DIKTAT MATEMATIKA II (PROGRAMA LINIER) Drs A NABABAN PURNAWAN, MT JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004
PROGRAMA LINIER Pendhulun Progrm linier dlh stu cr untuk memechkn sutu persoln tertentu, dimn model mtemtik terdiri ts pertidksmn-pertidksmn linier yng mempunyi bnyk penyelesin, dipergunkn Dri semu penyelesin yng mungkin, stu tu lebih memberikn hsil yng pling bik (openyelesin optimum) Mslh progrm linier dlh mslh minimsi tu mksimsi dri sutu fungi linier dengn himpunn pembts linier yng berup pertidksmn tu persmn Istilh progrm linier merupkn mslh pemogrmn yng memenuhi kondisi-kondisi : Vribel-vribel keputusn yng terlibt dlm mslh tidk negtif ( positif tu nol ) Kriteri pemilihn nili terbik dri vrisi keputusn dpt ditentukn dengn fungsi linier dri vribel-vribel tersebut Fungsi kriteri ini disebut fungsi objektif tu fungsi tujun Aturn opersi mengtur proses kren lngkny sumber, dpt digmbrkn sebgi himpunn persmn tu pertidksmn linier Himpunn ini disebut himpunn pembts 2 Prosedur Lngkh-lngkh penyelesin progrm linier dlh sebgi berikut : Terjemhkn sol kedlm mtemtik : Bentuklh model mtemtik yng terdiri ts system pertidksmn tu persmn : x + 2 x 2 + + n x n b ( = b ; b ) 2 x + 22 x 2 + + 2n x n b 2 ( = b 2 ; b 2 ) n x + n2 x 2 + + nn x n b n ( = b n ; b n ) Indeks ke-i menunjukkn pembts ke-i, demikin jug indeks ke-j Pembts x,x 2,,x n 0 tu pembts x j 0 dlh pembts non negtive, koefisien ij disebut koefisien teknologi yng membentuk mtriks pembts :
A = 2 n 2 22 n2 n 2n nn Vektor rus knn tu vektor kolom b i disebut vektor kebutuhn Bentuklh fungsi objektif tu fungsi tujun: C x + c 2 x 2 + +c n x n, yng bis disebut P : n Atu P = c j x j Koefisien c, c 2,,c n dlh koefisien ongkos dn x, x 2,,x n dlh vrible (tingkt kegitn Perlihtkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn pd digrm crtesius, yng membentuk polygon Titik dlm tu pd bts polygon memberikn penyelesin yng mungkin Pilihlh titik-titik yng menberikn penyelesin yng pling bik ( optimum) dengn menyelidiki titik-titik IIIASUMSI-ASUMSI UNTUK PROGRAMA LINIER Untuk menunjukkn mslh optimsi sebgi progrm linier diperlukn beberp sumsi : dlm derh penyelesin kepd fungsi objektif tu fungsi tujun berkenn dengn minimsi dn mksimsi 3 Proporsionlits Ditentukn vrible x j, kontribusiny pd biy tu keuntungn dlh c j x j, dn kontribusiny terhdp pembts ke-i dlh ijxj Ini berrti bil x j mkin besr/kecil, mk kontribusiny ke ongkos dnk e tip pembts mkin besr/ kecil jug Mislny jik x j dlh jumlh stun pembelin dri tempt j dn xj = 0 ton, mk keuntungn dri kegitn j ini dlh 0cj Asumsi ini tidk memperhitungkn dny penghemtn yng mungkin
muncul sebgi mkin besrny jumlh yng dingkut dengn ongkos yng lebih rendh per unit; tu mungkin lebih mhl ongkos ngkutny 32 Addivits Totl ongkos tu keuntungn dlh jumlh dri ongkos-ongkos tu keuntungnkeuntungn stun, dn totl kontribusi terhdp pembts ke-i dlh jumlh kontribusi stun dri tip kegitn 32 Divisibility Vribel keputusn dpt dibgi kedlm pechn sehingg dpt diperoleh nili-nili yng tidk bult Sutu mslh pemogrmn dpt dirumuskn ke dlm persoln progrm linier bil sumsi-sumsi di ts dipenuhi IV BENTUK-BENTUK KANONIK DAN STANDARD Krkteristik bentuk knonik dlh : Semuvribel keputusn dlh non negtive b Semu fungsi pembts berbentuk pertidksmn (, ) c Fungsi objektif tu fungsi tujun berjenis mksimsi Bentuk mtemtik dri bentuk knonik ini dlh : Bentuk persoln progrm linier bernek rgm, tetpi bentuk-bentuk tersebut dpt dimodifiksi ke dlm bentuk knonik dengn trnsformsi elementer: 4 Fungsi minimsi secr mtyemtik ekivlen dengn mksimsi dri gmbrn negtif fungsi itu Mislny minimsi P =c x + c 2 x 2 ekivlen dengn minimsi 42 Pertidksmn stu puhk tu dpt diubh rhny (pihny) menjdi berlwnn dengn menglikn kedu sisi (rus) pertidksmn dengn - 43 Sebuh persmn dpt dignti dengn du persmn dengn rh yng berlwnn 44 Sebuh pertidk smn dengn rus kiri berd dlm tnd hrg mutlk dpt diubh ke dlm bentuk pertidksmn bis Untuk b>0, pembts
45 Sebuh vrible yng tidk dibtsi tnd, rtiny boleh negtif, nol tu positif, ekivlen dengn selisih ntr du vrible non negtif Mislny jik x tidk dibtsi tnd, mk x dpt dignti dengn (y -y 2 ) dimn y dn y 2 vribel non negtif Krkteristik dri bentuk stndrd dlh : Semu pembts berup persmn, keculi pembts non negtif b Elemen rus knn tip pembts dlh non negtif c Semu vrible non negtif d Fungsi tujun berjenis mksimsi tu minimsi Pembts yng berbentuk pertidksmn dpt diubh menjdi persmn dengn menmbh tu mengurngi rus kiri dengn sutu vrible non negtif Vribel bru ini disebut slck vrible, yng hrus ditmbh ke rus kiri bil bentuk persmn, dn dikurngi dri rus kiri bil bentuk pertidksmn Mislny pembts V PROGRAMA LINIER DALAM BENTUK MATRIKS Mslh progrm linier dpt dinytkn dlm bentuk yng lebih sederhn dengn menggunkn notsi mtriks Untuk memberi gmbrn, perhtiknlh: Minimsi P = n c j x j Dengn memperhtikn n ij x j = b j ( i =, 2,, n) x j 0 (j =, 2,, n) Koefisien c j = c, c 2,, cn dpt digmbrkn sebgi sutu vector bsis C, dn semu vrible keputusn, rus knn dn koefisien pembts dpt digmbrkn seperti: Vribel keputusn
x x X = 2 x n rus knn B = b b 2 b n Dn koefisien pembts A = 2 n 2 22 n2 Mk mtriks persoln dio ts dpt ditulis minimsi P = Cx, dengn memperhtikn Ax = B dengn ij Contoh : Seorng peternk ym petelur hrus memberi mknn untuk tip 50 ekor/hri pling sedikit 50 unit zt A dn 200 unit zt B Zt-zt tersebut tidk dpt dibeli dlm bentuk murni, melinkn teerdpt dlm mknn ym M dn M 2 Tip kg mknn ym M mengndung 30 unit zt A dn 20 unit zt B, dn mknn M 2 mengndung 20 unit zt A dn 40 unit zt B Jik hrg M : Rp225/kg dn hrg M 2 : Rp250/kg, dn tip ekor membutuhkn 25 gr mknn/hri ; berpkh bnykny mknn M dn M 2 hrus dibeli tip hri untuk 000 ekor ym petelur, supy hrgny semurh-murhny dn kebutuhn kn zt-zt itu dipenuhi? Jwb: untuk memformulsikn persoln di ts, d beberp hl yng hrus ditnykn sebgi lngkh-lngkh pemechn: ) Ap vrible keputusn dri persoln di ts? 2) Ap tujun dri persoln ini? 3) Ap yng menjdi pembts-pembtsny? )Vribel keputusn dri persoln ini dlh jumlh bhn mknn yng kn dipergunkn 2)Tujun persoln ini memininmumkn biy dengn pembts jumlh yng dibutuhkn tip hri 25 kg mknn (M dn M 2 ) / 000 ekor 3) Pembts pertm dlh ketentun kebutuhn Pembts kedus ditentukn oleh ketentun zt A Pembts ketig ditentukn oleh ketentun zt B n 2n nn
Mislkn vrible keputusn x jumlh mknn M, dn x 2 jumlh mknn M 2 yng dipergunkn untuk 25 kg mknn, mk model progrm linier dlh : Minimsi P = 225x + 250x 2 () Untuk memudhkn menentukn pembts, dibut lebih dhulu mtriks dri semu yng dikethui : Bhn mkn Kndungn unit/ kg Bnykny dibeli dlm Hrg stun /kg/rp Fungsi Tujun n Zt A Zt B kg M 30 M 2 20 20 40 x 225 x 2 250 P = 225x + 250x 2 Jumlh 50 200 x + x 2 P = 225x + 250x 2 Unruk 50 ekor ym petelur, sehingg untuk 000 ekor ym petelur dibutuhkn 20 kli sebnyk yng terter dlm dftr Sekrng pembts dibut dlm bentuk pertidksmn sebgi berikut : x + x 2 = 25 30 x + 20 x 2 3000 (2) 20 x + 40 x 2 4000 (3) x 0 ; x 2 0 (4) X2 50 00 75 0 50 00 200 X Gmbrlh grfik dri : () P = 225 x + 250 x 2 (2) 30 x + 20 x 2 3000 (3) 20 x + 40 x 2 4000
(4) x 0 ; x 2 0 pd sebuh persumbun crtesius Gmbrlh polygon yng dibentuk keempt pertidksmn itu/persmn itu Minimsi P = 225 x + 250 x 2 didpt untuk x = 50 dn x 2 = 75 Sol-sol Sebuh industri rumh tngg membut 2 jenis lt elektronik yng diproses mellui 3 mesin M,M 2 dn M 3 Alt elektronik E diproses oleh M dlm menit, 2 menit oleh M 2 dn menit oleh M 3 Jik biy membut E Rp 50,00/unit dn biy membut E 2 Rp 00,00/unit, dn tip mesin bekerj pling sedikit 8 jm/hri dn gr biy yng dikelurkn minimum? 2 Du jenis logm cmpurn X dn Y terdiri ts logm A, B, dn C kg logm cmpurn X terdiri ts 5 ons logm A, 3 ons logm B, dn 2 ons logm C kg logm cmpurn Y terdiri ts 2 ons logm A, 3 ons logm B, dn 5 ons logm C Logm M dibut semurh-murhny dri logm X dn Y, sedemikin sehingg sekurng-kurngny terdiri ts 6 kg logm A, 7,2 kg logm B, dn 6 kg logm C Jik hrg logm X Rp 4000,00/kg dn hrg logm Y Rp 2000,00/kg, berpkh hrg minimum logm cmpurn M itu? VI PROGRAMA LINIER DENGAN MATRIKS INVERS Progrm linier dpt jug diselesikn dengn memki metode mtriks invers Perhtikn contoh di bwh ini : Mksimsi dri : P = 68 x + 70 y dengn pembts 6 x +5y 960 0 x + y 760 ; x 0 ; y 0 A = 5 5 = 6 0 5 6 6 A ; A A = 0 0 0 0 x = 6 y 0 6 6 6 5 6 960 x 660 = 760 y 600 550 660
x 0 = x = 0 ; y = 60 P = 68 (0) + 70 (60) y 60 = 7480 + 4200 = 680 Dpt jug diselesikn dengn opersi bris : 6 5 x 960 6 5 960 6 5 960 = = = 0 y 760 0 8 480 0 60 y = 60 6x + 5 (60) = 960 6x = 660 x = 0 Jdi z = 68 (0) + 70 (60) = 7480 +4200 = 680 Sol-sol: Selesikn sol-sol di bwh ini dengn : Metode Crmer 2 Metode Mtriks Invers 3 Metode Opersi bris Dlm menyelesikn system persmn liniers Tentuknlh mksimsi dengn memperhtikn P = 35x + 25y 2x + y 7 3x + y 8 2 Tentuknlh mksimsi dengn memperhtikn P = 25x + 35y 2x + y 7 3x + y 2 3 Tentuknlh mksimsi dengn memperhtikn P = 25x + 35y 2x + 3y 5 3x + y 2 4 Tentuknlh mksimsi dengn memperhtikn P = 35x + 25y 2x + 3y 5 3x + y 2