PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt dinytkn dlm entuk Sistem Persmn Linier (A = B) segi erikut : *) Fungsi Tujun (Z = C): Z = [ C C ] Cn C = [c j ] n = [x j ] *) Fungsi Kendl (A tu B): m m A = [ ij ] n n mn n = [x j ] tu m B = [ i ] Berikut ini lngkh-lngkh penyelesin Persoln Progrm Linier fungsi tujun memksimumkn dengn Metode Simpleks Menguh semu kendl ke Bentuk Knonik (yng semul menggunkn tnd pertidksmn menjdi persmn) dengn menmh peruh (vriel) Slck S Peruh-peruh slck yng d dimsukkn (ditmhkn) ke fungsi ssrn dn dieri koefisien Apkh dlm mtriks A = [ij] (pd fungsi kendl) sudh terentuk Mtriks Identits (In)? Apil dlm mtriks A sudh terentuk Mtriks Identits mk disusun tel wl simpleks segi erikut : Cj C C Cn M Ci j n S S V i Ri
C Cm i m n m m mn Zj Z Z Zn Zj - Cj Keterngn : Z-C Z-C Zn-Cn m R Rm *) Bris Cj diisi dengn pr koefisien Fungsi Tujun (ssrn) *) Bris j diisi dengn nm-nm peruh (vriel) yng d *) Kolom i diisi dengn nm-nm peruh yng menjdi sis (vriel yng menyusun mtriks Identits) *) Kolom Ci diisi dengn pr koefisien peruh yng menjdi sis *) Kolom i diisi dengn pr konstnt fungsi kendl (Nili Seelh Knn/NSK) *) Bris Zj diisi dengn rumus Zj = ij m C i i=, untuk j =,,, n *) Kolom Ri diisi dengn rumus Ri = i ik (ik = elemen-elemen yng erd dlm kolom kunci, dn Ri dihitung hny untuk ik ) Selnjutny dilnjutkn ke lngkh, Jik elum terentuk mtriks identits, mk mtriks identits ditimulkn (dimunculkn) dengn menmh peruh semu dn dieri notsi (V) Peruh semu yng d dimsukn di fungsi ssrn, sedngkn koefisien dri vriel semu pd fungsi ssrn dieri nili (- M), dengn M dlh ilngn yng cukup esr Dilnjutkn ke lngkh Penelitin terhdp nili Zj - Cj (Tel sudh mksimum jik semu Zj - Cj ) Jik untuk semu Zj - Cj dilnjutkn ke lngkh 4, Jik d Zj - Cj <, mk diut tel ru dengn cr segi erikut : Menentukn kolom kunci yitu memilih nili Zj - Cj yng terkecil (Min{ Zj - Cj} Seut dengn Zk - Ck mk kolom ke-k diseut kolom kunci Pd kolom ke-k dilkukn pemeriksn terhdp nili ik Jik untuk semu ik negtif mk jw tidk terts (Unounded)
Jik terdpt ik yng positif hitung nili Ri, (untuk ik yng positif sj) kemudin dilnjutkn ke lngkh, Menentukn ris kunci, yitu dengn memilih nili Ri yng terkecil (dintr yng positif) Min{ Ri}, nmkn Rr, mk ris ke-r diseut ris kunci 4 Kemudin disusun tel ru segi erikut (dimuli dri ris kunci ru): 4 Untuk elemen ris r ru = elemen ris r lm digi rk, tu rj rj = rk 4 Untuk elemen ris i yng lin, elemen ris i ru = elemen ris i lm - (ik x elemen ris r ru) tu = ( x ) ij ij ik rj Kemudin tentukn lgi nili i, Ci, Zj, Zj - Cj Kemli ke lngkh 4 Apkh pd tel terkhir terdpt nili Vk yng positip? 4 Jik d nili Vk yng positif mk sol sli tidk fisiel (Infesile Solution) 4 Jik tidk d nili Vk yng positif mk kn diperoleh penyelesin yng mksimum Contoh Sol : Memksimumkn : Z = + (dlm riun) yng memenuhi kendl : ) + ) + 6 ) 4 + 7 dn, Penyelesin : *) Bentuk knonik : ) + + S + S + S = ) + + S + S + S = 6 ) 4 + + S + S + S = 7 dn fungsi tujunny menjdi : Memksimumkn : Z = + + S + S +S Bentuk mtriksny dlh segi erikut :
4 A = [ ij ] S S S = [x j ] = 6 7 B = [ i ] dn Z = [ ] C = [c j ] S S S = [x j ] *) Tel wl simpleks : Ci i S S S Cj j S S S i Ri 6 4 7 Zj Zi - Ci - - 4 *) Menentukn kolom kunci dengn memilih nili dri min {Zj - Cj}, yitu pd kolom- dn yng niliny dlh - (dpt dipilih slh ) Dipilih kolom ke- segi kolom kunci, sehingg k = (Tugs: Selesikn tel di ts jik yng dipilih segi kolom kunci dlh kolom ke-) Kren elemen-elemen dlm kolom kunci d tidk semuny nol (d yng positif) mk dpt ditentukn nili dri Ri yitu : R =, 6 7 = R = =, dn R = = 4 *) Menentukn ris kunci dengn memilih nili dri Ri yng terkecil dn nili ik > (positif) Terdpt pd ris yng ke- yitu R =, sehingg r = *) Memut tel ru segi erikut : Bris kunci ru (ris yng ru) mempunyi elemen-elemen : = =, = = =, = = =, 4 5 4 = =, 5 = = =, 6 = = = tu elemen-elemen ris ru = elemen-elemen ris lm digi dengn = [ 6 ] =
Untuk ris yng lin (ris ke- dn ) âij = ij - (ik x ârj) Untuk ris ru â = - ( x ) = - ( x (/)) = 4/ â = - ( x ) = - ( x ) = â = - ( x ) = - ( x ) = â4 = 4 - ( x 4 ) = - ( x(/)) = -/ â5 = 5 - ( x 5 ) = - ( x) = = - ( x ) = - ( x) = Atu dengn cr lin segi erikut : untuk ris ru â = - ( x ) = 4 - ( x(/)) = â = - ( x ) = - ( x) = â = - ( x ) = - ( x) = â4 = 4 - ( x 4 ) = - ( x(/)) = - â5 = 5 - ( x 5 ) = - ( x) = = - ( x ) = 7 - ( x) = elemen-elemen ris ru = elemen-elemen ris lm ( x âj) = [ ] ris lm [ / / ] ris kunci ru [ 4/ -/ ] elemen-elemen ris ru = elemen-elemen ris lm ( x âj) = [ 4 7] ris lm [ / / ] ris kunci ru [ - ] Sehingg tel dihsilkn tel ru segi erikut: Cj Ci i j S S S i Ri S 4/ -/ / / S - Zj 6 Zi - Ci - *) Kren nili dri Zj - Cj msih d yng negtif mk tel elum mksimum, sehingg hrus ditentukn kolom kunci, ris kunci dn perhitungn untuk menyusun tel ru seperti lngkh di ts, dn diperoleh tel ru segi erikut : Cj 5/ 6 Ci i j S S S i Ri S / -/ / -/ 6 -/ ½ 6 Zj ½ ½ 66 Zj - Cj ½ ½
*) Kren semu nili dri Zj - Cj mk tel sudh mksimum dengn nili dri = 6 dn = 6 dn Zmks dlh 66 Sehingg hsil khir dri tel simpleks persoln di ts dlh segi erikut: Ci i S S S Cj j S S S i Ri 6 4 7 Zj Zi - Ci - - S 4/ -/ / / S - Zj 6 Zi - Ci - S / -/ / -/ -/ ½ 6 6 Zj ½ ½ 66 Zj Cj ½ ½ 4 5/ 6 Contoh Sol: Selesikn Persoln Progrm Linier erikut dengn Metode Simpleks Memksimumkn Z = + Fungsi Kendl : + 8 + c 6 dn, Memksimumkn Z = + Fungsi Kendl : 5 + 6 6 + 6 c
d 6, dn, Memksimumkn Z = 7 Fungsi Kendl : + = 4 + 5 6 c 6 + 7 d 4 + 8 5, dn, 4 Memksimumkn Z = 4 + 5 Fungsi Kendl : ) 5 + 4 ) + 6 = 8 c) 8 + 5 6, dn, 5 Memksimumkn Z = 4 + + 5 4 Fungsi Kendl: ) + + + 44 5 ) + + 4 5 c) + + + 4 =, dn,,, 4