LECTURE NOTES #3 Model Regres Sederhaa (Lajuta) I. Ut Pegukura da Betuk Fugsoal Terdapat dua su petg ddalam peelta terapa dbdag lmu ekoom, yak: a. Pemahama atas dampak perubaha ut pegukura dar varabel bebas/tak bebas terhadap estmas OLS. b. Pegguaa berbaga betuk fugs ddalam mejelaska hubuga atar varabel ekoom (tdak terbatas pada betuk ler). Dampak perubaha ut pegukura dapat dlhat dar apakah yag berubah adalah varabel bebas atau varabel tergatug. Jka yag berubah adalah varabel tergatug (y), maka dampak aka terjad pada koefse tersep da slope. Secara umum jka kta megkovers setap la varabel tergatug dega suatu kostata c, maka parameter tersep da slope juga aka berubah sebesar c. Cotoh. Sebaga cotoh kembal kepada lustras yag dberka pada lecture otes, dmaa kta meregreska gaj terhadap roe, da memperoleh Salary 963,9+ 8,50ROE ) Salary dhtug dalam satua rbu USD, jka kemuda kta hedak megkoversya mejad USD saja maka hal detk dega megalka setap la varabel salary dega 000. Selajutya jka kta meotaska hasl kovers sebaga salardol maka kta aka memperoleh hasl regres baru sebaga Salardol 963.9+ 8.50ROE ) Perhatka ds, perubaha ROE sebesar % aka berdampak pada pegkata salardol sebesar 8.50 USD. Persamaa regres yag baru dapat dperoleh tapa perlu melakuka estmas ulag, cukup dega megalka tersep da slope dega 000. Sedagka jka perubaha terjad pada varabel bebas, maka dampak haya terjad pada parameter slope. Secara umum jka varabel bebas dkal (atau dbag) dega suatu kostata c, maka slope yag releva juga harus dbag (atau dkal) dega kostata dmaksud. Sebaga cotoh jka ukura ROE hedak drubah dar persetase mejad desmal (berart dbag dega 00), maka slope ROE harus dkalka dega 00. Pada cotoh yag dberka berart persamaa regres yag dperoleh adalah
Salary 963.9+ 850,Roedec 3) Dega demka setap pegkata 0.0 (satu perse) pada roedec aka berdampak pada pegkata salary sebesar 8,50 (rbu USD). Tapa melbatka suatu peurua matemats tertetu, dapat dtujukka bahwa goodess of ft dar model (R ) tdak dpegaruh oleh perubaha dar skala pegukura varabel. Pemodela hubuga atar varabel ddalam lmu ekoom umumya terbag dalam betuk yak model ler da o ler. Perlu dperhatka ds bahwa stlah ler/o ler adalah berlaku pada parameter (β 0 da β ) da buka y-x. Suatu lustras mugk dapat memperjelas hal. Model yag telah dbahas selama adalah jelas ler. Ds bak hubuga y da x maupu hubuga y terhadap β 0 da β adalah ler. Sebaga cotoh aka dulag kembal betuk umum persamaa regres dua varabel sbb; y β + β x+ u 4) 0 Namu demka pula halya dega betuk-betuk berkut y β + β x + u 0 β + β + 3 y 0 x u l( y) β + β x+ u 0 5) 6) 7) Persamaa 5 s/d 7 adalah ler terhadap β 0 da β. Dalam model sepert peerapa OLS adalah bersfat lagsug dega melakuka treatmet yag pada varabel yag sesua. Sebaga cotoh estmas terhadap persamaa 5 dlakuka sebaga regres atas varabel y dega varabel akar kuadrat dar x. Perumusa model sepert datas dlakuka karea berdasarka teor atau merupaka keperlua logka trepretas. Sebaga cotoh suatu model yag bersfat ler yag meghubugka atara gaj dega peddka tampakya kurag logs. Apakah satu tahu tambaha peddka atara orag yag telah memlk gaj IDR 5.000.000 per bula sama dega
mereka yag memlk gaj IDR 0.000.000 per bula. Jka kta megestmas hubuga tersebut dega model ler, maka jawabaya adalah ya (msalya tahu tambaha peddka aka megkatka gaj sebesar.500.000 terlepas dar gaj saat ). Hal tetuya tdak memuaska dar sudut logka. Salah satu cara megatas hal tersebut adalah dega megguaka model log-l sepert yag dberka persamaa 7. Dega megambl total dferetal terhadap persamaa maka kta aka memperoleh trepretas terhadap koefse β, sbb: d dy dy y dy y ( l( y) ) ( β + β x+ u) β dx d dx 0 dx β.. 8) Sekarag parameter β dapat dtrepretaska sebaga suatu sem elaststas. Dega kata la x aka meyebabka β % y. Dalam koteks hubuga peddka dega gaj sebagamaa duraka datas hal berart tahu pegkata peddka aka medorog β % pegkata gaj. Terdapat beberapa betuk pemodela yag umum dguaka dalam peelta terapa lmu ekoom. Model-model dragkum pada tabel. Tabel. Beberapa Model Hubuga Varabel Ekoom II. Nla Ekspektas da Varas dar Estmator OLS Sepert yag telah dketahu, aalsa regres adalah suatu tekk lmu statstk, yag bersfat duktf. Sebaga suatu prat duktf, a mecoba meggeeralsr suatu kesmpula yag dperoleh dar suatu stud terbatas. Dega kata la kta mecoba meark kesmpula dar suatu stud 3
terhadap obyek terbatas (dsebut dega sample) atas karakterstk set yag lebh uversal (dsebut populas). Dalam aalsa regres dua varabel, karakterstk dar obyek terbatas dsebut β 0 β dega da, yag daggap sebaga predctor tak bas dar karakterstk populas, yak β 0 da β. Tada cap datas beta meujukka bahwa kta memperoleh la tersebut dar sample. Agar karakterstk sample tersebut dapat mejad predctor tak bas, seragkaa asums harus dpeuh. Asums : Pada populas, hubuga y da x adalah bersfat ler dega suatu radom dsturbaces, atau y β + β x+ u 0 9) Asums meyataka bahwa ddalam pemodela, asums yag dguaka pada sample juga berlaku pada populas. Karea pada sample kta megasumska bahwa hubuga adalah bersfat ler maka demka pula hal yag berlaku pada populas. Asums : Sample dperoleh secara radom. Asums meyataka bahwa set observas yag dperoleh dar populas (sample) dperoleh melalu proses yag bersfat radom. Sebaga gambara umum, proses peyampela dsebut dega radom jka tdak ada keterkata sstemats atara pearka observas ke dega ke j utuk semua I da j. Dega kata la setap aggota populas memlk peluag yag sama utuk mejad eleme sample. Asums 3: Zero codtoal meas. Eux ( ) 0 0) Asums ketga dmaksudka utuk meyataka bahwa rata-rata resdual adalah bersfat depede terhadap varabel bebas. Dega kata la meskpu regres kta tdak memuat berbaga varabel la yag releva (yag dragkum dar resdual), dasumska bahwa perubaha la varabel bebas tdak aka berdampak pada resdual. Jka hal tdak terpeuh maka kta aka memlk masalah spurous correlato. Yag dmaksud spurous correlato adalah kta megamat 4
seolah-olah ada hubuga atara y da x pada hal yag sebearya terjad adalah adaya factor ketga yag berpegaruh terhadap y da juga x. Seharusya justru factor yag dmasukka kedalam model regres utuk meggatka x. Pembahasa da cara megatasya aka dbahas pada mater multple regresso. Asums da 3 memugkka kta utuk memaham karakterstk petg dar proses OLS, yak fxed repeated sample. Sfat fxed repeated sample meyataka bahwa dalam peyampela berulag la x dasumska tdak berubah (kosta), sedagka y berubah-ubah amu bersfat radom karea a bersumber dar kompoe resdual yag memag dasumska radom. Perhatka ds bahwa fxed repeated sample adalah karakterstk dar peelta ekspermetal. Sebaga cotoh adalah eksperme pembera suatu doss pupuk tertetu terhadap kuattas pae suatu jes pad. Ds kta dapat megasumska bahwa doss pupuk adalah kosta bag setap pegambla sample (da memag demka keyataaya karea peeltlah yag megotrol doss). Kta dapat melhat bahwa hal adalah kurag sesua dega sfat peelta pada lmu ekoom, dmaa sebagaa besar obyek peelta adalah tdak dalam kedal peelt. Dega demka asums dapat dkataka sebaga suatu smplfkas terhadap keyataa. Peelt perlu memperhatka relevas yag terkadug dalam asums semacam terhadap keyataa yag ada. Asums 4: Terdapat suatu varas pada populas varabel bebas. Asums bermplkas bahwa parameter yag dperoleh dar samplg juga aka bervaras. Hal dapat dlhat secara formal pertama dega meulska kembal formula estmator β yag dperoleh dar sample (dega sedkt modfkas, lhat appedks ), sbb: β y 0) Dega mapulas matemats lebh lajut (lhat appedks), dapat dtujukka bahwa 5
+ sx β β _ u ) Karea u umumya adalah tdak sama dega ol, maka parameter dar sample juga umumya tdak aka sama dega parameter populas. Asums sampa dega 4 memugkka kta utuk meyataka salah satu teor terpetg dalam pegguaa OLS, yak Teorema : Ketdak basa OLS Dega asums s/d 4 maka E( β ) β da E( β ) β 0 0..) utuk semua la β 0 da β. Bukt: Lhat Wooldrge, hal 50. Teorema meyataka bahwa parameter yag dperoleh dar sample jka a memeuh asums s/d 4, maka parameter dmaksud adalah peduga tak bas terhadap parameter populas. Asums 5: Homokedaststas, dmaa V ar( u x) σ 3) Asums meyataka bahwa varas dar u, kodsoal terhadap x, adalah kosta. Dega kata la kta dapat membayagka bahwa dstrbus dar la y adalah sama bag setap la x. Dar sfat fxed repeated sample, kta megetahu bahwa y adalah radom da bersumber dar u (karea x adalah kosta). Secara grafs asums dapat dgambarka sbb 6
Grafk. Homokedaststas u Jka asums tdak terpeuh, maka kta aka meemu suatu kods yag dsebut heterokedaststas. Ds sfat dstrbus bersyarat dar y adalah berubah-ubah dar satu la x ke la x laya (varas bersyarat dar y adalah fugs dar x). Secara grafs kods dapat dperlhatka sbb: Grafk. Heterokedaststas u Asums 5 memugkka kta utuk megukur efses dar estmator yag dperoleh dar sample. Yag dmaksud dega efses adalah seberapa besar estmator terdstrbus dsektar rata-rataya, E(β ). Dsampg tu berlakuya asums 5 memugkka peryataa teorema, sbb: 7
Teorema : Varas Estmator OLS adalah Kosta Dega asums s/d 5, maka V V σ σ ar( β ) _ ( ) sx x x σ x 0 _ ar( β ) 4) Bukt: Lhat Wooldrge, hal 55. Beberapa mplkas dar teorema adalah: a. Semak besar varas dar resdual (σ ), semak besar varas dar estmator OLS. b. Semak besar varabltas dar varabel depede, semak kecl varas dar estmator OLS. Dega demka jka dmugkka maka perguaka sample dar varabel bebas yag memlk varabltas yag besar. Pegguaa persamaa 4 ddalam meghtug varas dar estmator OLS memlk masalah karea σ (varas resdual populas) adalah sagat jarag dketahu. Utuk megatasya kta perlu megestmas terlebh dahulu peduga tak bas dar σ. Peerapa kods orde pertama OLS memberka formula berkut sebaga peduga tak bas dar σ. σ dmaa u u y β 0 βx 5) Selajutya dar peduga varas resdual populas dapat dperoleh formula stadar error (se) dar β, sbb 8
se( β ) σ s x σ _ 6) Persamaa 6 dperluka utuk meghtug statstk uj sgfkas (t statstcs) dar parameter multple regresso. β. Topk aka dbcaraka pada baga III. Regres Tapa Itersep Pada beberapa aplkas ada kalaya kta memerluka model regres tapa adaya tersep (regresso through the org). Pemodela semacam releva msalya utuk meghtug peermaa pajak pedapata (sebaga fugs dar pedapata tetuya). Jka pedapata adalah ol, maka peermaa juga harus ol. Secara formal model semacam dberka sbb: ~ ~ y β x 7) Implemetas prosedur OLS tdak ada yag berubah, kta mash aka memmumka jumlah kuadrat resdual. Dega memperguaka tekk kalkulus, dapat dtujukka bahwa (lhat appedks): ~ β xy x 8) 9