LIMIT DAN KEKONTINUAN

BAB 4 LIMIT DAN KEKONTINUAN Everything should made as simple as possible, but no simpler. Albert EINSTEIN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuhnya matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan dan kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai realdengandomainbilanganasli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini. 4.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi lim f(x) =L x c dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakindekatx kepada c semakin dekat pula f(x) kepada L. 2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c. 163

164 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada c. Pada pernyataan ini, jika ada dua bilangan x 1 dan x 2 di mana x 1 lebih dekat dengan c daripada x 2 maka f(x 1 ) lebih dekat dengan L daripada f(x 2 ). Konsekuensinya, jika x = c maka f(x) =L. Pernyataan ini banyak diambil sebagai pengertian limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal pengertian limit secara formal tidak demikian. Sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk definisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria untuk ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian,setiapx yang dekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk ke definisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point) suatuhimpunan. Pengertiantitiklimitsudahdiba- has pada bab sebelumnya. Namun untuk menyegarkan ingatan atau barangkali bab pengantar topologi tidak sempat dipelajari maka ada baiknya konsep ini diberikan terlebih dahulu sebelum masuk pengertian limit fungsi. Definisi 4.1. [Titik Limit] MisalkanA R. Sebuah titik c R dikatakan titik limit A jika setiap persekitaran V δ (c) := (c δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota A selain c, atau (c δ, c + δ) A \{c}, δ >0. (4.1.1) Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya,suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A. Sebelum diberikan contoh, diperhatikanteoremayangmenjaminadanya barisan di dalam A yang konvergen ke titik limit A. Teorema ini dapat dijadikan sebagai kriteria titik limit. Teorema 4.1. Sebuah bilangan real c A adalah titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (a n ) dalam A dengan a n c untuk setiap n N dan lim(a n )=c. Bukti. ( )Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bangunpersekitaran dengan radius δ := 1,yaituV n 1 (c) =(c 1,c+ 1 ). Berdasarkan definisi c n n n titik limit, selalu ada a n A V 1 dengan a n c (lihat 4.1.1). Karena berlaku n a n c < 1 maka disimpulkan lim(a n n)=c. ( )Sebaliknya, diketahui terdapat

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 165 barisan (a n ) dalam A, a n c dan lim(a n )=c, dibuktikanc seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(a n )=cmaka berdasarkan definisi limit barisan, untuk sebarang δ>0 terdapat bilangan asli K sehingga a n c <δ untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya a K A, a K c dan a K V δ yaitu A V δ \{c}. Terbuktic titik limit A. Contoh 4.1. Diberikan himpunan A yang didefinisikan sebagai A = { 1} {x R :0 x<1} {2}. Tentukan himpunan semua titik limit A. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap δ> 0 maka berlaku (x δ, x + δ) A \{x}. Jadisetiapx [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = 1 A. Kita dapat memilih δ 1 > 0 (misalnya δ 1 = 1) 2 sehingga ( 1 δ 1, 1+δ 1 ) A = { 1}. Akibatnya,( 1 δ 1, 1+δ 1 ) A \ { 1} =. Disimpulkan x = 1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x =2.DiperolehhimpunantitiklmitAadalah [0, 1]. Gambar 4.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya2 A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangandidalaminterval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A. Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: 1. Himpunan A yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit. Kita dapat mengambil δ>0 lebih kecil dari jarak antara ketiga bilangan yang berdekatan. Untuk menunjukkan c A bukan titik limit, misalkan ketiga bilangan yang berdekatan tersebut adalah x 1,c dan x 2 dengan x 1 <c<x 2. Ambil δ := 1 2 min{ x 1 c, c x 2 }. Maka pasti berlaku (c δ, c + δ) A \{c} =.

166 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN 2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. 3. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini dikarenakan adanya sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R. 4. Himpunan A = { 1 : n N} hanya mempunyai titik limit 0. n kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya. Dalam Selanjutnya definisi limit fungsi diberikan sebagai berikut. Definisi 4.2. [Limit Fungsi] MisalkanA R dan f : A R, c titik limit A. BilanganL dikatakan limit fungsi f di c, ditulis L = lim x c f(x) (4.1.2) adalah setiap diberikan ε>0 terdapat δ>0 sehingga berlaku 0 < x c <δ f(x) L <ε. (4.1.3) Pada definisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ε yang diberikan sehingga kadang-kadang ditulis sebagai δ = δ(ε) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ε yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x) terhadap L diberikan oleh ε, dankedekatanx dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi (4.1.4) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Ilustrasi definisi limit fungsi diberikan pada Gambar 4.2. Pernyataan 0 < x c <δpada (4.1.4) menunjukkan bahwa untuk berlakunya f(x) L <ε tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Diperhatikan pada gambar tersebut x = c dibolongi. Artinya pada definisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grafik definisi limit menggunakan dot di titik x = c. Contoh 4.2. Prosedur menghitung limit berikut sering dilakukan pada pelajaran kalkulus atau sewaktu di SMA dulu. x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x 2)(x +2) x 2 (x 2) = lim x 2 (x +2)=2+2=4.

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 167 L+ diberikan V (L) L f(x)-l < L- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 4.2: Ilustrasi definisi limit fungsi Ada 2 hal kritis yang jarang dipedulikan oleh mahasiswa, yaitu Pada langkah kedua terjadi proses pencoretan atau kanselasi pembagian dua bilangan yang sama yaitu (x 2). Padahal secara teoritis pencoretan ini tidak berlaku untuk bilangan bernilai nol. Dalam kasus limit, hal ini tidak masalah karena notasi x 2 dipahami atau dibaca x mendekati 2 tidaklah berarti x =2. Hal ini ditegaskan pada definisi yang menyatakan 0 < x 2 <δ. Di sini f(x) = x2 4. Faktanya f(2) tidak ada karena terjadinya pembagian dengan nol. Tetapi limit f(x) untuk x 2 ada, yaitu 4. x 2 Jadi walaupun nilai fungsi di titik tersebut tidak ada, namun nilai limitnya dapat saja ada. Antara nilai fungsi dan nilai limit tidak mempunyai hubungan implikasi. Dalam kasus keduanya ada dan nilainya sama maka fungsi tersebut bersifat kontinu. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, sepertidiungkap- kan berikut ini. Definisi 4.3. [Fungsi Kontinu]MisalkanA R dan f : A R, c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalahbilamanadiberikanε>0 terdapat δ>0 sehingga berlaku x c <δ f(x) f(c) <ε. (4.1.4)

168 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN f(c)+ diberikan V (f(c)) f(c) f(x)-f(c) < f(c)- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 4.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A. Berdasarkan definisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c) harus ada atau terdefinisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di c dapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikan pada Gambar 4.3. Perhatikan pada gambar ini x = c tidak dibolongi alias masuk dalam interval domain syarat. Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema 4.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. 1. f kontinu di c 2. lim x c f(x) =f(c) Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut E 1 := {x A :0< x c <δ}, E 2 := {x A : x c <δ}. Jadi E 2 E 1. ( ) Diketahui f kontinu di c berarti x E 2 f(x) f(c) <ε. Misalkan x E 1 maka x E 2 atau x = c. Bila x E 2 maka (4.1.3) berlaku dengan L = f(c). Untukkemungkinanx = c berlaku f(x) f(c) = f(c)

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 169 f(c) =0<εsehingga (4.1.3) juga dipenuhi. Terbukti lim x c f(x) =f(c). ( ) Sebaliknya, diketahui lim x c f(x) =f(c) yaitu x E 1 f(x) f(c) < ε. KarenaE 2 E 1 maka berlaku x E 2 f(x) f(c) <ε,yaituf kontinu di c. Berpijak dari teorema ini kita dapatkan syarat cukup dan perlu sebuah fungsi kontinu di x = c ada tiga syarat, yaitu f(c) ada lim x c f(x) ada nilai keduanya harus sama. Contoh 4.3. Misalkan f fungsi konstan pada R,katakanf(x) =b untuk setiap x R. Buktikan untuk sebarang c R, berlakulim x c b = b. Kemudian simpulkan bahwa f kontinu di c. Bukti. Diberikan ε >0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh 0 < x c <δ f(x) L = b b =0<ε. Jadi terbukti lim x c f(x) =f(c). Karena c R merupakan titik limit maka dengan teorema 4.2 disimpulkan f kontinu di c. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapa pun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q di mana q sudah dipastikan benar maka pernyataan p q disimpulkan benar. Contoh 4.4. Buktikan untuk sebarang c R, lim x c αx = c. simpulkan bahwa f(x) := αx kontinu di c. Kemudian Bukti. Untuk setiap ε>0 yang diberikan, ambil δ := ε α.diperoleh 0 < x c <δ f(x) L = αx αc = α x c <αδ= ε. Karena itu terbukti lim x c x = c. Karena berlaku lim x c f(x) =f(c) dan c titik limit maka disimpulkan f kontinu di c. Contoh 4.5. Misalkan f(x) =x 2,x R. Buktikanf kontinu pada R.

170 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN Bukti. Misalkan c R sebarang. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut f(x) f(c) = x 2 c 2 = x + c x c. Karena sudah ada suku x c maka kita perlu melakukan estimasi pada suku x + c. Untukitudiasumsikandulu x c < 1, maka berlaku x c x c < 1 1 < x c 1 x c +1. }{{} Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada x + c, yaitu x + c x + c 2 c +1. Secara keseluruhan diperoleh estimasi f(x) f(c) = x + c x c < (2 c +1) x c. ( ) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ϵ maka haruslah x c < ε 2 c +1. ( ) Agar kedua x c < 1 dan x c < ε 2 c +1 { } ε δ = δ(ϵ) := min 1,. 2 c +1 dipenuhi maka diambil Jadi jika 0 < x c <δmaka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan f(x) f(c) <ε.jadi,lim x c f(x) =f(c), danterbuktif kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdefinisi di c, yaituf(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut masih dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. Diperluas di sini berarti domainnya diperluas. Contoh 4.6. Diberikan fungsi f(x) = x2 1,x 0tidak kontinu di 1 karena x 1 f(1) tidak ada atau tidak didefinisikan. Namun, berlaku x 2 1 lim f(x) = lim x 1 x 1 x 1 = lim (x +1)=2. x 1

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 171 Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut f(x) = x 2 1 x 1 untuk x 0 2 untuk x =0. f dibaca f tilde merupakan perluasan kontinu fungsi f.