Hnds Out Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo dri sutu mtriks yng diberikn.. menuliskn bentuk umum dri mtriks yng berordo m n.. 5 menentukn letk sutu unsur dri sutu mtriks yng diberikn. Mtriks Definisi. Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segiempt yng ditur dlm bris dn kolom Bilngnbllngn dlm susunn itu disebut nggot/elemen/unsure dri mtriks tersebut. Cr memberi nm sutu mtriks dn unsur-unsurny. Sutu mtriks diberi nm dengn menggunkn huruf kpitl seperti A, B, C, dn sterusny, sedngkn nggotny dinytkn dengn huruf kecil. Anggot dri sutu mtriks dpt pul dinytkn dengn huruf kecil yng berindeks gnd ( ij ), dengn indeks pertm menytkn di bris mn unsur itu terletk dn indeks kedu menytkn di kolom mn unsur itu terletk. Sebgi contoh rtiny unsur tersebut terletk pd bris kestu dn kolom kedu. Begitu jug rtiny unsur tersebut terletk pd bris kedu dn kolom ketig. Cr menytkn mtriks Notsi yng digunkn untuk menytkn mtriks bis dengn kurung kecil : ( ), kurung siku : [ gris tegk dobel :. Contoh: A = ; B = Odo/Ukurn/Order dri sutu mtriks ]}, tu dengn Ordo/ukurn dri sutu mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom yng dimiliki oleh mtriks tersebut. Contoh: Mtriks A pd contoh di ts meniliki du buh bris dn tig buh kolom, sehingg kit ktkn mtriks A berordo dn ditulis. Begitu jug mtriks B meniliki du buh bris dn du buh kolom, sehingg kit ktkn mtriks B berordo dn ditulis.
Bentuk umum sutu mtriks Secr umum sutu mtriks dituliskn dengn dengn m menytkn bnykny bris dn n menytkn bnykny kolom. Dengn demikin m =,,,..., m dn n =,,,..., n, sehingg bentuk umumny: A = m m n n mn. merumuskn definisi jenis mtriks tertentu mellui pengmtn terhdp mtriksmtriks yng diberikn.. membedkn jenis-jenis mtriks.. membut kitn ntr mtriks digonl, mtriks sklr, dn mtriks stun.. membut miniml sebuh contoh untuk msingmsing jenis Mcm-mcm Mtriks Mtriks persegipnjng: mtriks yng memiliki bnyk bris tidk sm dengn bnykny kolom. Contoh : A = Mtriks persegi: mtriks yng memiliki bnykny bris sm dengn bnykny kolom. Contoh: B = Mtriks nol: mtriks yng semu unsurny nol.,, Mtriks bris/ vektor bris: mtriks yng hny terdiri dri stu bris. C = 5
mtriks. Mtriks kolom/ vektor klom: mtriks yng hny terdiri dri stu kolom. Contoh : K = 9 Mtriks digonl: mtriks persegi yng unsur-unsur selin unsur digonl utmny dlh nol. Contoh : D = = Dig (, -, ) Mtriks sklr: mtriks digonl yng semu unsur digonl utmny dlh sklr k yng sm. 5 Contoh : A = 5 5 Mtriks stun/mtriks Identits: mtriks sklr yng semu unsur digonl utmny. Contoh : I =, I = Mtriks segitig ts: mtriks persegi yng semu unsur di bwh digonl utmny nol. Atu dpt diktkn sutu mtriks persegi A = [ ij ] dlh segitig ts jik dn hny jik ij = untuk i > j. 7 Contoh : C = Mtriks segitig bwh: mtriks persegi yng semu unsur di ts digonl utmny nol. Atu dpt diktkn
sutu mtriks persegi A = [ ij ] dlh segitig bwh jik dn hny jik ij = untuk i < j. Contoh : B = 9 Mtriks simetri: mtriks persegi yng semu unsur ij = unsur ji untuk setip i dn j. 8 Contoh : S = 8 Mtri nti symmetry/simetri miring (skew symetry): mtriks persegi yng semu ij = - ji untuk setip i dn j. 5 Contoh : K = 5 Dst.
. menentukn syrt penjumlhn du buh mtriks gr terdefinisi.. menentukn syrt pengurngn du buh mtriks gr terdefinisi.. menentukn syrt perklin mtriks dengn mtriks gr terdefinisi.. menjumlhkn du buh mtriks. 5 melkukn opersi pengurngn mtriks.. menglikn sklr dengn mtriks.. 7 menglikn mtriks dengn mtriks. 8 mencri unsurunsur ij dri sutu hsil kli mtriks dengn mtriks untuk i dn j Definisi. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng berukurn sm, mk jumlh A + B dlh mtriks yng diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot B dengn nggot-nggot A yng berpdnn, dn selisih A B dlh mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn nggot-nggot A dengn nggot-nggot B yng berpdnn. Mtriks-mtriks berukurn berbed tidk bis ditmbhkn tu dikurngkn. Contoh: A = dn B =, mk A + B = dn A B = A = Definisi. Jik A dlh sembrng mtriks dn k dlh sembrng sklr, mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn setip nggot A dengn k. 5 5 Contoh: A = dn k =, mk ka = 9 Definisi. Jik A dlh sebuh mtriks m, mk hsil kli AB dlh mtriks m n yng unsur-unsur pd bris ke-i dn kolom ke-j ny diperoleh dengn menjumlhkn hsil kli unsurunsur yng berpdnn dri bris ke- dn kolom ke-j. Contoh: A = = dn B = 5, mk 5 AB = 8 8 8 5 8 5 5 8 9 7 8 7 Mencri unsur-unsur yng terletk pd bris tu kolom tertentu dri hsil kli du buh mtriks
tertentu tnp mencri hsil kli secr keseluruhn.. 9 menentukn trnspos dri sutu mtriks.. menentukn trce dri sutu mtriks.. membuktikn teorem-teorem opersi hitung mtriks. Contoh: jik B = 9 dn C = ) Crilh unsur-unsur bris kestu dri hsil kli mtriks B dn C, b) Crilh unsur-unsur kolom kedu dri hsil kli mtriks B dn C, Jwb: 9 ) Unsur-unsur bris kestu dri hsil kli BC didptkn dengn cr menglikn 9 =, b) Unsur-unsur kolom kedu dri hsil kli BC didptkn dengn cr menglikn 9 = 8 Trnspos dri sutu Mtriks Definisi. Jik A dlh mtriks yng berordo m n, mk trnspose A, dinytkn dengn A T, didefinisikn sebgi mtriks n m yng didptkn dengn mempertukrkn bris dn kolom dri A; yitu kolom pertm dri A T dlh bris pertm dri A, kolom kedu dri A T dlh bris kedu dri A, dn seterusny. Contoh :
Jik B = 5 C = D = [7], mk B T = C T = D T = [7] 5 Trce dri sutu Mtriks Definisi. Jik A dlh sutu mtriks persegi, mk trce A, dinytkn dengn tr(a), didefinisikn sebgi jumlh nggot-nggot pd digonl utm A. Contoh: Berikut dlh contoh-contoh mtriks dn trce-ny. A = B = 5 5 9 7 7 tr(a) = + + tr(b) = - + 5 + 7 + = Teorem-teorem Opersi Hitung Mtriks. Teorem. Dengn mengnggp bhw ukurn mtriks-mtriks di bwh ini dlh sedemikin hingg opersi yng ditunjukkn bis dilkukn, mk turn-turn ritmetik berikut ini dlh shih. () A + B = B + A (hukum komuttif untuk penjumlhn) (b) A + (B + C) = (A + B) + C (hukum sositif untuk penjumlhn) (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (hokum sositif untuk penjumlhn) (hukum distributif kiri)
(e) (B + C)A = BA + CA (hukum distributif knn) (f) A(B - C) = AB - AC (g) (B - C)A = BA CA (h) (B + C) = B + C (i) (B - C) = B - C (j) ( + b) C = C + bc (k) ( - b) C = C - bc (l) A(bC) = (b)c (m) A(BC) = (B)C = B(C) Teorem. Dengn mengnggp ukurn mtriks dlh sedemikin sehingg opersi yng ditunjukkn bis dilkukn, turn-turn ritmetik mtriks berikut ini dlh shih. () A + O = O + A = A (b) A A = O (c) O A = -A (d) AO = O; OA = O Teorem. Jik R dlh sebuh mtriks n n dri mtriks A berbentuk eselon-bris tereduksi, mk R mempunyi sebuh bris nol tu R merupkn mtriks identits I n. Teorem. Jik B dn C keduny dlh invers dri mtriks A, mk B = C Teorem 5. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng invertible dn berukurn sm, mk : () AB invertible (b) (AB) - = B - A -.. membut contoh persmn Persmn Liner
liner.. membedkn ntr contoh dn bukn contoh persmn liner dri contoh-contoh persmn yng diberikn.. menyebutkn definisi sistem persmn liner. 5. membedkn ntr mtriks yng berbentuk eselon bris dn eselon bris tereduksi 5. mereduksi sutu mtrik yng diperbesr dri sutu SPL menjdi bentuk eselon bris. 5. mereduksi sutu mtriks yng diperbesr dri sutu SPL menjdi bentuk eselon bris Persmn liner dlh persmn yng pngkt tertinggi dri peubh/vribelny dlh stu. Sutu persmn liner dlm peubh, y dpt ditulis + y = b Sutu persmn liner dlm n peubh,,, n dpt disjikn dlm bentuk + + + n n = b dengn,,, n dn b konstnt rel. Beberp contoh persmn liner + y = 7 y = + z + - + = 7 + + + n = Beberp contoh yng bukn persmn liner + y = 7 y sin = + y z + z = + + = Sistem Persmn Liner Definisi. Sebuh himpunn terhingg persmn liner dlm peubh-peubh,,, n disebut sebuh sistem persmn liner tu sebuh sistem liner. Sederet ngk s, s,, s n disebut sutu penyelesin sistem tersebut jik = s, = s,, n = s n. merupkn penyelesin dri setip persmn dlm sistem tersebut. Bentuk umum sistem persmn liner dengn m persmn dn n vribel,,, n :
tereduksi. 5. menyelesikn sutu sistem persmn liner dengn eliminsi Guss. 5. 5 menyelesikn sutu sistem persmn liner dengn eliminsi Guss- Jordn. 5. Membut miniml sebuh contoh SPL tk konsisten yng mempunyi peubh yng lebih bnyk dripd persmnny.. menuliskn bentuk umum SPL homogen yng terdiri dri m persmn dengn n vribel.. membut contoh SPL homogen yng m m n mn n n n n b b bm Contoh sistem persmn liner dengn persmn dn vribel : + = - + + 9 = - Sistem tersebut mempunyi penyelesin =, =, = -, kren nili-nili ini memenuhi kedu persmn di ts. Akn tetpi, =, = 8, = buknlh penyelesin kren nili-nili ini hny memenuhi persmn pertm dri sistem. Jenis penyelesin dri sistem persmn liner SPL) Sutu SPL mungkin memiliki tept stu penyelesin, tidk memiliki penyelesin, tu memiliki bnyk (tk hingg) penyelesin. SPL yng tidk memiliki penyelesin disebut inconsistent. Contoh SPL yng memiliki tept stu penyelesin: Contoh SPL yng tidk memiliki penyelesin: 7 5 Contoh SPL yng memiliki bnyk penyelesin: 5 + = 9 5
memiliki penyelesin trivil.. membut contoh SPL homogen yng memiliki penyelesin tk trivil.. meyelesikn SPL homogen.. 5 membedkn SPL homogen yng mempunyi penyelesin trivil dn non trivil.. menentukn gmbrn geometris dri sutu SPL homogeny yng memiliki penyelesin trivil... 7 menentukn gmbrn geometris dri sutu SPL homogen yng memiliki penyelesin tktrivil. - + + = Untuk mencri penyelesin dri sistem persmn liner, dpt digunkn pereduksin terhdp ugmented mtri (mtriks yng diperbesr) dengn menerpkn tig jenis opersi bris elementer (OBE), yitu:. Klikn sebuh bris dengn sebuh konstnt tk-nol.. Pertukrkn du bris. Tmbhkn perklin dri sutu bris ke bris linny. Eliminsi Gussin Untuk menyelesikn sutu sistem persmn liner dpt digunkn eliminsi Gussi, yitu pereduksin terhdp ugmented mtri smpi bentuk eselon bris tu eselon bris tereduksi. Jik pereduksin dilkukn smpi diperoleh bentuk eselon bris, mk disebut eliminsi Guss dn jik dilkukn hingg diperoleh bentuk eselon bris tereduksi mk disebut eliminsi Guss-Jordn. Contoh : Selesikn SPL: 5 9 Untuk menyelesikn sistem persmn tersebut pertm-tm kit hrus menuliskn ugmented mtri-ny terlebih 9 dhulu, yitu:. Selnjutny reduksilh dengn menggunkn OBE hingg didptkn mtriks 5 dlm bentuk eselon bris 9 7 7... ()
tu mtriks dlm bentuk eselon bris tereduksi... () Sift-sift mtriks yng berbentuk eselon bris tereduksi. Jik sutu bris tidk seluruhny terdiri dri nol, mk ngk tk-nol pertm dlm bris tersebut dlh ngk. (Kit sebut utm).. Jik d sembrng bris yng seluruhny terdiri dri nol, mk bris-bris ini dikelompokkn bersm di bgin bwh mtriks.. Jik du bris yng berurutn yng seluruhny tidk terdiri dri nol, utm dlm bris yng lebih bwh terletk di sebelh knn utm dlm bris yng lebih ts.. Msing-msing kolom yng berisi sebuh utm mempunyi nol di tempt linny. Sutu mtriks yng memiliki sift,, dn (tetpi tidk perlu ) disebut mempunyi bentuk eselon bris. Sistem persmn yng berkoresponden dengn bentuk () dlh: + + = 9 + 7 = = 7 Sistem persmn yng berkoresponden dengn bentuk () dlh: = = = Dri contoh di ts, terliht bhw: Jik kit bekerj smpi didptkn mtriks yng berbentuk eselon bris tereduksi, mk kit lngsung mendptkn hrg untuk vribel utmny, yitu =, =, dn =
Jik kit bekerj smpi didptkn mtriks yng berbentuk eselon bris, mk kit hrus melkukn substitusi blik, dengn lngkh-lngkh sebgi berikut:. Selesikn persmn untuk peubh-peubh utm. Muli dri persmn yng pling bwh dn lnjutkn ke ts, secr berturut-urut substitusikn msingmsing persmn ke semu persmn di tsny. SPL Homogen Bentuk umum SPL homogen dengn m persmn dn n vribel dlh: m m n n mn n n n Jenis Penyelesin SPL Homogen Ad du kemungkinn jenis penyelesin SPL homogen, yitu penyelesin trivil dn penyelesin non-trivil. Tk d stu pun SPL homogen yng inconsistent, kren miniml memiliki penyelesin trivil. Contoh SPL homogen yng mempunyi penyelesin trivil: Contoh SPL homogen yng mempunyi penyelesin non-trivil: + + + = 5 - + - = Menyelesikn SPL Homogen
Untuk menyelesikn SPL homogen crny serup dengn cr untuk menyelesikn SPL, yitu dengn menggunkn eliminsi Guss-Jordn. Gmbrn geometris dri sutu SPL homogen, yng memiliki penyelesin trivil, berup gris-gris yng berpotongn di titik pngkl. Sedngkn gmbrn geometris dri sutu SPL homogen, yng memiliki penyelesin non-trivil, berup gris-gris yng berimpit dn berpotongn di titik pngkl. 5 7. menyebutkn definisi mtriks elementer. 7. membut contoh mtriks elementer. 7. membedkn mtrks elementer dn bukn mtriks elementer. 7. menentukn opersi bris yng kn mengemblikn mtriks elementer yng diberikn pd mtriks stun. 8. menentukn invers sutu mtriks dengn OBE. 8. menentukn Mtriks Elementer Definisi. Sutu mtriks n n disebut mtriks elementer (dsr) jik mtriks ini bis diperoleh dri sutu mtriks identits n n, I n dengn melkukn sutu opersi bris tunggl. Beberp contoh mtriks elementer:, 7,, Klikn bris kedu I dengn -7 Pertukrkn bris Kedu dn keempt Dri I Klikn bris Pertm dri I dengn Tmbhkn kli bris ketig dri I pd bris pertm Beberp contoh bukn mtriks elementer
singulrits sutu mtriks. 8. membuktikn teorem-teorem invers mtriks. 8. menggunkn invers mtriks untuk menyelesikn SPL,,, 8 Jik kit membut mtriks elementer dri mtriks stun dengn OBE tertentu, mk kit bis melkukn opersi bliknny untuk menghsilkn kembli mtriks stun dri mtriks elementer. Opersi-opersi tersebut dpt diliht pd Tbel berikut. Tbel Opersi bris pd I yng menghsilkn E Opersi bris pd E yng menghsilkn I lgi Klikn bris i dengn c Klikn bris i dengn /c Pertukrkn bris i dn j Pertukrkn bris i dn j Tmbhkn c kli bris i ke bris j Tmbhkn -c kli bris i ke bris j Beberp Teorem yng Berkitn dengn Mtriks Elementer Teotem. Jik mtriks elementer E dihsilkn dri sutu opersi bris tertentu terhdp I n dn jik A dlh sutu mtriks m n, mk hsil kli EA dlh mtriks yng dihsilkn jik opersi bris yng sm dikenkn pd A. Teorem. Setip mtriks elementer invertible, dn inversny jug merupkn sutu mtriks elementer. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks m n, mk pernytn-pernytn berikut ini ekuivlen, yitu semu benr tu semu slh. () A invertible (b) A = O hny mempunyi penyelesin trivil
(c) Bentuk eselon bris tereduksi dri A dlh I n (d) A dpt dinytkn sebgi hsil kli mtriks-mtriks elementer. Dri teorem di ts () dn (c) dpt diktkn bhw sutu mtriks yng memiliki invers, determinnny dn disebut singulr. Untuk mendptkn invers dri sutu mtriks A yng inverible, kit hrus menemukn serngkin OBE yng mereduksi A menjdi mtriks Identits dn kemudin melkukn serngkin opersi yng sm pd I n untuk memperoleh invers A. Sistem Persmn Liner dn Keterblikn Teorem. Setip system persmn liner bis tidk mempunyi penyelesin, tept stu penyelesin, tu tk hingg bnykny penyelesin. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks n n yng invertible (dpt diblik/ memiliki invers), mk untuk setip mtriks b, n, sistem persmn A = b tept mempunyi stu penyelesin, yitu = A - b Teorem. Anggp A dlh sutu mtriks persegi. () Jik B dlh sutu mtriks persegi yng memenuhi BA = I, mk B = A -. (b) Jik B dlh sutu mtriks persegi yng memenuhi AB = I, B = A -. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks n n, mk pernytn-pernytn berikut ekuivlen. () A invertible (b) A = O hny mempunyi penyelesin trivil (c) Bentuk eselon bris tereduksi dri A dlh I n (d) A dpt dinytkn sebgi hsil kli mtriks-mtriks elementer. (e) A = b konsisten untuk setip mtriks b, n
(f) A = b tept mempunyi stu penyelesin untuk setio mtriks b, n. Teorem 5. Anggp A dn B dlh mtriks-mtriks ersegi berukurn sm. Jik AB invertible, mk A dn B jug psti invertible. 8 9. membut klsifiksi dri sutu permutsi 9. mendefinisikn fungsi determinn mellui pemhmn permutsi dn hsil kli elementer. 9. membentuk rumus determinn dri mtriks persegi yng berordo empt. 9. menentukn nili determinn dri sutu mtriks dengn menggunkn definisi determinn. DETERMINAN Untuk mendefinikn determinn perlu diphmi terlebih dhulu beberp istilh, dintrny: Permutsi Definisi. Sutu permutsi himpunn bilngn bult (,,..., n} dlh sutu susunn bilngn-bilngn bult ini dlm sutu urutn tnp penghilngn tu pengulngn. Untuk menytkn permutsi umum dri himpunn {,,..., n}, kn dituliskn dengn (j, j,..., j n ) dengn j dlh bilngn bult pertm dlm permutsi, j dlh yng kedu, dn seterusny. Contoh: Ad enm permutsi yng berbed dri dri himpunn bilngn bult {,, }. Permutsi-permutsi tersebut dlh (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). Dlm sutu permutsi (j, j,..., j n ) diktkn terjdi pemblikn, jik sutu bilngn bult yng lebih besr mendhului yng lebih kecil. Definisi. Sutu permutsi disebut genp jik totl jumlh pemblikn merupkn sutu bilngn bult genp dn disebut gnjil jik totl jumlh pemblikn merupkn sutu bilngn bult gnjil. Klsifiksi berbgi permutsi dri {,, } sebgi genp tu gnjil, dpt diliht pd tble berikut. Permutsi Jumlh Pemblin Klsifiksi (,, ) genp (,, ) gnjil (,, ) gnjil (,, ) genp
(,, ) (,, ) genp gnjil Hsil kli elementer dri A Hsil kli elementer dri mtriks A yng berordo n bris dn kolom yng berbed. Contoh: n dlh hsil kli dri n unsur mtriks A yng bersl dri () (b) () Hsil kli elementer dri mtriks tersebut dlh: dn. (b) Hsil kli elementer dri mtriks tersebut dlh:,,,,, dn. Hsil kli elementer bertnd dri A Hsil kli elementer bertnd dri mtriks A yng berordo n n dlh hsil kli dri n unsur mtriks A yng bersl dri bris dn kolom yng berbed yng diklikn dengn + jik permutsiny genp dn diklikn dengn - jik permutsiny gnjil. Contoh : Jik dikethui mrtiks () (b), mk untuk mendptkn hsil kli elementer bertnd dri mtriks-mtriks tersebut dpt diliht pd tble berikut.
() Hsil kli elementer Permutsi Terkit Genp tu Gnjil Hsil Kli Elemeneter Bertnd (, ) genp (, ) gnjil - (b) Hsil kli elementer Permutsi Terkit Genp tu Gnjil Hsil Kli Elemeneter Bertnd (,,) genp (,, ) gnjil - (,, ) genp (,, ) gnjil - (,, ) genp (,, ) gnjil - Definisi determinnt Jik A sutu mtriks persegi, mk fungsi determinnt dri A dinytkn dengn det(a) yng didefinisikn sebgi jumlh hsil kli elementer bertnd dri A. Cntoh: Jik dikethui mrtiks () (b), mk determinntny dlh () - (b) + + - - -
9. membuktikn teoremteorem sift fungsi determinn.. menentukn nili determinn dengn bntun teoremteorem sift determinn.. menggunkn sift determinnt untuk memeriks invertibilits sutu mtriks. Teorem fungsi determinnt Du buh contoh teorem yng berkitn dengn fungsi determinn dpt dibc di bh ini. Teorem. Anggp A sutu mtriks persegi. () Jik A mempunyi sebuh bris nol tu sebuh kolom nol, mk det(a) =. (b) Det(A) = det(a ). Contoh bukti untuk bgin () Kren setip hsil kli elementer bertnd dri A mempunyi slh stu fktor dri msing-msing bris dn stu fktor dri msing-msing kolom, mk setip hsil kli elementer bertnd psti kn mempunyi fktor dri sutu bris nol tu sutu kolom nol. Oleh kren itu setip hsil kli elementer bertndny kn bernili nol dnk ren det(a) merupkn jumlh hsil kli elementer bertnd, mk det(a) dlh nol. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks segitig n n (segitig ts, segitig bwh, tu digonl), mk det(a) dlh hsil kli nggot-nggot pd digonl utmny, yitu det(a) = nn. Contoh Jik dikethui A =, mk stu-stuny hsil kli elemnter bertnd dri A yng tidk nol dlh hsil kli digonl utmny. Oleh kren itu, det(a) = Contoh 5 9 Jik dikethui A = 7, mk det(a) = -
Memeriks invertibilits sutu mtriks dengn menggunkn sift determinnt. Terdpt beberp teorem yng berkitn dengn invers dri sutu mtriks. Untuk memeriks d tu tidk dny invers dri sutu mtriks dpt digunkn teorem berikut. Teorem. Sutu mtriks A memiliki invers jik dn hny jik det(a). Contoh 9 Apkh mtriks A = 7 memiliki invers? C Jwb: Kren bris kestu dn bris ketig proporsionl, mk det(a) =. Jdi A tidk memiliki invers. Contoh Apkh mtriks A = memiliki invers? Jwb: Det(A) = 8. Jdi, A memiliki invers. Teorem. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks persegi berukurn sm, mk det(ab) = det(a) det(b). Teorem. Jik A memiliki invers, mk det(a - ) =.. mencri minor dri sutu unsur.. mencri kofktor dri Minor dn Kofktor Definisi. Jik A dlh sutu mtriks persegi, mk minor nggot ij dinytkn oleh M ij dn didefinisikn sebgi determinnt sub mtriks yng msih tersis setelh bris ke-i dn kolom ke-j
sutu unsur.. menentukn nili determinn dri sutu mtriks dengn menggunkn kofktor.. mencri djoint dri sutu mtriks.. 5 dpt menentukn invers dri sutu mtriks invertible dengn menggunkn djoint.. menggunkn turn Crmer untuk menyelesikn sutu SPL. dihilngkn dri A. Bilngn (-) i + j M ij dinytkn oleh C ij dn disebut kofktor nggot ij. Contoh Jik A = 5, tentukn M, M, C., dn C Jwb : M = = 5 = dn C = M = = = dn C = - Adjoint dri sutu mtriks Definisi. Jik A dlh sebrng mtriks n n, dn C ij dlh kofktor dri ij, mk mtriks C C C n C C C n...... C C C n n nn dinytkn oleh Adj(A). Contoh Jik A = disebut mtriks kofktor dri A. Trnspos dri mtriks ini disebut djoint A dn Kofktor dri A dlh C = C = C = -
C = C = C = C = C = - C = Sehingg mtriks kofktorny dlh n djoint A dlh Adj(A) = Menentukn invers dri sutu mtriks invertible dengn menggunkn djoint. Untuk menentukn invers dri sutu mtriks digunkn rumus A - = dj(a).. Contoh Tentukn invers dri mtriks A = dengn menggunkn djoint. Jwb: A - = dj(a) = =
Aturn Crmer Teorem (Aturn Cemer). Jik A = b merupkn sutu system n persmn liner dengn n vribel sedemikin hingg det(a), mk system tersebut mempunyi penyelesin yng unik. Penyelesin ini dlh det ( A ) det ( A ) det ( A ),, det ( A) det ( A) det ( A) dengn A j dlh mtriks yng diperoleh dengn menggntikn nggot-nggot pd kolom ke-j dri A dengn nggot-nggot pd mtriks b = b b b n Contoh Gunkn turn Crmer untuk menyelesikn + z = - + y + z = - - y + z = 8 Jwb: A =, A = 8, A = 8, A = 8 Dengn demikin
det ( A ) det ( A ) 7 8 det ( A ),, det ( A) det ( A) det ( A) 5 8