DAFTAR ISI KOMPETENSI/SUBKOMPETENSI PENDAHULUAN 2 HITUNG KEUANGAN I Bunga Tunggal A Pengertian Bunga Tunggal B Menghitung Bunga Tunggal 7 II Bunga Majemuk A Pengertian Bunga Majemuk B Pembahasan Masalah Bunga Majemuk 6 III Rente 7 A Rente Pranumerando 7 B Rente Post Numerando 20 C Rente Kekal 23 D Rente Yang Ditangguhkan 26 SOAL-SOAL LATIHAN 3 DAFTAR PUSTAKA 33
HITUNG KEUANGAN KOMPETENSI /SUBKOMPETENSI Kompetensi/Subkompetensi dari materi Hitung Keuangan yang disusun di dalam modul ini adalah adanya kemampuan memahami Ilmu Hitung Keuangan dan mampu menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari 2
PENDAHULUAN Latar Belakang Ilmu Hitung Keuangan merupakan bagian dari matematika terapan yang hampir setiap hari digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah perhitungan keuangan, baik pelakunya adalah individu, maupun organisasi/instansi Penyampaian materi Ilmu Hitung Keuangan dengan cara pengenalan rumus secara teoritik abstrak yang menggunakan lambanglambang atau notasi sangat berat untuk dipahami siswa secara umum Demikian pula penggunaan rumus secara instan di dalam memecahkan masalah-masalah perhitungan keuangan menyebabkan pemahaman siswa terhadap masalah-masalah perhitungan keuangan menjadi dangkal Untuk itu perlu disusun penyampaian materi Ilmu Hitung Keuangan yang lebih aplikatif dan mampu menanamkan pemahaman kepada siswa terhadap masalah-masalah perhitungan keuangan dengan lebih baik Tujuan tujuan penulisan bahan ajar ini adalah untuk menyusun penyampaian materi Ilmu Hitung Keuangan yang aplikatif di dalam menjelaskan proses pembentukan rumus-rumus perhitungan keuangan dan untuk menanamkan pemahaman siswa dengan lebih baik lagi terhadap masalah-masalah perhitungan keuangan khususnya tentang Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, dan Rente Ruang Lingkup Tulisan bahan ajar ini mencakup materi tentang Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, dan Rente, yang diawali dengan penyampaian materi penghitungan matematika dasarnya Di samping itu juga diberikan soalsoal evaluasi untuk pendalaman 3
Perhitungan-perhitungan Dasar untuk Menyelesaikan Masalah Keuangan Penghitungan keuangan dapat menggunakan Daftar Bunga, Logaritma maupun Kalkulator Daftar Bunga Penggunaan Daftar Bunga untuk menyelesaikan perhitungan matematika keuangan sangat terbatas Yang dapat dilihat di dalam Daftar Bunga adalah nilai dari (i) n untuk n dari sampai 0 dan i dari 2 % sampai 6% Contoh Berapakah nilai dari 000000 (0,03) 3 000000 (0,03) 3 = 000000 (,03) 3 Dari Daftar Bunga diketahui (,03) 3 =,092727 = 000000 (,092727) = 092727 Daftar Bunga juga dapat digunakan untuk menyelesaikan perhitunganperhitungan yang berbentuk sigma Contoh Berapakah nilai dari 00000 (,0,0 2,0 3,0,0 )?,0,0 2,0 3,0,0 k = (,0) k= Dari Daftar Bunga diketahui k (,0) =,80928 k= maka 00000 (,0,0 2,0 3,0,0 k ) = 00000 (,0) k= = 00000,80928 = 809,28 2 Logaritma Apabila perhitungan tidak dapat menggunakan Daftar Bunga, maka dapat digunakan perhitungan Logaritma
Contoh Berapakah nilai dari 0000000 (,07) 3? Log [0000000 (,07) 3 ] = log 0 7 log (,07) 3 = 7 log 0 3 log (,07) = 7 3(0,02938) =7,0882 0000000(,07) 3 = anti log (7,0882) = 2208,8 Dari Daftar Logaritma diketahui log (,07) = 0,02938 3 Kalkulator Dengan menggunakan Kalkulator, perhitungan keuangan mudah diselesaikan Contoh Hitunglah nilai dari 000000 (,07) 3 Dengan Kalkulator Casiop Fx 3600P tekan tombol berikut secara berurutan 0 7 inv x y 3 0 0 0 0 0 0 = maka pada layar akan ditampilkan 2203
HITUNG KEUANGAN Materi pembelajaran hitung keuangan yang akan dibahas di sini mencakup: Bunga Tunggal 2 Bunga Majemuk 3 Rente Sebelum masuk kepada pembahasan ketiganya, perlu dipahami dahulu beberapa istilah-istilah yang penting, seperti Modal, Nilai Akhir, dan Nilai Tunai Pengertian modal secara sederhana di dalam pembahasan materi ini adalah sejumlah uang/barang yang besar dapat berubah Modal yang menjadi besar karena adanya penambahan bunga dalam jangka waktu tertentu disebut Nilai Akhir Modal Modal yang telah dikeluarkan bunganya disebut Nilai Tunai Sedangkan modal yang tidak berubah besarnya dan dibayarkan/diterima rutin di setiap jangka waktu tertentu disebut Angsuran I BUNGA TUNGGAL A Pengertian Bunga Tunggal Untuk menjelaskan bunga tunggal, guru perlu menjelaskan dahulu kepada siswa pengertian pokok pinjaman bunga dan persentase bunga Untuk mudahnya berikan contoh Contoh: Misalkan Erman meminjam uang sebesar Rp 000000,00 pada Joko Sebagai tanda jasa Erman memberikan uang Rp 000,00 setiap tahun Maka uang Rp 000000,00 yang dipinjam itu disebut pokok pinjaman atau modal (meskipun pengertian modal lebih luas dari itu), sedangkan uang jasa yang sebesar Rp 0000,00 tersebut disebut bunga Pengertian yang lebih lengkap, bunga adalah persentase dari modal yang disepakati bersama sebagai jasa pinjaman yang diperhitungkan untuk setiap jangka 6
waktu tertentu Jangka waktu yang digunakan di dalam perhitungan bunga adalah tahun, bulan, atau hari Jika tidak disebutkan jangka waktunya, maka jangka waktu yang digunakan adalah tahun Besarnya bunga dinyatakan dalam persen, dan disebut suku bunga Pada contoh di atas modal yang dipinjam Erman diperhitungkaqn dengan dasar bunga 0000 sebesar 00% = % setahun Apabila bunga yang dihasilkan 000000 pada setiap jangka waktu tersebut tidak berubah, maka dikatakan bahwa modal itu diperbungakan atas dasar Bunga Tunggal Jika modal M dibungakan atas dasar bunga tunggal i persen, maka gabungan modal dan bunga: Sesudah tahun modal = M im Sesudah 2 tahun modal = M 2iM Sesudah 3 tahun modal = M 3iM dan seterusnya Terlihat bahwa M, MiM, M2iM, M3iM,, dst merupakan barisan aritmetika Persen di Bawah Seratus dan di Atas Seratus Persen di Bawah Seratus Persen di bawah seratus adalah perbandingan yang dinyatakan dengan suatu pecahan dimana jumlah pembilang dan penyebutnya adalah p seratus, dan ditulis p% di bawah seratus adalah: 00 p 7
Contoh Hitunglah % di bawah seratus dari Rp 000000,00 Bunga % di bawah seratus dari 000000 = 000 000 00 = 000 000 96 = 666,67 2 Persen di atas Seratus Persen di atas Seratus adalah perbandingan yang dinyatakan dengan suatu pecahan yang selisih penyebut dengan pembilang adalah 00, dan p ditulis p% di atas seratus adalah 00 p Contoh Hitunglah % di atas seratus dari Rp 20000,00 % di atas seratus dari 20000 = 00 20000 = 20 000 0 = 20000 Rumus Persen di atas Seratus dan di bawah Seratus dapat digunakan di dalam perhitungan bunga dan Diskonto berikut ini B Menghitung Bunga Tunggal B Bunga dan Diskonto Bunga Contoh Seseorang meminjam uang dengan bunga % setahun Bila setelah tahun ia membayar Rp 2000000,00 terdiri dari pelunasan dan bunga, berapakah besar bunga yang dibayarnya? 8
Misalnya uang yang dipinjamnya sebesar M 0, maka 00 M0 M0 = 2000000 M 0 = 2000000 00 00 M 0 = 2000000 00 00 M 0 = 2000000 00 Bunga = 2000000 M 0 = 2000000 2000000 00 = 2000000 00 00 00 = 2000000 Rumus: 00 p B = K 00 p B = Bunga, K = Pengembalian dan p = angka suku bunga = 9238,3 Jadi bunga yang dibayarnya adalah Rp 9238,3 Diskonto Apabila bunga dari suatu pinjaman dibayarkan terlebih dahulu pada saat awal pinjaman sehingga besarnya uang yang diterima merupakan selisih antara besarnya pinjaman dengan besarnya bunga Sedangkan besarnya uang yang harus dikembalikan sama dengan nilai besarnya pinjaman Inilah yang disebut dengan diskonto 9
Contoh Seseorang meminjam uang dengan diskonto % setahun Jika orang tersebut menerima Rp 000000,00 berapakah pinjaman yang harus dikembalikan sesudah tahun? Misalkan uang yang dipinjam sebesar M 0 maka: M 00 M0 0 = 000000 M 0 = 000000 00 00 M 0 = 000000 00 00 M 0 = 000000 00 Bunga diskonto = M 0 00 00 = 000000 00 = 000000 00 = 000000 96 00 Rumus: = 62999,9 Pinjaman yang harus dikembalikan = 000000 62999,9 = 62999,9 Jadi pinjaman yang harus dikembalikan Rp62000,00 p BD = T 00 p di mana p nilai angka suku bunga, T besar uang yang diterima dan BD bunga diskonto B2 Metode Perhitungan Bunga Besarnya bunga dihasilkan dari perkalian antara modal, persen suku bunga, dan waktu 0
Contoh Berapa besarnya bunga dari suatu modal sebesar Rp 00000,00 yang diperbungakan selama 6 bulan dengan dasar bunga tunggal % setahun Karena suku bunga dalam tahun, maka waktu = 6 Besar bunga = 00000 Rumus: 00 2 6 2 = 0000 jadi besar bunga Rp0000,00 bln bln thn I = Mi k n i = bunga n = waktu pembungaan k = 2 jika n = dalam bulan k = 360 jika n = dalam hari Dengan alat bantu kalkulator, nilai suku bunga berapapun dan masa transaksi berapa lama pun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus tersebut Namun demikian ada beberapa model penghitungan yang lain yang perlu untuk diketahui: a) Metode Pembagi Tetap Dalam metode ini, satu tahun adalah 360 hari Misalkan suatu modal M dibungakan selama w hari berdasarkan suku bunga p%, maka besarnya: bunga w hari = = = = w 360 p 00 Mw p 360 00 Mw 00 p 360 Mw 360 : 00 p M
untuk berbagai modal yang digunakan dengan persentase yang sama p% pecahan 360 360 mempunyai nilai yang tetap Oleh karena itu disebut p p Mw pembagi tetap, sedangkan disebut angka bunga 00 Dapat dirumuskan: angka bunga Bunga = Contoh: pembagi tetap seseorang meminjam uang sebesar Rp 00000,00 selama20 hari dengan bunga 6% setahun Berapakah bunga yang harus dibayarkannya? : M = 00000, i = 6% p = 6, w = 20 angka bunga pembagi tetap = Mw 00 360 = = 6 00000 20 = = 600000 00 60 600000 Bunga = = 0 000 60 Jadi bunga yang harus dibayarkannya Rp 0000,00 Metode ini dapat digunakan untuk menghitung nilai bunga bagi orang banyak yang meminjam/membayar dengan nilai pinjaman/bayaran dan waktu yang beragam Contoh Hitunglah jumlah bunga dari modal-modal berikut ini, jika suku bunganya % pertahun dan tahun = 360 hari Modal (Rp) waktu (hr) 800000,00 20 600000 20 200000 00 2
360 Pembagi tetap = = 90 Modal (Rp) Waktu (hr) Angka Bunga (Rp) 800000 20 960000 600000 20 0000 200000 00 200000 Jumlah 3600000 3600000 Bunga = = 0 000 90 Jadi jumlah bunganya Rp 0000,00 b) Metode Bagian Yang Seukuran terhadap Persen Perlu dijelaskan kepada siswa bahwa di dalam metode ini tahun = 36 hari seperti yang berlaku dalam perhitungan di Inggris Sedangkan dasar bunga yang digunakan adalah % Untuk persentase yang lainnya, harus diukurkan (diperbandingkan) tehadap bunga yang % Misalkan M diperbungakan selama w hari, maka: Bunga karena maka = w 36 Mw = 00 = Mw 00 00 36 73 M Mw 00 = 0000 73 00 73 = 3 Bunga = 30 Mw 0000 300 3 30 300 3
Contoh Modal sebesar Rp 000000,00 diperbungakan atas dasar suku bunga, % setahun selama 0 hari ( tahun = 36 hari) Mw 0000 000000 0 = = 000 0000 000 = 000 3 000 = 00 30 000 = 0 300 Bunga % selama 0 hari = 000 000 00 0 = 200 2 Bunga 2 % = 200 = 2 0 Bunga, % selama 0 hari = 200 20 = Rp 89,00 c) Metode Bagian yang Seukuran terhadap Waktu Di di dalam metode ini tahun = 360 hari dan tiap persentase bunga mempunyai masa bunga yang tertentu pula Misalkan modal sebesar M diperbungakan selama w hari dengan dasar bunga p% setahun, maka: M wp Bunga =, dengan ketentuan: 00 360 M bunga untuk ukuran masa bunganya = M 00 00 360 wp wp = 360 w = = p 360 Misalkan suatu modal sebesar Rp 000000,00 diperbungakan selama 90 hari Hitunglah besar bunganya, apabila dasar bunganya: * % setahun
* 2 % setahun * Untuk bunga % setahun ukuran waktunya adalah 360 w = = 72 hari Bunga selama 72 hari = 000000 = 0 000 00 8 Bunga selama 8 hari = 0000 = 2 00 72 Bunga % selama 90 hari = 0000 200 = 200 Jadi bunga yang haarus dibayarkan adalah Rp 200,00 2 % * Bunga % selama 90 hari = 200 2 % = 200 0 = 20 Bunga 2 % selama 90 hari = 200 20 = Rp 370,00 II BUNGA MAJEMUK A Pengertian Bunga Majemuk Untuk memudahkan siswa dalam memahami bunga majemuk guru perlu membandingkannya dengan bunga tunggal Jika pada bunga tunggal adalah bunga yang dihasilkan di setiap akhir jangka waktu tidak berubah, maka pada bunga majemuk, bunga yang dihasilkan di setiap akhir jangka waktu berikutnya semakin bertambah karena bunga itu sendiri ikut berbunga dengan cara ikut menjadi modal Untuk lebih jelasnya perlu diberikan contoh
Contoh: Misalkan putri meminjamkan modal sebesar Rp 00000,00 kepada Adi dengan bunga majemuk sebesar 3% setahun Berapa besar modal itu pda tahun ke 3? : Modal mula-mula = Rp 00000,00 3 Bunga tahun ke = 00 000 = Rp 000,00 00 Rp 000,00 3 Bunga tahun ke 2 = 000 = Rp 0,00 00 Rp 300,00 3 Bunga tahun ke 3 = 30 0 = Rp 93,0 00 Rp 6363,0 Jadi besar modal pada akhir tahun ke 3 = Rp 6363,0 Jika modal M dibungakan atas dasar bunga majemuk i persen, maka: Sesudah tahun modal menjadi = M im = M(i) Sesudah 2 tahun modal menjadi = M(i) im(i) = M(i)(i) = M(i) 2 Sesudah 3 tahun modal menjadi = M(i) 2 im(i) 2 = M(i) 2 (i) = M(i) 3 Sesudah n tahun modal menjadi = M(i) n- im(i) n- = M(i) n- (i) = M(i) n Terlihat bahwa M, M(i), M(i) 2, M(i) 3,, M(i) n merupakan barisan geometri Penyelesaian perhitungan masalah bunga majemuk dapat menggunakan daftar bunga, logaritma maupun kalkulator 6
B Pembahasan Masalah Bunga Majemuk Nilai Akhir Modal Dengan munculnya bunga di setiap akhir jangka waktu, maka modal semakin berkembang Misalkan modal yang terus bertambah besarnya itu setelah n tahun menjadi M n, maka: M n = M(i) n Contoh soal Modal sebesar Rp 000000,00 diperbungakan dengan dasar bunga majemuk 3% setahun Hitunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun Misalkan M = 000000,00, n = 3 tahun, p = 3% M 3 = M(i) 3 = 000000 (0,03) 3 = 000000 (,03) 3 = 000000 092727 Dari Daftar bunga diketahui (,03) 3 =,092727 = 092727 Jadi nilai akhir setelah 3 tahun = Rp 092727,00 2 Nilai Tunai Modal Pengertian Nilai Tunai Modal adalah Nilai uang sebesar NT apabila dibungakan selama jangka waktu n dengan bunga i akan menjadi sebesar M Sebagai contoh Hitunglah Nilai Tunai dari modal sebesar Rp 00000,00 yang lunas dibayar tahun kemudian dengan bunga majemuk % setahun M = Rp 00000,00 i = % = 0,0 n = tahun 7
M = NT (i) n 00000 = NT (0,0) 00000 NT = Rumus : ( i) n NT = 00000 ( 0,0) NT = M ( i) n = 00000 0,8809 = 880,2 Jadi Nilai Tunai dari modal tersebut adalah Rp 880,2 III RENTE Pengetian Yang dimaksud dengan rente adalah barisan modal yang sama besar, yang dibayarkan/diterima berturut-turut dengan antar waktu yang sama Misalnya: upah mingguan, pembayaran SPP bulanan, sewa rumah tahunan, dan sebagainya Masing-masing modal yang rutin dibayar dalam jangka waktu atau interval tertentu disebut angsuran Berdasarkan banyaknya angsuran, rente dibagi menjadi: a Rente terbatas, yaitu rente yang banyaknya angsuran terbatas b Rente kekal, yaitu rente yang banyaknya angsuran tidak terbatas Berdasarkan saat pembayaran, rente dibagi menjadi: a Rente Pranumerando, yaitu apabila pembayaran angsuran dilakukan pada tiap permulaan jangka waktu, misalnya: Januari b Rente Postnumerando, yaitu apabila pembayaran angsuran dilakukan di setiap akhir jangka waktu, misalnya 3 Desember A Rente Pranumerando Nilai Akhir Rente Pranumerando 8
Nilai Akhir Rente Pranumerando adalah jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran pranumerando, dihitung pada akhir jangka waktu pembayaran terakhir Contoh Setiap awal tahun Rudi mengirimkan uang sebesar Rp 000000,00 ke bank Jika bank memberi bunga % setahun dan dia mengirimkan uang sejak tahun 996, berapakah uang Rudi pada akhir tahun 2000? Untuk memudahkan memahaminya, guru perlu membuat sketsa dan perlu diketahui bahwa bank konvesional menggunakan bunga majemuk - Jan 996 jt - Jan 997 jt - Jan 998 jt - Jan 999 jt - Jan 2000 jt 3- Des 2000 000000 (,0) 000000 (,0) 2 000000 (,0) 3 000000 (,0) 000000 (,0) Yang dimaksud nilai-nilai rente adalah nilai-nilai akhir dari masing-masing angsuran Uang Rudi pada akhir tahun 2000 berjumlah = 000000(,0) 000000 (,0) 2 000000 (,0) 3 000000 (,0) 000000 (,0) Dapat diketahui dengan jelas bahwa penjumlahan ini adalah deret geometri dengan suku pertama 000000 (,0), rasio,0 dan banyaknya suku n a( r ) Dengan mengingat Rumus S n = maka r,0 NA = 000000 (,0) ( ),0,0 ( ) = 000000 (,0) 0, 0 Misalkan M = modal, i = bunga, dan n = jangka waktu, maka ( i) NA = M( i) i n 9
000000 = ((,0),0) 6 0,0 = 20000000 (,30096,0) = 20000000 0,290096 = 809 Jadi Nilai Akhirnya Rp 809,00 2 Nilai Tunai Rente Pranumerando Yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran Pranumerando yang dihitung pada permulaan jangka waktu pembayaran pertama Sebagai contoh: Seseorang mempunyai kewajiban membayar angsuran setiap januari selama 0 tahun sejak 990 sebesar Rp 000000,00 Dia ingin melunasi seluruhnya pada tanggal itu juga Berapa uang yang harus dia setorkan jika bunganya % setahun? Untuk memudahkan memahami guru perlu membuat sketsa - Jan - Jan - Jan - Jan - Jan 990 99 992 998 999 jt jt jt jt jt 000000,0 000000 2 (,0) 20
000000 8 (,0) 000000 9 (,0) Yang dimaksud dengan Nilai Tunai Rente adalah jumlah nilai tunai dari masing-masing angsuran Jadi uang yang harus disetor ke bank adalah sebesar : 000000 000000,0 000000 (,0) 2 000000 (,0) 8 000000 (,0) 9 Penjumlahan ini adalah deret geometri dengan suku pertama = 000000, rasio = dan banyak suku = 0 Dengan mengingat rumus,0 S n n r = a r, diperoleh NT = 000000,0,0 0 Rumus:,0 NT = 000000 ( ) i 0 0,0,0 NT = M i = 2000000 (,0 0,702867) = 8333, Jadi uang yang harus disetor ke bank Rp 8333, n ( i) B Rente Postnumerando Nilai Akhir Rente Postnumerando Yaitu jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran postnumerando dihitung pada akhir jangka waktu pembayaran terakhir Contoh 2
Setiap akhir tahun seseorang menyetor uang Rp 000000,00 ke bank selama 8 kali angsuran Jika bunga bank % setahun, berapa simpanannya pada akhir tahun ke 8? Untuk memudahkan menyelesaikannya, gambarkan sketsanya 3- Des 3- Des 3- Des 3- Des 3- Des I II III VII VIII jt jt jt jt 000000 000000 (,0) 000000 (,0) 000000 (,0) 6 000000 (,0) 7 Nilai Akhir dari Rente Postnumerando di atas: 000000 000000(,0) 000000 (,0) 6 000000 (,0) 7 Terlihat bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama = 000000, rasio =,0 dan banyak suku = 8, maka: NA = 000000 (,0) = (,0) 8,0 ( ) 000000 8 0,0 Rumus: ( ) n NA = ( i) = 20000000 0,77 = 990,89 Jadi simpanannya di akhir tahun ke 8 Rp 990,89 2 Nilai Tunai Rente Posnumerando M i 22
Yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran postnumerando dihitung pada awal jangka waktu pembayaran pertama Contoh: Setiap akhir tahun Nita mengambil uang dari bank sebanyak Rp 000000,00 selama tahun Nita ingin mengambil semua uang tersebut di awal tahun pertama Jika bunga abnk % berapa uang yang diterima Nita? Gambat sketsa: - Jan 3- Des 3- Des 3- Des 3- Des 3- Des I I II III IV V jt jt jt jt jt 000000,0 000000 2 (,0) 000000 3 (,0) 000000 (,0) 000000 (,0) Nilai Rente Post Numerando adalah jumlah dari Nilai Tunai semua angsurannya Jadi Nilai Tunai dari masalah di atas adalah 000000,0 000000 (,0) 2 000000 (,0) 3 000000 ( ),0 000000 (,0) Terlihat bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama 000000, rasionya,0 dan banyak suku, maka,0 23
NT = 000000,0,0,0 000000,0 =,0 0,0,0 000000 M = Rumus: NT = 0,0,0 i ( i) = 2000000 (-0,82927) = 822,3 Jadi uang yang diterima Nita Rp 822,3 n C Rente Kekal Pada Rente Kekal, karena angsurannya tidak berakhir, maka tidak ada Nilai Akhir Nilai Tunainya dibedakan menjadi Nilai Tunai Pranumerando Kekal dengan NIlai Tunai Postnumerando Kekal Rumus perhitungan yang digunakan adalah deret geometri tak hingga Nilai Tunai Rente Pranumerando Kekal Yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran pranumerando kekal dihitung pada awal jangka waktu pembayaran pertama Contoh Setiap Januari sejak tahun 200 seorang penyandang cacat menerima bantuan dari pemerintah melalui bank sebesar Rp 00000,00 Jika dia ingin mendapatkan seluruh bantuan itu sekaligus pada tanggal Januari itu juga, dengan suku bunga % setahun, berapa jumlah uang yang diterimanya? jawab Gambar Skema 2
- Jan - Jan - Jan - Jan - Jan 200 2002 2003 200 200 00000 00000 00000 00000 00000 00 000,0 00 000 2 (,0) 000000 3 (,0) 000000 (,0) Jumlah uang yang diterima pada tanggal Januari 200 adalah 00000 00000,0 00000 2,0 00000 3,0 Diketahui bahwa penjumlahan tersebut merupakan deret geometri tak hingga, dengan suku pertama 00000, rasio, maka,0 00000 NT =,0 00000 =, 0 0,0 00000 = 00 000 Rumus: M 0,0 NT = M i = 000000 Jadi uang yang diterimanya sebanyak Rp 000000,00 2
2 Nilai Tunai Rente Postnumerando kekal Yaitu jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran postnumerando kekal dihitung pada awal jangka waktu pembayaran pertama Contoh Suatu yayasan mempunyai kewajiban membayar kepada pemerintah (melalui bank) sebesar Rp 00000,00 setiap akhir tahun untuk jangka waktu yang tidak terbatas Yayasan tersebut ingin menyelesaikan seluruh kewajibannya tersebut di awal tahun pertama Jika suku bunga bank % setahun, berapa besar uang yang dibayarkannya? Gambar Skema - Jan 3- Des 3- Des 3- Des 3- Des I I II III IV 00000 00000 0000 00000 00 000,0 00 000 2 (,0) 00 000 3 (,0) 00 000 (,0) 26
Uang yang dibayarkan yayasan tersebut di awal tahun pertama adalh jumlah dari Nilai Tunai setiap angsurannya, yang dihitung pada awal tahun pertama, yaitu 00000,0 00000 2 (,0) 00000 3 (,0) 00000 (,0) Terlihat bahwa penjumlahan tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 00000, rasio,0, maka,0 NT = = = 00000 :,0, 0 00000,0,0 0,0 00000 0,0 Rumus: NT = i M = 2000000 Jadi uang yang harus dibayar yayasan tersebut sebesar Rp 2000000,00 D Rente Yang Ditangguhkan Yang dimaksud dengan Rente Yang Ditangguhkan adalah Rente yang pembayaran angsuran pertamanya bukan di awal atau di akhir dari jangka waktu pembayaran pertama, tetapi beberapa waktu kemudian Rente Yang Ditangguhkan dengan jangka waktu terbatas Yaitu Rente Yang Ditangguhkan dimana banyaknya angsuran diketahui Contoh Suatu rente tahunan dengan angsuran Rp 000000,00 dibayar mulai tanggal Januari 999 dan berakhir Januari 200 dengan suku bunga 3,% Berapa nilai Tunai pada tanggal Januari 996? 27
Gambar Skema - Jan - Jan - Jan - Jan - Jan 996 999 2000 00 200 jt jt jt jt 000000 3,03 000000 (,03) 000000 (,03) 000000 (,03) Nilai Tunai pada tanggal Januari adalah jumlah dari seluruh Nilai Tunai angsurannya, yaitu 000000 (,03) 3 000000 ( ),03 000000 (,03) 000000 (,03) Penjumlahan ini adalah deret geometri dengan suku pertama rasio ( ) 3,03 NT = 000000 (,03) 3 dan banyak suku 2, maka,03,03 2 000000, (,03) 3 28
= 000000 (,03) 3,03 2 0,03,03 000000 = ( ) Rumus: 2 2 0,03,03,03 M 000000 NT = = i 2 ( i) ( 0,03) k i,03,03 = 28728,6 (0,933070 0,677879) = 9020826 Jadi Nilai Tunai pada tanggal Januari 996 Rp 9020826,00 ( ) n 2 Rente Yang Ditangguhkan dengan jangka waktu tidak terbatas (kekal) Yaitu Rente Yang Ditangguhkan akan tetapi banyaknya angsuran tak hingga Contoh suatu Rente kekal dengan angsuranrp 000000,00 dibayarkan angsuran pertama pada tanggal Januari 999 dengan bunga 3 2 % Berapa nilai tunainya pada tanggal Januari 996? Skema yang dapat kita susun adalah sebagai berikut: 29
- Jan - Jan - Jan - Jan 996 999 2000 00 jt jt jt 000000 3,03 000000 (,03) 000000 (,03) Nilai Tunai yang dihitung dari januari 996 adalah 000000 (,03) 3 000000 ( ),03 000000 (,03) penjumlahan ini merupakan deret geometri tak hingga dengan suku pertama = NT = = = = 000000, rasio = (,03) 3 000000 (,03) 3 000000 (,03) 3 000000 (,03) 3 000000 0,03 : (,03) : 0,03,03,03 0,03 (,03) 2 (,03) Rumus: = 28728,6 0,933070 maka: NT = M i ( ) k i = 266773,3 Jadi Nilai Tunai pada tanggal Januari 996 adalah Rp 266773,3 k = jangka waktu antara penerimaan NT dengan angsuran awal 30
3
SOAL-SOAL LATIHAN Uang sebanyak Rp 00000,00 harus ditambah dengan 3% diatas seratusnya Hitunglah jumlah uang itu 2 Suatu modal diperbungakan selama 8 bulan Bila dasar bunganya p% setahun, tentukan besar p jika bunga yang diperolehnya adalah dari modalnya 3 Joko meminjam uang pada Reza Ia menerima Rp 7000,00 setelah dikurangi % diskonto Hitunglah pinjaman Joko pada Reza Seseorang meminjam uang di bank dengan bunga tunggal % setahun Setelah tahun dia mengembalikan Rp 80000,00 Berapakah uang yang dipinjamnya? Berapakah besarnya bunga dari modal Rp 20000,00 yang diperbungakan selama 0 hari atas dasar bunga 2 % setahun, jika tahun = 36 hari 6 Berapakah besarnya bunga jika suatu modal sebesar Rp 00000,00 diperbungakan selama 00 hari dengan dasar bunga 6% dengan menggunakan metode bagian yang seukuran dengan waktu 7 Modal sebesar Rp 200000,00 diperbungakan selama tahun atas dasar bunga majemuk 2% per tiga bulan Berapakah Nilai Akhir dari modal tersebut? 8 Uang sebesar Rp 00000,00 diperbungakan dengan bunga % per tiga bulan Agar uang tersebut menjadi Rp 3000000,00 berapa lama harus diperbungakan? 9 Joko meminjam uang dan akan dikembalikan setelah tahun sebesar Rp 000000,00 Bila suku bunga yang disepakati adalah 2% per bulan Berapakah jumlah uang yang dipinjam Joko? 0 Pada setiap awal bulan sejak Januari 2000 Eko menabung di bank sebesar Rp 00000,00 Jika bank memberi bunga 2 % tiap bulan, berapakah jumlah tabungan Eko pada akhir tahun 200? 32
Pada setiap awal bulan sejak Januari 2000 Anton menerima bantuan melalui bank dari sebuah yayasan sebesar Rp 0000,00 selama tahun Karena ada suatu keperluan penting, ia ingin mengambil semua bantuannya itu sekaligus pada awal Januari 2000 Jika bunga yang diperhitungkan bank adalah 2% per bulan, berapakah besar uang yang diterimanya? 2 Pada setiap akhir bulan sejak Januari 200 Tuti menabung di bank sebesar Rp 00000,00 Jika bank memberikan bunga 2% per bulan, berapakah jumlah tabungannya di akhir bulan Oktober tahun itu? 3 Pada awal Januari 2000 Budi meminjam uang dari bank dengan jaminan potongan gajinya sebesar Rp 200000,00 setiap akhir bulan sejak Januari 2000 selama 2 tahun Berapakah pinjaman yang dikabulkan bank jika bunga yang disepakati 2% sebulan? Pada setiap akhir bulan Toni menabung sebesar Rp 00000,00 Suatu saat ia melihat rekening tabungannya berjumlah Rp 226733,86 Jika bank memperhitungkan tingkat bunga % per bulan, sudah berapa lama Toni menabung di bank tersebut? Berapakah Nilai Tunai pada awal tahun 996 dari rente tahunan dengan angsuran sebesar Rp 20000,00 jika angsuran pertama dibayar pada awal 2000 dan berakhir pada awal 2008, dengan bunga 6% setahun? 6 Suatu yayasan menerima bantuan dari pemerintah secara terusmenerus pada setiap awal bulan sejak Januari 2000 sebesar Rp 200000,00 Yayasan tersebut ingin mendapatkan semua bantuan tersebut sekaligus pada saat penerimaan pertama Barapakah bantuan yang diterimanya jika bunga yang diperhitungkan % setiap bulan 33
DAFTAR PUSTAKA Sartono Wirodikromo, Drs, Matematika SMA untuk Program Ilmu- Ilmu Sosial, Semester, Erlangga, 99 2 Moch Chotim, Drs, Matematika Jurusan IPS, Kelas 3, Pt Bina Ilmu, 982 3 Moch Chotim, Drs, Matematika Jurusan IPS, Kelas 2, Pt Bina Ilmu, 982 MK Alamsyah, Drs, Pelajaran Matematika SMK Jurusan Administrasi Perkantoran, Kelas 2, Armico, Bandung, 996 3