh. Di ntr ketig ilngn rel,,, ilngn mnkh yng teresr dnn terkecil? Untuk menjw pertnyn ini, kudrtkn sj ketig ilngn terseut. Kudrt msing-msing ilngn terseut dlh 4 9, 4, 9. Kren 9 4 9 4 8, mk. Berikut kenytn penting yng ermnft untuk diingt hw. Mtemtik Dsr 9
SOAL-SOAL. Bilngn-ilngn seperti dn 4 7 yng dpt dinytkn segi hsil gi du ilngn ult diseut ilngn...?. Ap yng diseut ilngn rel?. Sederhnkn sesederhn mugkin erikut ini: (i) 4 (8 ) + 6 (iv) 4 4 7 8 7 8 (ii) 5 7 (v) 7 4 (iii) 4 5 (vi) 5 4. Cri nili msing-msing yng erikut ; jik tk terdefinisi ktkn demikin.... d. e. c. 6 f. 6.. Mislkn, perlihtkn hw tidk mempunyi rti (tk terdefinisi) 5 6. Perlihtkn hw tidk mempunyi rti. 7. Nytkn pkh msing-msing yng erikut enr tu slh. 7. c. e. d. 5 6 7 6 4 5 44 f. 7 9 7 59 Mtemtik Dsr
8. Tunjukkn msing-msing selng erikut pd gris rel..,. 4, c. 4, d., e., f., 9. Tuliskn dlm notsi selng segi erikut :. : 5. :. Dlm sol erikut crilh himpunn peyelesinnny (i) 4 (ii) 5 (iii) 4 8 (iv) 7 (v) 6 (vi) 4 5 Mtemtik Dsr