KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian: 1. Diagram panah 2. Diagram kartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus Notasi Fungsi Himpunan A disebut domain/daerah asal (D f ). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (R f ). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x A ke f(x) B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A B x f(x) = y catatan: x A disebut prapeta, f(x) B yang memiliki hubungan dengan x A disebut peta/bayangan dari A, ditulis y = f(x). x disebut sebagai variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain). y disebut sebagai variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain). Sifat-sifat fungsi khusus suatu fungsi 1. Fungsi injektif/fungsi satu-satu Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B. (i) (ii)

2 2. Fungsi into/fungsi ke dalam dan Fungsi surjektif/fungsi onto/fungsi ke pada a. Fungsi into/ fungsi ke dalam Suatu fungsi f: A B disebut fungsi ke dalam jika terdapat unsur B yang tidak mempunyai pasangan atau pra peta di A. b. Fungsi surjektif/ fungsi onto/ fungsi ke pada Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi ke pada (surjektif) jika setiap umsur B memiliki pra peta di A. (i) (ii) 3. Fungsi bijektif (fungsi injektif dan fungsi bijektif/korespodensi satu-satu) Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif. (i) (ii) Latihan Fungsi: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal D f = { x x R}: a. f(x) = 2 b. f(x) = 3-2x c. f(x) =3x+1 d. f(x) = x 2-4 e. f(x) = x 2 + x -2 2. Fungsi-fungsi berikut ini adalah pemetaan dari himpunan A = {x, y, z} ke himpunan B = {1, 2, 3}. Manakah yang merupakan fungsi ke pada B dan manakah yang merupakan fungsi ke dalam? a. f = { (x,1), (y,1), (z,1)} b. f = { (x,1), (y,2), (z,2)} c. f = { (x,1), (y,2), (z,3)} d. f = { (x,2), (y,2), (z,3)} e. f = { (x,1), (y,3), (z,2)} f. f = { (x,3), (y,2), (z,1)} 3. Diketahui f : A B dan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2-3x. Apakah fungsi f merupakan fungsi injektif?

3 4. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x y? a. b. c. d. e. f. g. h. 5. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi? a. b. c. d. e.

4 6. Tentukan domain (daerah asal) untuk fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = x 2 + 2x + 5, xr b. f(x) = 25 x, xr c. f(x) =, xr d. f(x) =, xr e. f(x) = x 2, xr Ingat: domain fungsi y = g(x) g(x) 0. y = () h(x) 0. () 7. Tentukan daerah hasil dari: f(x) = 2x 2 6x + 3, xr Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = f (x) = ax 2 + bx +c, a 0, a, b, c R 1.Buat daftar nilai f dalam tabel. Ingat untuk fungsi y = f (x) = ax 2 + bx +c x Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke y bawah. a.tentukan titik puncak atau titik baliknya : (x,y) =, b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1.Buat daftar nilai f dalam tabel. x. y b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan garis.

5 Skema macam-macam bilangan Bilangan kompleks (C) Bilangan real (R) Bilangan khayal (imajiner) Bilangan rasional (Q) Bilangan irasional Bilangan bulat (Z) Pecahan Bilangan cacah Bilangan bulat negatif Bilangan asli (A) Bilangan Nol Bilangan 1 Bilangan prima Bilangan komposit Operasi Aljabar pada Fungsi Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi dari x, maka: 1. a. (f + g )(x) = f(x) + g (x) b. (f - g )(x) = f(x) - g (x) 2. (f g) (x) = f(x) g (x) 3. () (x) =, dengan g(x) 0 () 4. f (x) = {(f(x))} Contoh Operasi Aljabar pada Fungsi: 1. Diketahui fungsi-fungsi f(x) dan g(x) ditentukan dengan rumus f(x) = 2x -10 dan g(x) = 2x 1. Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut ini: a. (f +g ) (x) d. (x) b. (f g ) (x) e. f 2 (x) c. (f g) (x) 2. Diketahui fungsi f (x) = x 2-2x - 6. Tentukan nilai f(x +4)! 3. Diketahui fungsi f (x) = x 2 +2x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)! Kesamaan Dua Fungsi f : A B dan g: A B dikatakan sama jika setiap unsur a A dipetakan sama oleh fungsi f dan g. Dengan kata lain, f = g jika dan hanya jika untuk setiap a A, berlaku f(a) = g(a). Contoh: buku paket hal 8 Latihan Kesamaan Dua Fungsi buku paket hal 9 Aktivitas Kelas no. a, b, d

6 Komposisi Fungsi Fungsi f : A B dengan f: x y atau y = f (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (f(x)) Fungsi h: A C dengan h: x z atau z = h (x) = g (f(x)) Jadi, h (x) = g (f(x)) atau h (x) = (g f)(x) = g(f(x)) g f dibaca g bundaran f atau g komposisi f h disebut fungsi komposisi. Sehingga, 1. (g o f)(x) = g (f(x)) 2. (f o g)(x) = f (g(x)) Latihan Komposisi Fungsi : Selesaikan soal berikut! 1. Misal f: R R, g: R R dengan f(x) = 2x 2 + 1 dan g (x) = x +2. Tentukan: a. (g o f ) (x) b. (f o g) (x) c. (gof) (1) d. (fog) (1) e. (fog) (-2) 2. Diketahui fungsi : R R, g: R R dengan f(x) = 2x -3 dan g(x) = x 2 + 5. Hitung: a. (gof)(2) b. (fog) (-3) c. (g o g) (x) d. (g og) (-4) 3. Jika fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = x 2-2, tentukan: a. (gof)(x) b. (fog) (-20) 4. Diketahui f(x) = 4x-2, g(x) = 3x +7, dan (f o g) (a) = 2. Tentukan nilai a! 5. Jika fungsi f(x) = dan g(x) = 3x, tentukan nilai (f o g)(x)! 6. Diketahui : f(x) = 2x + 1, (fog)(x) = 2x 2-2x +7. Tentukan g(x)! 7. Diketahui (fog)(x) = x 2 2x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan f(x)! 8. Diketahui (fog)(x) = 3x - 7 dan f(x) = 3x + 8. Tentukan g(x)! 9. Diketahui (fog)(x) = 6x -3 dan f(x) = 2x + 5. Tentukan g(x)! 10. Diketahui (fog)(x) = x 2 4 dan g(x) = x+3. Tentukan f(x)! 11. Diketahui (fog)(x) = x 2 9 dan g(x) = x - 3. Tentukan f(x)! 12. Jika f(x) = 3x 11 dan (g o f) (x) = 3x + 7, tentukan g(x)! 13. Diketahui: g(x) =2x + 3, (fog)(x) = 4x 2 +10x +11. Tentukan f(x)!

7 Komposisi Tiga Fungsi Fungsi h : A B dengan h: x y atau y = h (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (h(x)) Fungsi f: C D dengan f: z w atau w = f (z) = f (g(y)) = f (g(h(x))) Komposisi dari tiga fungsi, yaitu (f g h) (x) = f (g(h(x))) Sehingga, 1. (f g h) (x) = f (g(h(x))) 2. (h g f) (x) = h (g(f(x))) Sifat-sifat Komposisi Fungsi 1. Tidak komutatif (g o f)(x) (f o g)(x) 2. Asosiatif (f g h)(x) = f (g(h(x))) = ((f g) h) (x) = (f (g h))(x) 3. Ada elemen identitas, yaitu I (x) = x, artinya untuk setiap f berlaku f I = I f = f Latihan: 1. Misal fungsi f, g, dan h masing-masing memetakan f: R R dengan R adalah himpunan bilangan real. Jika f(x) = 2x -1, g (x) = x 2 +1 dan h (x) = x +2. Tentukanlah: a. (f g) (x) c. ((f g) h)(x) b. (g f) (x) d. (f (g h))(x) Apakah (f g) (x) = (g f) (x)? Apakah ((f g) h)(x) = (f (g h))(x)? 2. Diketahui f: R R dengan R himpunan bilangan R, dengan f(x) = x +3. Tentukan: a. (f I ) (x) b. ( I f) (x) 3. Misal f (x) = 3x, g (x) = 2x - 3, h(x) = x 2-2. Tentukan : a. (fogoh)(x) b. (fogoh)(-1) c. (fogoh)(2) 4. Misal f (x) = x+1, g (x) = 2x, h(x) = x 2 +2. Tentukan : a. (hogof)(x) b. (hogof)(0) c. (hogof)(1)

8 Fungsi Invers Fungsi f : A B dengan f: x y. Fungsi f -1 : B A dengan f -1 : y z. Fungsi f -1 disebut invers dari fungsi f. Ada kecenderungan/kebiasaan yang menotasikan variabel bebas dengan x dan variabel terikat dengan y, sehingga: Penulisan invers fungsi f yaitu = f -1 (y) diganti menjadi y = f -1 (x). Inversnya diganti/ditulis y = f (x) x = f -1 (y) y = f -1 (x) 1. Tentukan invers dari fungsi berikut kemudian tentukan nilai f -1 (-1) dan f -1 (0)! a. f(x) = 3x 9 b. f(x) =, dengan x c. f (x) = x 1 d. f (x) = x + 1 e. f (x) = x + 2 + 1 f. f(x) =, dengan x g. f(x) = 3x + 7 h. f(x) = x 3 +2 i. f(x) = 2 x + 4 j. f(x) = dengan x 2. Diketahui f 1 ( x ) = - 3x +15. Tentukan nilai f (-3)! 3. Diketahui f (x) =. Tentukan: a. f b. daerah asal f 4. Diketahui f 1 ( x) = x - 12. Tentukan nilai f (2)! 5. Diketahui f(x) = dan f 1 ( k) = 6. Tentukan nilai k! 6. Diketahui f(x) = dan f 1 ( k ) = 4. Tentukan nilai k! 7. Diketahui g (x) =. Tentukan: a. g (x) b. daerah asal g (x) 8. Diketahui f 1 ( x ) = x - 6. Tentukan nilai f (3)! 9. Diketahui f(x) = dan f 1 ( a ) = 4. Tentukan nilai a!

9 Fungsi Invers dan Komposisi Fungsi Misalkan f: A B dan g: B C bijektif, maka: 1. f f= f f = I 2. (g f ) = f g 3. (f g) = g f 4. (f g h) = h g f Latihan 1. Diketahui f: RR dan g: RR dengan f(x) = x + 2, g(x) = 4-2x. Tentukan: a. (f g)(x) b. (g f)(x) c. (f g) (x) d. (g f ) (x) e. g f (x) f. f g (x) Buatlah kesimpulan dari c-f! 2. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 2 dan g(x) = - x - 5. Tentukan ( f g) 1 ( x)!! 3. Diketahui fungsi f (x) = x - 5 dan g(x) = 6x 7. Tentukan nilai x jika ( f ) 1 ( x) 1 g! 4. Diketahui fungsi f(x) = dengan x 0 dan g(x) = 3x -2. Tentukan ( ) f g 1 ( x)! 5. Diketahui fungsi f (x) = x - 2 dan g(x) = 2x + 5. Tentukan ( g f ) 1 ( x)! 6. Diketahui fungsi f (x) = x - 1 dan g(x) = 3x 4. Tentukan nilai x jika ( g) 1 ( x) 2 f! 7. Diketahui f(x) = x dengan x 0 dan g (x) = dengan x -1. Tentukan ( ) g f 1 ( x)!