GEOMETRI N PENGUKURN Oleh: l. Kismanto, M.Sc 1
I. PENHULUN. Memahami pengetian dan penyataan Kita mengenal penalaan induktif dan deduktif. Penalaan induktif beangkat dai hal-hal khusus sehingga dapat digenealisasikan. Penalaan deduktif beangkat dai penyataan umum yang bena yang dengan langkah-langkah logis dituunkan penyataan-penyataan lainnya yang bena. Kelebihan deduksi yang valid atau sahih, kesimpulan yang didapat dinyatakan tidak akan penah salah jika pemis-pemisnya sungguh benilai bena. Salah satu contoh yang meupakan ilmu deduktif-sistematik atau deduktik-aksiomatik, adalah geometi yang disajikan dalam geometi Euclides. alam geometi aksiomatik atau geometi fomal tedapat dua jaingan, yaitu: jaingan konsep (jaingan pengetian) dan jaingan penyataan. da dua jenis jaingan pengetian yaitu; (i) pengetian pangkal (pimitive concept; konsep pangkal) (ii) pengetian bukan pangkal Pengetian pangkal ialah pengetian yang tanpa haus didefinisikan, haus diteima. tinya, tanpa definisi, makna setiap pengetian pangkal dianggap sudah cukup jelas (bagi siswa, pembaca). Sedangkan tiap-tiap pengetian yang bukan pangkal haus didefinisikan. Mula-mula dengan menggunakan pengetian pangkal, kemudian juga menggunakan pengetian bukan pangkal lain yang sudah didefinisikan telebih dahulu. da dua jenis penyataan, yaitu (i) penyataan pangkal (aksioma), dan (ii) penyataan bukan pangkal Penyataan pangkal (aksioma) haus diteima kebenaannya (oleh pembaca, siswa) tanpa bukti. Semua penyataan lain disebut dalil atau teoema, dan haus dibuktikan kebenaannya. Mulamula dai aksioma-aksioma saja, kemudian juga dai dalil-dalil lain yang sudah dibuktikan telebih dahulu. Kedua jaingan di atas dapat digambakan dengan skema sebagai beikut. Geometi Kelompok pengetian pangkal definisi pengetian bukan pangkal pengetian bukan pangkal pengetian bukan pangkal definisi definisi definisi Kelompok penyataan pangkal d a l i l d a l i l d a l i l bukti bukti bukti bukti dan seteusnya dan seteusnya Gamba 1.1 l.kis: Geoata 1-3 1
. Pengetian pangkal dan bukan pangkal Konsep atau pengetian dapat dikategoikan sebagai konsep benda (benda pikian) dan elasi. Temasuk konsep pangkal benda misalnya titik, gais, dan kuva. Temasuk konsep pangkal elasi, misalnya teletak pada, melalui, dan teletak di lua. ikenal misalnya (titik) teletak pada (gais atau kuva) atau (gais atau kuva) melalui (titik), dan (titik) di lua (gais atau kuva). alam geometi titik menempati suatu posisi atau tempat, tetapi tidak memiliki ukuan. Sebuah noktah yang digambakan dengan pensil sangat lancip mungkin secaa kasa dapat meepesentasikan sebuah titik. Namun ketebatasan alat yang membeikan ketebalan sebuah noktah tidak menguangi makna sifat titik dalam bahasan geometi sebagai benda pikian. Titik dibei nama dengan sebuah huuf kapital. Panjang gais tidak tebatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Jika sebuah gais ditelusui dengan sebuah titik yang diwakili oleh ujung pensil, maka meskipun sekali lagi ketebalannya muncul, hal ini juga tidak beati bahwa gais memiliki ketebalan. Pada Gamba diepesentasikan bebeapa buah titik teletak pada sebuah gais. Untuk membeikan nama sebuah gais atau bagian-bagiannya (contoh pengetian bukan pangkal), salah satu dapat dipilih: a. gunakan huuf kecil (lowecase), misal gais pada Gamba 1. dinamakan gais g. b. ambil sebaang dua titik bebeda pada gais tesebut, dan tuliskan dengan lambang gais di atas kedua titik. Pada Gamba gais g dapat dibei nama,,, dan masih banyak lagi. g Gamba 1. c. jika hanya ditinjau bagian gais dai titik sampai dengan titik, maka bagian itu dinamakan uas gais, dibei nama Pada gamba tesebut ada bebeapa uas gais lain, misal:,, dan. Panjang uas gais dilambangkan. d. agian gais dai titik ke kanan tak tebatas disebut sina gais. emikian juga ke kanan tanpa batas, ke kanan tanpa batas, ke kii tanpa batas. Sina-sina gais tesebut misalnya:, =. ontoh lain dai pengetian bukan pangkal misalnya sudut, segitiga, segiempat, dan masih banyak lagi. Pengetian bukan pangkal memuat lebih dai satu pengetian-pengetian pangkal atau bahkan pengetian bukan pangkal lainnya. Kaena itu, pengetian bukan pangkal itu didefinisikan. efinisinya dapat beupa kalimat deklaatif biasa (langsung), tetapi juga dapat beupa implikasi. Misalnya (1) segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang, atau () jika ketiga sisi segitiga sama panjang, maka segitiga tesebut dinamakan segitiga samasisi. ontoh: a. Sumbu sebuah uas gais adalah gais yang melalui titik tengah uas gais yang diketahui dan tegakluus tehadap uas gais tesebut. b. Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang sama panjang c. Lingkaan adalah tempat kedudukan titik-titik yang bejaak sama tehadap sebuah titik tetentu.. Penyataan pangkal dan bukan pangkal i sini penyataan tekait dengan pinsip. Penyataan dapat beupa aksioma, sifat, dalil atau teoema, atau sesuatu yang muncul sebagai akibat dai bebagai sifat atau teoema yang tekait. Salah satu dai yang teakhi ini di antaanya bebentuk soal. l.kis: Geoata 1-3
Pinsip yang kebenaannya diteima tanpa bukti disebut aksioma. tau aksioma adalah penyataan yang diteima kebenaanannya tanpa bukti. ebeapa aksioma meupakan penyataanpenyataan pangkal. ontoh: a. Pada setiap gais tedapat paling sedikit dua buah titik. b. Melalui sebuah titik di lua sebuah gais hanya dibuat tepat satu buah gais sejaja gais tesebut. c. Melalui dua buah titik hanya dapat dibuat tepat sebuah gais luus. ai aksioma atau definisi dapat dituunkan penyataan-penyataan bukan pangkal. Penuunan ini menghasilkan sifat. Kebenaan sifat haus dibuktikan. ontoh: a. Panjang sebuah sisi dalam sebuah segitiga kuang dai jumlah panjang dua sisi lainnya b. Pada segitiga samakaki, kedua sudut pada kaki yang sama, sama besa. Penyataan bukan pangkal yang lain adalah teoema/dalil. Kebenaannya dibuktikan bedasa kebenaan-kebenaan tedahulu yang telah diteima atau dibuktikan, temasuk dimasukkannya definisi-definisi bau dalam mengembangkan geometi.(pada bab beikutnya dibeikan bebeapa contoh pembuktian teoema; di sini tidak semua teoema/dalil dibuktikan). ontoh: a. engan tedefinisinya sudut sehadap, sudut dalam/lua sepihak, sudut dalam/lua besebeangan, bebeapa dalil dibuktikan kebenaannya, misalnya: Jika gais dua gais sejaja dipotong oleh sebuah gais lain, maka: 1) sudut besebeangannya sama besa ) sudut sehadapnya sama 3) sudut dalam sepihaknya saling bepeluus 4) sudut-sudut lua sepihaknya saling bepeluus dan bebeapa dalil kebalikannya, misal Jika dua buah gais dipotong oleh sebuah gais ketiga sehingga sudut besebeangannya sama besa, maka kedua gais itu sejaja. b. Jika sebuah segitiga mempunyai dua sudut yang sama besa, maka segitiga tesebut adalah segitiga samakaki. c. Jika sudut-sudut yang behadapan pada sebuah segiempat sama besa, maka segiempat tesebut adalah jajagenjang. d. alam sebuah segitiga siku-siku, jumlah kuadat panjang sisi-sisi siku-sikunya sama dengan kuadat panjang hipotenusanya. Untuk menyatakan sebuah teoema aga lebih cepat dikenali seing digunakan lambanglambang, yang dituliskan dalam bentuk umus. Misalnya dalil atau teoema Pythagoas dalam yang siku-siku di titik sudut dinyatakan dalam Rumus Pythagoas: c = a + b l.kis: Geoata 1-3 3
II. SUUT. Pengetian Sudut 1. Sudut adalah daeah antaa dua sina gais yang besekutu pada pangkal sina-sina gais tesebut. Gamba.1 adalah sudut, atau, atau.. apat pula disebut sudut, atau dan masing-masing dinamakan kaki-kaki sudut. 3. Ukuan besanya suatu sudut dinyatakan oleh jaak puta salah satu kaki tehadap kaki sudut lainnya. alam hal tetentu dibedakan peputaan ke kii dan ke kanan. ah putaan ke kii (belawanan dengan aah puta jaum jam) disepakati betanda positif, ke kanan (sama dengan aah puta jaum jam) negatif. Untuk kepeluan tetentu lain-nya besa sudut tidak mempehatikan aah putaan kaki yang satu tehadap lainnya. Untuk bahasan pada geometi data, yang dipehatikan adalah peputaan diawali dai kedua kaki beimpit sampai dengan satu putaan penuh (sudut penuh, full angle). Sudut Sebagai entuk engan pmempehatikan bentuk-bentuk sudut yang tebentuk dai awal sampai satu putaan penuh diklasifikasikan sebagai beikut (Gellet et.al, 1977:147-148) 1. sudut lancip, besanya kuang dai sepeempat putaan penuh.. sudut siku-siku, besanya sepeempat putaan penuh 3. sudut tumpul, besanya lebih dai sepeempat putaan, kuang dai setengah putaan. 4. sudut luus, besanya setengah putaan penuh 5. sudut efleks, besanya lebih dai setengah putaan, kuang dai satu putaan penuh. 6. sudut penuh, besanya satu putaan penuh. b c d a Gamba.. Satuan Ukuan Sudut Semua caa pengukuan sudut belandas pada pembagian lingkaan atau putaan penuh. ikenal dua macam ukuan, yaitu deajat dan adian. Yang teakhi ini bedasa pada panjang busu lingkaan yang besangkutan. 1. Satuan eajat ila pada sebuah lingkaan digamba jai-jai sedemikian sehingga membaginya menjadi 360 bagian yang sama, maka sudut antaa setiap dua jai-jai yang beuutan besanya dinamakan 1 (satu) deajat, dilambangkan 1 o. emikianlah maka 1 o adalah ukuan sudut yang besanya sepeenamatus enampuluh putaan penuh. Satu deajat dibagi menjadi 60 sama besa, masing-masing dinamakan 1 menit (1 ). Satu menit dibagi menjadi 60 sama besa, masing-masing 1 detik (1 ) Pembagian di atas mengingatkn kita pada pembagian waktu, yaitu suatu sistem yang menggunakan sistem seksagesimal, sistem enampuluhan: menit dan detik Kaena itu pelu kehatihatian pada penggunaannya. Jadi pada ukuan sudut ini belaku: 1 o = 60 = 3600 (satu deajat sama dengan 60 menit, sama dengan 3600 detik) Pada pehitungan, seing juga digunakan satuan campuan. alam deajat dilambangkan dengan sistem desimal, misalnya 31,5 o = 31 o 30. e Gamba.1 f 4 l.kis: Geoata 1-3
da suatu sistem bau deajat dimana satu putaan penuh dibagi menjadi 400 bagian yang sama, masing-masing satu deajat bau yang dikenal dengan 1 gade (1 g ). Kaena itu maka 90 o = 100 g. Setiap 1 g dibagi menjadi 100 menit bau = 100 c dan 1 c = 100 cc (detik bau): 1 g = 100 c = 10.000 cc Tujuan penggunaan satuan ini adalah mengaitkannya dengan sistem desimal. Namun yang lebih banyak digunakan sampai sekaang adalah tetap menggunakan satuan deajat-menit-detik atau deajat dengan bagian-bagiannya meupakan bentuk desimal dai deajat.. Satuan busu Pada sebuiah lingkaan, panjang sebuah busu antaa dua jai-jai sebanding dengan besanya sudut di antaanya dan panjang jai-jainya. Jika panjang busunya adalah b dan besa sudutnya adalah α, maka α 1 : α = b 1 : b. ibandingkan dengan satu lingkaan/putaan penuh dan dengan mengingat bahwa panjang busu satu lingkaan penuh bejai-jai adalah π, maka: α o : 360 o = b : π b 1 s 1 b b s s Gamba.3 Satuan sudut yang dikaitkan dengan panjang busunya adalah adian. Sebuah sudut pusat s dalam sebuah lingkaan bejai-jai dikatakan besanya 1 aadian (1 ad) jika sudut pusat lingkaan tesebut menghadap busu lingkaan yang besangkutan yang panjangnya sama dengan panjang jai-jainya. Kaena keliling lingkaan atau panjang busu lingkaan penuh adalah π, maka besa sudut satu lingkaan penuh adalah π adian. Jadi π ad = 360 o 1 ad = 360 o = 57,95779513 o 57 o.17 44 π π ad = 180 o 1 o = π 180 ad 0.01745395 ad 1 π ad = 90o Lingkaan satuan adalah lingkaan yang panjang jai-jainya 1 satuan. Kaena itu maka kelilingnya adalah π. Selanjutnya besa sudut-sudut pusatnya pun dapat dinya-takan sesuai panjang busunya. Misalnya, panjang busu 1/6 lingkaan seing disebut 60 o sesuai sudut pusatnya. meskipun belaku hanya jika panjang jai-jainya 1 satuan.. Relasi anta Gais; nta Sudut g h 1. ua gais g dan h pada sebuah bidang mungkin sama. ikatakan keduanya beimpit atau satu gais saja. ua gais bebeda g dan h pada sebuah bidang mungkin: a. bepotongan di sebuah titik. Keduanya mempunyai sebuah titik pesekutuan. b. sejaja. Keduanya tidak mempunyai titik pesekutuan.. ua gais bepotongan membentuk: sudut besisihan Pada Gamba.4 yang besisihan misalnya 1 dengan 4 dan, 3 dengan 4 dan, sudut betolak belakang Jumlah besa sudut besisihan 180 o Sudut betolak belakang sama besa (i) (ii) g h g 1 3 4 h Gamba.4 l.kis: Geoata 1-3 5
Jika satu di antaa sudutnya 90 o, maka keempat sudutsama besa, besanya masingmasing 90 o. alam hal demikian maka kedua gais dikatakan saling tegak luus; dituliskan g h atau h g. 3. Pepotongan dua gais mungkin dapat ditunjukkan pada gamba (Gamba.4 (i)), mungkin juga tidak (Gamba.4 (ii)), antaa lain kaena bidang gambanya tidak mencukupi atau memang tidak pelu untuk menunjukkannya. 4. Tiga gais Tiga gais bebeda a, b, dan c mungkin a. sejaja. Jika a b dan a c, maka b c a b c b. tidak semuanya sejaja 1) ketiganya tidak saling sejaja, tebentuk pasangan sudut-sudut a) sehadap: 1 5 dan 1; 6 dan ; 7 dan 3; 8 dan 4; a 3 4 6 5 b) besebeangan lua: 7 dan 1; 8 dan 7 8 b c) besebeangan dalam: 5 dan 3; 6 dan 4 Gamba.5 c ) dua di antaanya sejaja, yang ketiga memotong keduanya. Jika a b dan c memotong a, maka c memotong b. Lihat buti 5 beikut ini. 5. Sudut dan Kesejajaan Gais c a. Jika gais a b dipotong oleh gais c maka: 1) sudut sehadap sama besa: 1 4 5 = 1; 6 = ; 7 = 3; 8 = 4; 3 ) sudut besebeangan lua sama besa: 5 8 7 = 1; 8 = 6 7 3) sudut besebeangan dalam sama besa: 5 = Gamba.6 3; 6 = 4 4) kibat: 1 = 3 = 5 = 7 dan = 4 = 6 = 8 b. Jika gais a dan b dipotong oleh gais c dan sudut sehadapnya sama besa, maka a b. c. Jika gais a dan b dipotong oleh gais c dan sudut besebeangan luanya sama besa, maka a b. d. Jika gais a dan b dipotong oleh gais c dan sudut besebeangan dalamnya sama besa maka a b. 6. edasa sifat kesejajaan tesebut bebeapa sifat dituunkan: a. Jumlah besa sudut sebuah segitiga 180 o. alam : u + u + u = 180 o (u = ukuan/besa sudut ) eikut ini adalah satu contoh kegiatan penalaan induktif yang dapat dilakukan siswa. i suatu kelas setiap siswa ditugasi menggamba sebuah segitiga. Meeka diminta (1) menggunting segitiga sekeliling sisi-sisinya, () memotongnya menjadi tiga bagian daeah segitiga yang memuat setiap pojoknya dan (3) mengimpitkan kaki-kaki segitiga tesebut. ebeapa kemungkinan hasilnya adalah: Langkah (1) a b Gamba.7 (i) 6 l.kis: Geoata 1-3
Langkah () Gamba.7 (ii) Langkah (3) Gamba.7 (iii) Tenyata dipeoleh bahwa hasil pengimpitan ketiga sudut segitiga dai bebagai bentuk segitiga tesebut adalah sudut luus, sehingga disimpulkan bahwa jumlah besa ketiga sudut sebaang segitiga adalah 180 o. engan penalaan deduktif, dalil atau teoema di atas dibuktikan sebagai beikut: Untuk membuktikan kebenaan bahwa jumlah besa susut-sudut sebuah segitiga adalah 180 o, dapat digunakan dalil yang sebelumnya telah dibuktikan kebenaannya. alil itu adalah: Jika ada dua gais sejaja dipotong gais ketiga, maka: sudut sehadap sama besa, sudut dalam besebaangan sama besa, dan sudut lua besebeangan sama besa. iketahui: uktikan: besa + + = 180 o g ukti: Taik gais Taik melalui taik gais g Gais g dipotong oleh 1 3 kibat: besa = 3 (sudut sehadap) besa = (sudut dalam besebaangan) Gamba.8 Jadi besa + + = besa 3 + 1 + = 180 o (kaena ketiganya membentuk sudut luus). (tebukti) b. esa sebuah sudut lua sebuah segitiga sama dengan jumlah besa dua sudut lainnya. u = u + u 1 (dapat dibuktikan bedasakan Gamba.8) E. Konstuksi Sudut Gamba. 9 1. Melukis gais bagi sudut a. Jika titik M adalah sebuah titik pada sudut di antaa kedua kaki sudut sedemikian sehingga u M = u M, maka M disebut gais bagi. b. Setiap titik pada c. Teknik melukis gais bagi : M bejaak sama tehadap dan. T T Gamba.10 l.kis: Geoata 1-3 7
1) Jangkakan sebuah busu lingkaan bepusat di titik, memotong kaki sudut misal di titik dan. ) engan panjang jai-saji sama, jangkakan sebuah busu lingkaan masing-masing bepusat di titik dan.kedua busu bepotongan misal di titik T. 3) Taik T, yang meupakan gais bagi sudut.. Pasangan Segitiga Siku-siku Pasangan segitiga siku-siku besudut 90 o, 45 o. 45 o dan besudut 90 o, 60 o, 30 o sangat beguna untuk menggamba sudut-sudut tetentu. Tidak semua sudut dapat dibuat menggunakan jangka dan pasangan penggais segitiga siku-siku tesebut. 3. Melukis Sudut Khusus a. engan menggunakan vaiasi kedudukan pasangan segitiga siku-siku dapat digamba sudutsudut tetentu, misalnya 75 o, 15 o, dan semua sudut yang beelasi dengannya, misalnya 105 o, 85 o dan banyak lainnya. 75 o Gamba.11 105 o 105 o 15 o Gamba.1 b. engan menggunakan jangka maka semua sudut yang meupakan setengah, sepedelapan, sepeenambelas sudut-sudut yang dapat telukis pada langkah 1) dapat dilukis, misalnya,5 o, 7,5 o, 67,5 o, 11,5 o, 3,75 o dan seteusnya. c. Sudut-sudut Sudut 54 o, 108 o dapat dilukis sesuai dengan langkah melukis segilima beatuan. Jika dikembangkan, maka sudut 7 o, 18 o, dan 9 o dapat dilukis menggunakan jangka dan penggais. engan mengombinasikannya dengan pengembangan lukisan sudut 45 o, dan 30 o, maka semua sudut kelipatan 3 o dapat dilukis. emikian pula setengah, sepeempat, dai sudut-sudut tesebut. 54 o 36 o 108 o Gamba.13 8 l.kis: Geoata 1-3
III. SEGITIG Segitiga tebentuk oleh tiga uas gais yang setiap ujungnya besekutu dengan sebuah ujung uas gais lainnya. Pesekutuan-pesekutuan tesebut membentuk (tiga) buah titik sudut segitiga. Ruas gais semula membentuk sisi-sisi segitiga. Ketiga uas gais melingkupi sebuah daeah segitiga. Jumlah ketiga panjang uas gais dinamakan keliling segitiga tesebut. Ukuan besa daeah segitiga meupakan ukuan luas daeah segitiga yang secaa singkat dinamakan luas segitiga.. Jenis Segitiga 1. Segitiga lancip: ketiga sudutnya lancip. Segitiga siku-siku: salah satu sudutnya siku-siku 3. Segitiga tumpul: salah satu sudutnya tumpul 4. Segitiga samakaki: mempunyai dua sisi yang sama panjang 5. Segitiga samasisi: ketiga sisinya sama panjang. Ketidaksamaan Pada Sisi Segitiga an Hubungan Sudut & Sisi 1. Jika dua buah sisi sebuah segitiga tidak sama panjang, maka sudut tebesa teletak di hadapan sisi tepanjang. Pada, > > ukti: samakaki = 1 = + 1 = + Gamba 3.1 sehingga: + > + > atau > Sebaliknya:. Jika dua buah sudut pada sebuah segitiga tidak sama, maka sisi tepanjang teletak di hadapan sudut tebesa Pada, ukti: > > igunakan bukti tidak langsung. da 3 kemungkinan hubungan antaa dan yaitu: 1) < ) = 3) > Gamba 3. 1) Jika <, maka < (menuut Teoema I) ) Jika =, maka =. Hal ini betentangan dengan yang diketahui. Jadi = salah 3) Jadi kemungkinan yang bena > l.kis: Geoata 1-3 9
3. alam sebuah segitiga, jumlah panjang dua buah sisi, lebih panjang dai panjang sisi yang ketiga Jika pada, yang panjangnya b adalah sisi tepanjang pun, b < a + c. Teoema Pythagoas 1. Sisi di depan sudut siku-siku padasegitiga siku-siku disebut hipotenusa. Segitiga siku-siku jumlah kuadat panjang dua sisi siku-siku segitiga itu sama dengan kuadat panjang sisi ketiga (hipotenusa). Teoema Pythagoas sangat penting kaena banyak digunakan dibebagai banyak topik di dalam matematika maupun fisika... Similaitas dan Konguensi 1. ua bangun disebut konguen (sama dan sebangun) jika setiap dua pasang titik yang besesuaian pada kedua bangun bejaak sama.. ua segitiga dikatakan konguen (sama dan sebangun) jika dan hanya jika sisi-sisi (dan akibatnya sudut-sudut) yang besesuaian sama besa. a. ua segitiga konguen ketiga sisinya sama panjang s, s, s b. ua segitiga konguen sebuah sisi dan kedua sudut apit sama besa sd, s, sd c. ua segitiga konguen dua sisi sama panjang dan sudut apitnya sama besa. s, sd, s d. ua segitiga konguen satu sisi besesuaian sama panjang dan dua sudut pada sisi dan di hadapan sisi besesuaiam itu sama besa. s, sd, sd 3. ua bangun disebut sebangun (simila) jika setiap dua pasang titik yang besesuaian pada kedua bangun jaaknya sebanding dengan jaak dua pasang titik lainnya. 4. ua segitiga dikatakan sebangun (simila) jika: a. pebandingan panjang sisi-sisinya yang besesuaian sama, atau b. sudut-sudutnya yang besesuaian sama besa 5. ebeapa akibat: a. Jika sebuah gais g sisi pada dan memotong di titik dan di E, maka: 1) E dan E ( E dibaca sudut E konguen dengan sudut. ua sudut konguen jika keduanya sama besa). ) E ~ ; kibat lebih lanjut: 3) : = E : = E : 4) : = E : 5) Luas E : Luas = () : () = (E) : () = (E) : () Gamba 3. b. Jika titik dan E pada gamba di atas masing-masing titik tengah dan, maka E disebut (salah satu) paalel tengah pada segitiga tesebut. E = 1 dan E c. Jika pada tesebut titik pada dan E pada sedemikian sehingga besa E = dan E =, maka E disebut uas o E gais anti paalel tehadap. * Gamba 3.3 10 l.kis: Geoata 1-3 o * E
E. Sumbu 1. Sumbu sisi segitiga adalah gais yang melalui titik tengah sisi segitiga dan tegakluus sisi tesebut.. Ketiga sumbu bepotongan pada satu titik (misal di O) sb R sb Titik O bejaak sama tehadap ketiga titik sudut, sehing-ga meupakan pusat lingkaan lua segitiga tesebut. O 3. Jai-jai lingkaan lua = R R = abc Gamba 3.4 4L L = Luas segitiga F. Gais Tinggi 1. Gais tinggi adalah uas gais yang melalui sebuah titik sudut dan tegakluus pada sisi di hadapan titik sudut tesebut. sb. Ketiga gais tinggi suatu segitiga betemu di satu titik, disebut b E a titik tinggi segitiga tesebut. T 3. Panjang dua gais tinggi suatu segitiga bebanding sebagai kebalikan sisi-sisi yang behadapan. dan E maka: : E = 1 : 1 F c Gamba 3.5 atatan : seing dinyatakan: t b : t b = 1 : 1 ; tb : t a b c = 1 : 1, dan tb : t b c b : t c = 1 : 1 : 1 a b c Jika a + b + c = s ipeoleh a + b c = a + b + c c = c c = (s c) a b + c = a + b + c b = s b = (s b) a + b + c = a + b + c a = s a = (s a) Jika dijabakan dipeoleh: t a = s( s a)( s b)( s c ) sehingga Luas = a 1 a t b, atau Luas = s( s a)( s b)( s c) G. Gais eat 1. Gais beat dalam sebuah segitiga adalah uas gais yang melalui sebuah titik sudut dan titik tengah sisi di hadapan (titik) sudut tesebut. E = E; F = F; = Gamba 3.6, E, dan F adalah gais-gais beat.. Ketiga gais beat dalam sebuah segitiga bepotongan pada sebuah titik. Titik tesebut dinamakan titik beat segitiga tesebut. Titik Z adalah titik beat. 3. Ketiga gais beat dalam sebuah segitiga bepotongan pada titik sebuah titik (disebut titik beat) dengan pebandingan panjang bagianbagiannya : 1, dengan bagian tepanjang dekat pada titik sudut. Z : Z = Z : ZE = Z : ZF = : 1 4. Jika z a panjang gais beat dai titik sudut, maka H. alil Poyeksi Jika pada dan panjang poyeksi pada adalah p, maka z 1 1 1 a = b + c a 4 {} E [1] (1) () Z {1} [] F E 1 o o 1 Gamba 3.7 l.kis: Geoata 1-3 11
a = b + c cp iketahui:, uktikan: a = b + c cp b t a ukti: alam : a = t + (c p) (1) alam : t = b p () t = b p disubstitusikan pada (1) dipeoleh: a = b p + (c p) a = b p + c cp + p a = b + c cp p c p Gamba 3.8 I. alil Stewat Jika sebuah titik pada sisi sebuah, sehingga = a 1 dan = a, maka: a = a b + a 1 c a 1.a.a ukti : Menuut dalil poyeksi dalam = c + a a p alam : b = c + a ap c b Jika p dieliminasi didapat : a a a. a b = ac a c + aa a a 1 atau p E a = a b + ac a c + aa a a J. Gais bagi Gamba 3.9 a = a b + a 1 c a 1.a.a (tebukti). 1. Gais bagi sebuah sudut pada sebuah segitiga adalah uas gais dai titik sudut yang besangkutan ke salah satu titik pada sisi di hadapan titik sudut tesebut dan membagi dua sama besa sudut tesebut.. Ketiga gais bagi pada sebuah segitiga bepotongan pada sebuah titik, dan dinamakan titik bagi segitiga tesebut. 3. Titik bagi sebuah segitiga meupakan titik pusat lingkaan dalam segitiga tesebut. Lingkaan tesebut menyinggung semua sisi segitiga. 4. Gais bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang behadapan atas dua bagian yang bebanding sebagai sisi-sisi yang bedekatan : = : atau c 1 : c = b : a 5. Panjang gais bagi d c = ab c 1 c 6. Jai jai lingkaan dalam (): = L s c Gamba 3.10 c 1 d c b a Gamba 3.11 L = Luas s = a + b + c Latihan 1 1. Sebutkan bebeapa konsep dan pengetiannya dalam geometi data.. Sebutkan bebeapa pinsip dalam geometi. 1 l.kis: Geoata 1-3
3. Jika α + θ = 180, maka sudut yang besanya α o dan θ o disebut sudut yang meupakan suplemen antaa satu dan lainnya, belakukah: dan sudut besisihan m + m = 180 o? ei penjelasan! 4. elakukah penyatan beikut: a. g h sudut antaa g dan h adalah 90 o 6x o b. Gais g h dan k g k h (100+x) o c. samakaki samasisi (100 4x) o 5. Infomasi yang dibeikan pada gamba di atas salah. Jelaskan! Latihan 1. Sudut dan adalah sudut yang besupmen satu tehadap lainnya. Jika α 30 o lebih dai kali besa sudut, beapakah sudut itu masing-masing?. Sudut dan saling bepenyiku dan sudut dfan saling bepeluus. Jika besa : besa = 7 : 16 dan besa : besa = 1 : 8, beapa besa sudut masing-masing? 3. Ubahlah ke sistem sexagesimal (deajat, menit, detik) a. 30, 5 o b. 45,6 o c. 75,36 o d. 7,45 o 4. Ubahlah ke sistem desimal dalam deajat: a. 5 o 45 b. 40 o.3 c. 65 o.45.15 d. 57 o.17 30.15 5. Nyatakan dalam deajat: a. 1 π ad b. 7 3 1 π ad c. 1 ad d. 3 ad 6. Nyatakan dalam adian atau π adian a. 75 o b. 300 o c. 100 o d. 0 o 7. Lukislah sudut-sudut beikut dengan jangka dan pasangan penggais siku-siku. a. 7 o b. 36 o 8. Sebuah oda beputa dengan kecepatan 160 RPM (otaion pe minute; putaan pe menit). a. eapa RPS (otation pe secon; putaan pe detik) kecepatan itu? b. eapa deajat yang dilampauinya dalam sepeempat detik? 9. iamete oda beikut bannya dai sebuah mobil adalah 5,5 cm. Jika mobil itu melaju dengan kecepatan 150 km/jam, beapa RPM ban mobil tesebut? Latihan 3 1. Jelaskan bagaimana menentukan nilai-nilai vaiabel pada gamba-gamba beikut a.. b. c. 4 q 36 8 t p 10 60 5,5 7 56 80. iketahui sembaang. Ke aah lua segitiga dilukis segitiga samasisi Q dan segitiga samasisi P. uktikanlah bahwa P = Q. l.kis: Geoata 1-3 13
3. Jika ketiga segiempat tekecil pada Gamba 3.5 adalah pesegi-pesegi yang konguen, buktikanlah bahwa jumlah besa sudut dan adalah 45 o. 4. iketahui. = 8 cm, = 5 cm, dan = 17 cm. Hitunglah: a. panjang gais tinggi, gais bagi dan gais beatnya dai titik sudut. b. panjang jai-jai lingkaan dalam dan lingkaan luanya. 5. Titik, E, dan F adalah titik-titik singgung lingkaan dalam sebuah, betuut-tuut pada sisi-sisi,, dan. = 40 cm, = 4 cm dan = 6 cm. Hitunglah jaak titik-titik sudut segitiga tesebut ke titik-titik singgungnya yang besangkutan. 6. Titik M adalah sebuah titik dalam sedemikian sehingga jaaknya ke kedua kaki sudut sama. Sebuah gais g bejaak 16 cm memotong kedua kaki sudut di titik dan. Gais yang melalui dan M memotong g di sehingga = 6 cm dan = 30 cm. Hitunglah panjang dan. 7. Sebuah papan homogen bebentuk segitiga beukuan 16 cm, 17 cm, dan 17 cm. imanakah tempat titik gantung papan tesebut aga jika digantung papannya mendata? 8. Gamba di samping adalah lempengan besi dengan ketebalan 10 g homogen. Yang semula bebentuk segitiga, sebagian padanya sudah dipotong dan ketika ditimbang tenyata beatnya 10 gam. eapa beat bagian-bagian lempengan itu masingmasing? 9. iketahui siku-siku di, = 40 cm dan = 75 cm; gais bagi sudut.hitunglah panjang. 10. Siapkan kisi-kisi sepeti di bawah ini; setiap kotak luasnya 1 satuan. Gambalah segitiga-segitiga tidak konguen sebanyak mungkin, yang titik-titik sudutnya teletak pada titik pepotongan kisi-kisi, yang luasnya: a. 1,5 satuan b. satuan c.,5 satuan 1 macam 14 l.kis: Geoata 1-3
IV. SEGIEMPT. Jenis-jenis Segiempat 1. Pengetian Segiempat adalah tebentuk oleh 4 uas gais yang ditentukan oleh 4 buah titik (sebidang), yang setiap 3 titiknya tidak segais, dan uas-uas gais itu saling betemu hanya di tiap-tiap titik ujungnya. (lemens, 1984:17). Setiap segiempat mempunyai (Gb. 4.1: segi-4 ): a. sisi (4 buah), yaitu uas-uas gais pembentuk segiempat:,,, dan. b. titik sudut (4 buah), yaitu titik pesekutan antaa sisi-sisinya yang bepotongan (,,, dan ). c. pasangan sisi behadapan ( pasang), yaitu pasangan sisi yang tidak bepotongan (pada uas gaisnya) ( dengan dan dengan ) d. (pasangan) sisi besisian, yaitu sisi-sisi yang meupakan kakl titik sudut Gamba 4.1 ( dengan, dengan, dan, dengan ) e. titik sudut behadapan ( pasang), yaitu titik sudut yang tidak memiliki sisi pesekutuan. ( dengan dan dengan ) f. sudut behadapan ( pasang), yaitu pasangan sudut pada titik sudut yang behadapan. ( dengan dan dengan ) g. diagonal ( buah), yaitu uas gais penghubung dua titik yang behadapan.( dan,) Sifat. Jumlah besa sudut sebuah segiempat 360 o. Pada segi-4, u + u + u + u = 360 o. Jenis-jenis segiempat da bebeapa caa mengklasifikasi (menyusun divisi) segiempat. Wiasto (1986:7) menyusun skema divisi segiempat sebagai beikut: segiempat segiempat talibusu jajagenjang layanglayang tapesium segiempat gais singgung belahketupat pesegipanjang tapesium siku-siku tapesium sama kaki pesegi Gamba 4. da bebeapa macam segiempat yang memiliki sifat khusus, yaitu: a. jajagenjang, ialah segiempat yang setiap pasang sisinya yang behadapan sejaja. lkis Geoata 4 15
1) jajagenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku disebut pesegipanjang (atatan: engan adanya satu sudut siku-siku, maka dengan sendiinya beakibat semua sudutnya siku-siku) ) pesegipanjang yang semua sisinya sama panjang disebut pesegi 3) jaja genjang yang keempat sisinya sama panjang dinamakan belahketupat 4) belahketupat yang mempunyai sudut siku-siku disebut pesegi. b. Layang-layang, ialah segiempat yang mempunyai tepat dua pasang sisi yang besisian sama panjang (lemens, 1984: 115). c. Tapesium, ialah segiempat yang mempunyai tepat sepasang sisi sejaja. Sisi-sisi yang tidak sejaja dinamakan kaki-kaki tapesium. 1) tapesium yang salah satu titik sudutnya siku-siku disebut tapesium siku-siku. ) tapesium yang kedua kakinya sama panjang dinamakan tapesium sama kaki. d. segiempat talibusu (segiempat siklik), ialah segiempat yang titik-titik sudutnya teletak pada sebuah lingkaan. e. segiempat gais singgung, ialah segiempat yang keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaan tetentu. atatan: Segiempat talibusu dan segiempat siklik dapat beupa segiempat yang memiliki satu di antaa sifat ketiga jenis lainnya.. Pinsip-pinsip (Sifat-sifat dan alil) pada Segiempat F a. Pinsip-pinsip dalam/yang behubungan dengan jajagenjang E P1 alam setiap jajagenjang, sudut-sudutnya yang behadapan sama besanya. Pada jajagenjang, besa = dan = Gamba 4.3 P alam setiap jajagenjang setiap dua sisi yang behadapan sama panjang. Pada jajagenjang, = dan = P3 alam setiap jajagenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang. P Pada jajagenjang (, ) = P, maka: P = P dan P = P Gamba 4.4 P4 Jika dalam sebuah segiempat dua sisi yang behadapan sejaja dan sama panjang, maka segiempat tesebut adalah jajagenjang, Jika pada segiempat ; dan =, maka segiempat jajagenjang P5 alam setiap belahketupat kedua diagonal a. membagi dua sama sudut-sudut belah ketupat itu. b. saling bepotongan sama panjang c. saling bepotongan tegakluus Pada belahketupat, diagonal dan bepotongan di P Maka a. 1) 1 =, ) 1 =, 3) 1 =, 4) 1 =. b. 1) P = P dan ) P = P c. 1 3 4 1 1 P 1 1 Gamba 4.5 16 lkis Geoata 4
Sifat-sifat pada belahketupat di atas meupakan sifat yang penting sebagai dasa bebeapa lukisan. P6 Jika dalam sebuah jajagenjang kedua diagonal bepotongan tegakluus, atau salah satu diagonal membagi dua sama salah satu sudut, maka jajagenjang itu adalah sebuah belah ketupat.. P7 alam setiap pesegipanjang kedua diagonalnya sama panjang P8 Jika dalam sebuah jajagenjang diagonalnya samapanjang, maka jajagenjang tesebut adalah pesegipanjang. b. Pinsip-pinsip dalam/yang behubungan dengan layang-layang P9 alam setiap layang-layang, kedua diagonalnya bepotongan tegak-luus c. Pinsip-pinsip dalam/yang behubungan dengan tapesium P10 alam setiap tapesium samakaki sudut-sudut yang teletak pada ujung setiap sisi sejaja, sama. P11 Tapesium yang sudut alasnya sama, adalah tapesium samakaki. P10 alam setiap tapesium samakaki kedua diagonalnya sama panjang. P1 Jika dalam sebuah tapesium kedua diagonalnya sama, maka tapesium itu adalah tapesium samakaki. d. Pinsip-pinsip dalam/yang behubungan dengan segiempat talibusu P13 alam setiap segiempat talibusu jumlah pasangan sudutnya yang behadapan 180 o. P14 alam setiap segiempat talibusu kedua hasil kali panjang uas gais bagian-bagian diagonal oleh adanya titik potong keduanya, sama. c c e. Pinsip-pinsip dalam/yang behubungan dengan d segiempat gais singgung d P15 alam setiap segiempat gais singgung jumlah panjang kedua pasang sisi yang behadapan, sama.. Penggunaan Sifat elahketupat untuk Melukis Sifat P5 di atas digunakan untuk lukisan-lukisan beikut: a. Melukis gais tegak luus gais yang diketahui melalui titik di lua gais yang diketahui tesebut. b. Melukis gais tegak luus gais yang diketahui melalui titik teletak pada gais yang diketahui tesebut. c. Melukis gais bagi sebuah sudut. d. Melukis sumbu uas gais (gais tegak luus uas gais dan melalui titik tengah uas gais) e. Melukis sudut-sudut khusus: (90 o, 45 o, 60 o, 30 o ). 1. Melukis gais tegak luus gais yang diketahui melalui titik di lua gais yang diketahui tesebut. P iketahui: gais g dan titik P di lua g. Lukis: gais h g, melalui titik P. Gamba 4.7 g Lukisan: (i) epusat di P lukislah busu lingkaan dengan jai-jai tetentu (dipilih misal ) sedemikian sehingga memotong gais g di titik dan. lkis Geoata 4 17 a a b Gamba 4.6 b
(ii) epusat di dan, lukislah masing-masing sebuah busu lingkaan bejai-jai sedemikian sehingga keduanya bepotongan, misal di. (iii) Lukis gais melalui titik P dan. Gais P = gais h yang dimaksud (melalui titik P tegakluus gais g). P P h P g g g (i) (iii) (ii) Gamba 4.8. Melukis gais tegak luus gais yang diketahui melalui titik teletak pada gais yang diketahui tesebut. g iketahui: gais g dan titik P di lua g. P Lukis: gais h g, melalui titik P. Gamba 4.9 Lukisan: (i) epusat di P lukislah busu lingkaan dengan jai-jai tetentu (dipilih misal 1 ) sedemikian sehingga memotong gais g di titik dan. (ii) epusat di dan, lukislah masing-masing sebuah busu lingkaan bejai-jai ( > 1 ) sedemikian sehingga keduanya bepotongan, misal di titik dan titik. (iii) Lukis gais melalui titik dan (sekaligus juga melalui P). Gais = gais h yang dimaksud (melalui titik P tegakluus gais g).. h P g P g 1 P g 1 (i) (ii) (iii) Melukis gais bagi sebuah sudut Gamba 4.10 iketahui: sudut. Lukis: gais b yang membagi dua sama besa. Lukisan: (i) epusat titik sudut, lukis sebuah busu lingkaan bejai-jai tetentu (misal ), sehingga memotong kedua kaki sudut di titik dan. (ii) epusat di titik dan, lukislah masing-masing sebuah busu lingkaan bejai-jai sedemikian sehingga keduanya bepotongan, misal di titik. (iii) Taik sebuah gais melalui titik dan. 18 Gais = gais b yang haus dilukis, sehingga besa 1 = b 1 (i) (ii) (iii) lkis Geoata 4 Gamba 4.11
3. Melukis sumbu uas gais Sumbu sebuah uas gais adalah sebuah gais yang melalui titik tengah uas gais yang diketahui dan tegakluus uas gais tesebut. iketahui: uas gais Lukis: gais s sebagai sumbu Lukisan: Gamba 4.1 (i) epusat di titik dan, lukis busu-busu lingkaan bejai-jai sama (misal > 1 ) sedemikian sehingga keduanya bepotongan, misal di titik dan titik. (ii) Taik sebuah gais melalui titik dan. s Gais s =, sumbu uas gais. 4. Melukis sudut-sudut khusus: (90 o, 45 o, 60 o, 30 o ) Gamba 4.13 a. Melukis sudut 90 o dan 45 o (i) Lukis sebuah sina gais, misal O (i) O (ii) Lukis sina gais O ke aah belawanan dengan aah O (ii) O (iii) epusat di titik O, lukis sebuah busu lingkaan memotong O di titik dan O di titik. (iv) epusat di titik dan, lukis busu-busu lingkaan O bejai-jai sama (misal dengan > ) sedemikian (iii) E sehingga keduanya bepotong-an, misal di titik E dan titik F (v) Taik salah satu, OE atau OF O u EO = 90 o atau u FO = 90 o (iv) E F E O (v.) O F (v.1) Gamba 4.14 F Untuk melukis sudut 45 o, dai sudut 90 o yang telebih dahulu dilukis, dilukis gais baginya. b. Melukis sudut 60 o dan 30 o (i) Lukis sebuah sina gais, misal O O (i) (ii) epusat di titik O, lukislah sebuah busu lingkaan bejaijai tetentu (misal ), memotong O misal di titik. (ii) (i) (ii) O lkis Geoata 4 19
(iii) epusat di titik, lukislah sebuah busu lingkaan bejaijai, memotong busu pada (ii) misal di titik. (iii) (iv) Taik O. esa O = 60 o O (v) Lukis b, gais bagi O. b Telukis sudut 30 o ( O.) (v) (iv) O Gamba 4.15 O. Keliling dan Luas Segiempat Jika K adalah keliling, L adalah luas, s adalah panjang sisi, d adalah panjang diagonal, dan t adalah tinggi bangun (jika ada), maka: 1. Pesegi: K = 4s L = s. Pesegipanjang K = (s 1 + s ) L = s 1 s ; s 1 dan s panjang sisi yang bepotongan 3. Jajagenjang K = (s 1 + s ) L = s 1 t 1 = s t ; t 1 panjang gais tinggi ke sisi yang panjangnya s 1 4. elah ketupat K = 4s L = 1 d 1 d d = panjang diameta 5. Tapesium L = 1 (s 1 + s ) t; s 1 dan s panjang sisi sejaja 6. Layang-layang K = (s 1 + s ) L = 1 d 1 d Latihan 4.1 1. adalah sebuah jajagenjang. esa = (9x 11) o dan u = (7x + 3) o. Hitunglah besa masing-masing sudut jajagenjang tesebut.. Pada jajagenjang, = 3x + 5y, = 6x + 3y 1, = 4x + y 4, dan = x + y + 13. Hitunglah keliling jajagenjang tesebut. 3. iketahui sebuah segiempat sebaang, panjang diagonalnya p dan q satuan dan keduanya membentuk sudut 30 o. Sebuah jajagenjang salah satu titik sudutnya pada petengahan sebuah sisi segi-4 tesebut, dan titik-titik sudut lainnya pada ketiga sisi lainnya segiempat yang diketahui tesebut. eapakah luas (a) segiempat tesebut (b) jajagenjang tesebut? 4. Jika jaak antaa dua sisi sejaja yang panjangnya p pada sebuah jajagenjang adalah t, dan luasnya L, buktikanlah bahwa L = p t. 5. uktikanlah, bahwa luas sebuah segi-4 yang diagonalnya saling tegakluus sama dengan setengah hasilkali panjang kedua diagonalnya. 6. uktikanlah bahwa dalam jajagenjang belaku () + () = (() +() ) 7. alam tapesium,. Titik P dan Q betuut-tuut titik tengah dan. uktikanlah bahwa (i) PQ (ii) PQ = 1 ( + ) 8. Sebuah titik P beada di dalam sebuah pesegi. = 1 cm. Jaak P ke titik sudut dan sama dan sama pula dengan jaaknya ke sisi. eapakah jaak tesebut? 0 lkis Geoata 4
9. adalah sebuah pesegipanjang, M titik tengah sisi. Sebuah gais ditaik dai M tegakluus M, memotong di P. uktikanlah bahwa besa sudut M = besa sudut PM. 10. adalah sebuah pesegi. Titik T bejaak sama tehadap titik sudut dan, dan besa T = 15 o. uktikanlah bahwa T samasisi. 11. adalah sebuah tapesium sama kaki, dan >. Titik E adalah titik tengah. Jika luas E : Luas segiempat E = : 3, tentukan pebandingan panjang dan. E 1. adalah sebuah jajagenjang. Titik E pada. Ruas gais F FG melalui sama panjang dan sejaja E. uktikanlah bahwa luas jajagenjang EFG = luas jajagenjang 13. G adalah sebuah segiempat siklik. >. dan bepotongan di titik T. uktikanlah bahwa T T = T T. 14. adalah sebuah segiempat siklik. = 45 cm, dan = 60 cm, dan bepotongan di titik T, T = 8 cm, dan T = 35 cm. Hitunglah panjang talibusu. 15. uktikanlah bahwa dalam segiempat siklik, hasil kali panjang diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali panjang sisi-sisinya yang behadapan (alil Ptolomeus). 16. Sebuah tapesium samakaki meupakan sebuah segiempat gais singgung. Panjang sisi sejajanya 64 cm dan 36 cm. Hitunglah a. panjang jai-jai lingkaan yang disinggung sisi-sisi tapesium. b. jaak pusat lingkaan tesebut ke titik-titik sudut tapesium 17. Gais b adalah gais bagi sudut. Titik T adalah sembaang titik pada gais b. uktikanlah bahwa jaak titik T ke kedua kaki sudut tesebut sama. 18. Gais s adalah sumbu uas gais. uktikanlah bahwa untuk setiap titik T pada s, T = T. 19. Sekeliling kebun bebentuk pesegi beukuan 40 m 0 m dipagai dengan kawat yang setiap m dipekuat dengan tiang besi setinggi m temasuk yang tetanam. eapa batang besi yang dipelukan jika setiap batang besi panjangnya 6 m? 0. Sebuah tiang dipancangkan di dalam sebidang pekaangan bebentuk segi-4. Tiang itu bejaak sama ke keempat patok batas pekaangan tesebut. Jaak patok petama ke patok kedua 33 m, patok kedua ke patok ketiga 56 m, patok ketiga ke keempat 5 m. a. eapa jaak tiang ke setiap patok batas pekaangan? b. eapa jaak patok keempat ke patok petama? c. eapa luas pekaangan tesebut? 1. Selemba ketas HVS ukuan 4 dipotong-potong untuk masing-masing bebentuk tapesium samakaki yang semuanya konguen beukuan sisi sejaja 3 cm dan 6 cm seta sisi tegak yang pendek 3 cm. eapa bangun tpesium yang dipeoleh?. Ukuan ketas, misalnya HVS 80 gam, adalah ketas jenis HVS yang setiap metepesegi beatnya 80 gam. eapa beat 1 eem HVS 80 gam ukuan 4? 3. Selemba seng beukuan 50 cm 50 cm dipotong-potong menjadi bahan-bahan dasa mainan bebentuk L yang kelilingnya 80 cm. eapa banyak bahan mainan maksimum yang dapat dibuat? bentuk bahan dasa: lkis Geoata 4 1
V. LINGKRN. Lingkaan, aeah Lingkaan dan agian-bagiannya 1. Lingkaan adalah tempat kedudukan titik-titik bejaak sama tehadap titik tetentu. Titik tetentu (P) disebut pusat, jaak tetentu meupakan panjang jai-jai lingkaan tesebut.. Talibusu = uas gais hubung dua titik pada lingkaan. 3. Talibusu yang melalui pusat lingkaan = diamete, panjangnya. ua titik ujung sebuah diamete disebut pasangan titik diametal.. ebeapa Sifat 1. Setiap sumbu sebuah talibusu melalui pusat lingkaan (P sumbu ). Setiap diamete yang tegakluus sebuah talibusu meupakan sumbu talibusu tesebut. Jadi u 1 = u ET 3. α = β (besa sudut pusat = besa sudut keliling yang menghadap busu sama). α = 180 o talibusu adalah diamete besa sudut keliling = 90 o. Segiempat Talibusu 1. Segi-4 talibusu = segi-4 siklik = segi-4 yang semua titik sudutnya teletak selingkaan.. Sifat-sifat a. sudut-sudut yang behadapan bejumlah 180 o. b. Segi-4 = segi-4 talibusu u + u = u + u = 180 o c. meupakan anti paalel tehadap pada T. d. T ~ T e. M M = M M f. = + (alil Ptolomeus). sudut keliling G o F T tembeeng (segmen) β P S β P 1 α * M o * Gamba 5. S 1 juing (sekto) T E sudut pusat gais singgung di titik Gamba 5.1. Gais Singgung 1. Gais singgung sebuah lingkaan adalah gais yang memotong lingkaan pada sebuah titik (dua buah titik yang beimpit). Setiap gais singgung tegak luus jai-jai yang melalui titik singgung TS 1. PS 1 3. Segiempat TS 1 PS dinamakan layang-layang gais singgung. 4. Jika T adalah sebuah titik di lua lingkaan bepusat di titik P dan titik S adalah titik singgung gais singgung o TS dan gais g dan h betutu-tuut memotong lingkaan di dan dan di dan, maka: * a. T T = T T = TS, disebut kuasa titik T tehadap lingkaan. P S T Gamba 5.3 T * o Gamba 5.4
Pehatikan kesamaan sudut yang ditunjukkan oleh pada Gamba 5.4. kibatnya ialah bahwa T sebangun dengan T T : T = T : T T T = T T b. kibat: panjang uas gais singgung TS adalah TS = 1 P ) ( P c. M M = M M = kuasa titik M tehadap lingkaan, M di dalam lingkaan (secaa analitik, nilainya betanda negatif). E. Keliling dan Luas Jika = panjang jai-jai, d = panjang diamete, K = keliling, dan L = luas, maka: 1. Panjang busu menghadap sudut pusat sebesa α (adian) adalah α Panjang busu menghadap sudut pusat sebesa α o adalah απ/180. K = π atau K = πd 3. L = π 4. L juing = 1 α, α = besa sudut pusat (dalam adian) L juing = (α/360)π, α = besa sudut pusat (dalam deajat) atatan: π 3,141596535897933846643383795 310 310 71 70 <π<. Nilai pendekatan π = 3 1 = 7 7 F. ua lingkaan 1. Kedudukan dua lingkaan (bejai-jai R dan ; R > ) P P 1 P P 1 P P 1 P P 1 P P 1 a. b. c. d. e. a. L 1 di lua L P 1 P > R + b. L 1 dan L besinggungan di lua P 1 P = R + c. L 1 dan L bepotongan R < P 1 P < R + d. L 1 menyinggung L dai dalam P 1 P = R e. L 1 di dalam L 0 < P 1 P < R. Gais Singgung R = jai-jai lingkaan bepusat P 1 = jai-jai lingkaan bepusat P k = P 1 P a. L 1 di lua L l = panjang uas gais singgung pesekutuan lua = k ( R ) d = panjang uas gais singgung pesekutuan dalam = k ( R + ) b. Kedua lingkaan besinggungan (di lua), maka k = R +, sehingga l = panjang uas gais singgung pesekutuan lua = ( R+ ) ( R ) = 4R = R R l Gamba 5.5 P 1 k d R R+ Gamba 5.6 P 3
4 d = panjang uas gais singgung pesekutuan dalam = ( R ) ( R ) + + = 0 Latihan 5 1. Nyatakanlah bena atau salah penyataan beikut. a. alam sebuah lingkaan, jika sebuah jai-jai membagi dua sama sebuah talibusu, maka jai-jai tesebut tegakluus talibusu yang dipotongnya. b. alam sebuah lingkaan. gais singgung dan diamete yang memotongnya saling tegakluus. c. Jika talibusu sebuah lingkaan sama panjang dengan talibusu lingkaan lain, maka kedua lingkaan bejai-jai sama. d. alam sebuah lingkaan, jika dua talibusu bejaak sama tehadap pusat, maka keduanya sama panjang. e. alam sebuah lingkaan, jika keduanya sama panjang, maka keduanya bejaak sama tehadap pusat lingkaan. f. Jika sebuah gais tegak luus sebuah jai-jai lingkaan, maka gais tesebut adalah gais singgung lingkaan. g. Jika sebuah diamete sebuah lingkaan meupakan sumbu talibusu p dan q, maka kedua talibusu sejaja.. ai gamba di samping, β a. eapa besa α b. Nyatakan α dalam adian α 3. adalah sebuah diamete lingkaan bepusat di titik P. sebuah talibusu lingkaan yang tegak luus di titik T. uktikanlah bahwa T = T T. 4. Sebuah talibusu dai sebuah lingkaan yang panjangnya 48 cm bejaak 7 cm dai pusat lingkaan. eapa panjang talibusu yang bejaak 15 cm dai pusat? 5.,,, dan adalah titik-titik pada sebuah lingkaan. iagonal dan bepotongan di titik T. Taiklah sisi-sisi segi-4. Sebutkanlah segitiga-segitiga yang konguen pada gamba tesebut. edasakan hal di atas, jelaskan bagaimana mempeoleh Sifat pada..f. 6. alam sebuah lingkaan talibusu E sejaja gais tengah. dan E bepotongan di titik F. Jika EF = 4 cm, E = 6 cm dan E = 16 cm, hitunglah panjang jai-jai lingkaan tesebut. 7. adalah sebuah segi-4 siklik. = 45 cm, dan = 60 cm, dan bepotongan di titik T, T = 8 cm, dan T = 35 cm. Hitunglah panjang talibusu. 8. Sebuah lingkaan memiliki sebuah talibusu sepanjang 4 cm yang bejaak 5 cm dai pusatnya, memotong diamete yang tegakluus padanya di titik menjadi dua bagian. a. eapakah panjang masing-masing bagian diamete itu? b. Jika sebuah talibusu melalui titik dan memotong lingkaan menjadi dua bagin yang salah satu bagiannya panjangnya 6 cm. eapa panjang talibusu tesebut? c. eapakah panjang talibusu yang bejaak 1 cm dai pusat lingkaan? 9. uktikanlah bahwa dalam segiempat siklik, hasil kali panjang diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali panjang sisi-sisinya yang behadapan (alil Ptolomeus).
10. Gamba di samping adalah dua oda yang dihubungkan dengan antai sempuna. iamete oda besa 18 cm dan yang kecil 8 cm. Jika oda besa diputa dengan kecepatan 60 pm, beapakah kecepatan puta oda yang kecil? 11. Roda kedua pada pasangan oda petama ditempelkan pada oda kedua pasangan oda kedua. 48 16 60 Jika oda petama pasangan petama diputa dengan kecepatan 60 pm, beapa pm kecepatan oda kedua pasangan kedua? 1. Jika pasangan kedua diletakkan di depan dengan model sepeti di atas, beapa pm oda teakhi jika oda petama diputa dengan kecepatan 60 pm. pa yang dapat disimpulkan sementaa jika hasilnya dibandingkan dengan caa petama? 13. Setiap bagian tekecil gamba lengkung pada gamba petama adalah setengah lingkaan. Sepanjang gamba lengkung pada ubin dicat dengan wana emas, sehingga setelah ubinnya tepasang tampak sebagian lantai sepeti gamba kedua. Ubinnya beukuan 40 cm 40 cm dan dipasang pada lantai beukuan 14 m 8 m. Jika 1 kaleng cat wana emas dapat digunakan untuk mengecat lengkungan sepanjang 80 m, beapa kaleng cat paling sedikit haus dibeli untuk menyelesaikan pekejaan tesebut? 4 14. Selemba seng ukuan 70 cm 80 cm disediakan untuk membuat lempengan-lempengan bebentuk lingkaan bediamete 14 cm. eapa buah lempeng lingkaan yang dapat dibuat? 5
VI. POLIGON. Pengetian 1. Poligon atau segi banyak adalah bangun data yang tebentuk oleh uas-uas gais yang membentuk daeah tetutup.. ibedakan (Gellet et.al.: 1977:16) b a. Poligon Konveks a c b. Poligon efleks c. Poligon konkaf Gamba 6.1 3. Jika dipilih dua titik bebeda di dalam poligon dan uas gais yang menghubungkannya tidak memotong sisi pologon Poligon Konveks. Untuk selanjutnya, jika tidak ditentukan lain, maka yang dibahas hanyalah poligon konveks 4. Nama poligon (konveks) dapat ditentukan sesuai banyak sisinya: segi-3, segi-4, segi-5, segi-n. ebeapa Sifat 1. anyak diagonal segi-n adalah 1 n(n 3). Jumlah besa sudut segi-n = (n ) 180 o. Poligon (Segi banyak) beatuan 1. Segi banyak dikatakan beatuan jika semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besa.. ikenal: segi-3 beatuan (= segitiga sama sisi), segi-4 beatuan ( = pesegi), segi-5 beatuan, segi-6 beatuan dan seteusnya. 3. Jika α adalah besa sebuah sudut segi-n beatuan, maka α = ( n ).180 o n. aisan segi-n Misalkan ada sebuah segi-n. engan petolongan gais melalui pusat dan pete-ngahan sisi dapat ditemukan titik potong gais-gais tesebut. esama titik-titik sudut semula, jika melalui setiap dua titik beuutan ditaik sebuah uas gais, maka teben-tuk sebuah segi-n. Misalnya dai sebuah segi-3 beatuan tetentu dapat dilukiskan segi banyak lainnya yang banyak sisinya meupakan kelipatan 6, 1, 4, 48, E. Lingkaan alam dan Lingkaan Lua 1. i dalam setiap poligon beatuan dapat ditemukan sebuah titik pusat lingkaan dalam poligon tesebut, yaitu lingkaan yang menyinggung semua sisi poligon.. i dalam setiap poligon beatuan dapat ditemukan sebuah titik pusat lingkaan lua poligon tesebut, yaitu lingkaan yang melalui semua titik sudut sisi poligon. 3. Pusat lingkaan lua dan dalam sebuah poligon beimpit. Titik pusat tesebut dapat dipeoleh dengan caa sebagai beikut: a. Jika segibanyaknya besisi ganjil, pusatnya adalah titik potong antaa uas gais yang melalui sebuah titik sudut dan titik tengah sisi yang tepat behadapan dengan titik sudut tesebut. b. jika segibanyaknya besisi genap, pusatnya adalah titik potong diagonal-diagonal-nya, atau titik potong uas-uas gais yang penghubung titik-titik tengah pasangan -sisi sejajanya. 6 lkis: ab VI Geoata
F. Jai-jai Lingkaan Lua, kaitannya dengan Panjang Sisi dan Luas Poligon eatuan Jika R adalah panjang jai-jai lingkaan lua segi-n, α = besa sudut pusat antaa dua jai-jai penghubung dua titik sudut tedekat, θ = besa sebuah sudut segi-n s = panjang sisi segi-n K = keliling poligon L = luas daeah segi-n maka: n α θ s K L 3 10 o 60 o R 3 3R 3 3 R 3 1,9990 R 4 90 o 90 o R 4R R 5 7 o 108 o 1 R 10 5 1 R 10 5 5 R 10 + 5 8 6 60 o 10 o R 6R 11 R 3 8 45 o 135 o R 8R 10 36 o 144 o 1 ( 5 1) 4 R R 5R( 5 1) 5 R 10 5 1 30 o 150 o R 3 6R 3 15 4 o 156 o 16 o 30 157 o 30 0 18 o 16 o 4 15 o 165 o R 4 3R (7 5 (30 6 5)) 15R (7 5 (30 6 5)) 15 (7 5 (30 6 5)) 8 R + + R + 16 R + R 5+ 5 0 R 5+ 5 R + 3 4 R + 3 4R 5R 6 5 6 3 R Jika dipehatikan atau dianalisis tampak bahwa s n = R R 4R s n G. Poligon Sembaang 1. Keliling poligon sembaang, sesuai pengetian keliling, dipeoleh antaa lain dengan menjumlahkan semua panjng sisi-sisi atau pembatasnya.. Keliling poligon sembaang, dalam keadaan khusus dapat dipeoleh melalui pemotongan bagian-bagian yang mengaah pada bentuk yang dikenali 3. Luas daeah sembaang poligon (selanjutnya disebut luas poligon) dipeoleh dengan menjumlahkan luas semua potongan bagian yang bangun (dan umus luasnya)dikenali. Latihan 6 1. Lukislah segi-n beatuan dengan n =... (panjang sisi dapat dipilih) a. 6 b. 8 c. 5 d. 10. Tentukan keliling dan luas bangun-bangun beikut: a. Segi-6 beatuan dengan panjang jai-jai lingkaan lua 6 cm. b. Segi-6 beatuan dengan panjang sisi 6 cm. c. Segi-8 beatuan dengan panjang jai-jai lingkaan lua 8 cm. d. Segi-8 beatuan dengan panjang sisi 8 cm. lkis: ab VI Geoata 7