5. RELSI DN FUNGSI 5. Relsi tu Pemetn Cr memsngkn nggot ke nggot Gmr 5. Hsil Kli Krtesin Mislkn n lh himpunn-himpunn. Hsil kli Krtesin engn (simol x ) lh himpunn semu psngn erurutn (, ) engn n. x {(, ), )} Ser umum, hsil kli Krtesin,,, n iefinisikn segi : x x. x n = {(,,..., n),,..., n n } Mislkn : = {,, }; = {,, } Hitunglh : x Penyelesin : x = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Relsi iner tu huungn iner (inry reltion) ri ke ilh sutu himpunn gin ri x. Jik R lh sutu relsi iner ri ke n jik psngn terurut (, ) i lm R, mk pt iktkn hw unsur erhuungn engn unsur. = {,,, } = {,, } R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} merupkn sutu relsi iner ri ke. C D Tel 5. Gmr 5. P Gmr 5., engn ris tel menunjukkn unsur-unsur himpunn n kolom tel menunjukkn unsur-unsur himpunn. Tn ek mennkn hw unsur i lm ris yng mengnung petk itu erhuungn engn unsur i lm kolom. Relsi R jug pt igmrkn lm Gmr 5., engn titik seelh kiri Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
menggmrkn unsur-unsur himpunn, n himpunn i titik seelh knn. Tn pnh menunjukkn hw unsur terkit i erhuungn engn unsur i. Relsi terner (ternry reltion) igunkn untuk menytkn huungn ntr psngn gn tig, n relsi kurterner (qurternry reltion)untuk menytkn huungn ntr psngn-psngn gn empt, egitu seterusny. Relsi ntr himpunn inry Relsi ntr himpunn Ternry Relsi ntr 4 himpunn Qurternry Relsi ntr n himpunn n-ry Relsi p Himpunn Mislkn n lh himpunn-himpunn. Sutu Relsi (iner) R ri ke lh himpunn gin ri x. Jik (, ) x n erelsi engn, ituliskn R. Jik tik erelsi engn ituliskn R. x = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, )} Gmr 5. Relsi n-ry = suset ri x x x n x x... {(,,..., ) } n n i i 5. Opersi p Relsi iner Mislkn R n S lh u uh relsi ri himpunn ke himpunn, mk : Irisn R S{(, ) (, ) R,&(, ) S} = {-, 0, } = {0, } Relsi R n S ri himpunn ke himpunn lh segi erikut : R = {(-, 0), (-, ), (0, )} S = {(0, 0), (, ), (-, )} Crilh R S Penyelesin : R S = {(-, )} Union R S {(, ) (, ) R, tu (, ) S} R S = {(-, 0), (-, ), (0, ), (0, 0), (, )} R S R S {(, ) (, ) R n (, ) S} Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
R S R S ( R S) ( R S) Diefinisikn relsi R = {( x, y) x n y n x y lh keliptn yng tik nol}. S = {( x, y) x y lh keliptn yngtik nol} = = {,, 4, 5, 6, 7} Tentukn,, -, -,! Penyelesin : R = {(, 4), (4, ), (, 5), (5, ), (4, 6), (5, 7), (7, 5), (, 6), (6, ), (, 7), (7, )} S = {(, 5), (5, ), (, 6), (6, ), (4, 7), (7, 4)} R S Ø R S {{(, 4), (4, ), (, 5), (5, ), (4, 6), (5, 7), (7, 5), (, 6), (6, ), (, 7), (7, ), (, 5), (5, ), (, 6), (6, ), (4, 7), (7, 4)} R - S = R S R = S R S R S 5. Sift Relsi p Himpunn. Relsi iner p himpunn iseut Refleksif jik R R. Wrn hitm menunjukkn refleksif. Tik refleksif jik nti Refleksif jik, R, R = {,,, 4, 5} R = {(, ) his igi } pkh R termsuk relsi refleksif? Penyelesin : R e e Tel 5. R 4 5 4 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
5 Tel 5. Dri tel its, pt iuktikn hw R memenuhi sift refleksif.. Relsi iner p himpunn iseut simetris jik (, ) R mk (, ) R,, tu R mk R,, R e e Tel 5.4 pil (, ) R R iseut Tik Simetris pil (, )( R n R) iseut nti Simetris. Relsi iner p himpunn iseut Trnsitif jik (, ) R, n (, ) R mk (, ) R. tu R n R mk R. R e e Tel 5.5 Derh yng irsir merupkn erh-erh trnsitif. 5.4 Relsi Ekuivlensi n Prtisi Relsi ekuivlensi yitu relsi yng memiliki sift refleksif, simetris, n trnsitif. = {,,,, e, f} Diefinisikn relsi R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, e), (, f), (e, ), (e, e), (e, f), (f, ), (f, e), (f, f)}. pkh R termsuk lm ekuivlensi? Penyelesin : R e f e Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 4
f Tel 5.6 5.5 Prtisi Prtisi lh koleksi himpunn gin ri yitu,,. n engn sift : (i).... n (ii). Ø i j himpunn sling sing yng msing-msing prtisi sling erelsi. Relsi ekuivlensi p himpunn kn mementuk sutu prtisi. Contoh : Prtisi = {{, }, {}, {, e, f}} Seutkn prtisi yng pt isjikn? Note : Setip relsi ekuivlensi psti memiliki prtisi. Penyelesin : {,, ef} Contoh : = {,,, 4} π = {{}, {}, {}, {4]} Penyelesin : Contoh : 4 4 Tel 5.7 {, f, e} Penyelesin : = (, ), (, ), (, ),(, ) f = (, ), (, f), (f, f), (f, ) e = (, ), (, e), (e, e), (f, e) Tik termsuk lm ekuivlensi, kren tik trnsitif e f e f Contoh 4 : Tel 5.8 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 5
= Himpunn ilngn Ch ; n lh ilngn sli. Diefinisikn relsi R {(, ) n jik igi n mempunyinili yngsm} mo n = mo n. mil n = 4. Penyelesin : ). mo mo n R refleksif jik mo 4 mo 4 ( R) ). simetris mk mo 4 mo 4 ( R) jik mo 4 mo 4 ( R) ). mo 4 mo 4 ( R) trnsitif mo 4 mo ( R) Termsuk lm Ekuivlensi kren mengnung refleksif, simetris n trnsitif. Mislkn π n π keuny sektn himpunn. Mislkn p R n R msing-msing lh relsi kesetern pnnny. Mk π iktkn leih hlus (refinement) ri π ilmngkn π π jik R R. Dengn kt lin, jik π seuh penghlusn ri π, mk semrng u unsur i lm lok yng sm lm π jug psti i lm lok yng sm engn π. Contoh 5 : Himpunn = {,,,, e} Mislkn : π = prtisi yng ihsilkn oleh relsi ekuivlensi R π = prtisi yng ihsilkn oleh relsi ekuivlensi R Diefinisikn : {,,, } e {, e} {,, e} e e R e e R e Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 6
e R Tel 5.9 Tel 5.0 Tel 5. π π enr, kren R R (liht lok yng ilingkri) π π Tik π π Tik 5.6 Opersi ntr Prtisi Diefinisikn : π * π = π yitu relsi yng igenerte oleh R R = {,,,, e} {,,, } e {, e} {,, e} erpkh : π * π, π * π, π * π Penyelesin : π * π = {,,, e} π * π = {,,,, e} π * π = {,,,, e} 5.7 Relsi Terurut Segin n Lttie Definisi : Relsi R p himpunn yng mempunyi sift refleksif, nti simetris n trnsitif mk iseut Prtil Orering Reltions. Contoh : = {0,,,, 4, } R = Relsi isimolkn engn Mk iseut (, R) iseut himpunn terurut segin (Prtil Orering Set) POSET. 5. 4 4 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 7 Tel
Digrm Hsse ny lh : 4 Gmr 5. Contoh : (, S) POSET E E e e igrm Hsse Tel 5. Gmr 5. Gmr 5.4 C D C D Relsi terurut is ilmngkn engn il relsi iner itu erup sutu relsi pengurutn prsil, sjin grfik is leih iseerhnkn. Kren relsi ersift refleksif, mk pnh-pnh yng pt ihilngkn (liht Gmr 5.4) POSET pt igmrkn lm sutu igrm yng ikenl engn igrm Hsse. Jik mk igrm Hsse ny : Note : Pnh ihilngkn!! S = {,,,, e, f, g, h, i, j, k} POSET (S, R) Gmr 5.5 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 8
j k h i f g e Gmr 5.6 Penyelesin : R C e f g h i j k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 f 0 g h 0 i j 0 k P POSET (S, R) iefinisikn : Tel 5.4. Mksiml elemen lh elemen mksiml ri POSET (S, R), yitu jik tik nggot S yng leih esr ri. Dri Gmr 5.6, mk nili mksimlny lh {j, k}.. Miniml elemen lh elemen miniml ri POSET (S, R), yitu jik tik nggot S yng leih keil ri. Dri Gmr 5.6, mk nili minmlny lh {,, }.. Cover S iseut over ri jik tik S sehingg. Note : is leih ri stu tu is jug tunggl. 4. ts ts () Elemen S iseut ts ts ri elemen n jik n. ts ts n e ri Gmr 5.6 lh {f, g, h, i, j, k}. Dn ts ts n ri ontoh its lh {h, i, j, k}. Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 9
5. ts wh () Elemen S iseut ts wh ri elemen n jik n. Dri Gmr 5.6, unsur-unsur,,,, e, f, g semuny merupkn ri h n i 6. ts ts terkeil (t) lh t ri n jik tik lgi yng leih keil ri t tik sellu tunggl. t n ri Gmr 5.6 lh {h, i}. t n ri ontoh its lh {}. 7. ts wh terkeil (t) lh t ri n jik tik lgi yng keih esr ri. Nili t tik sellu tunggl. 5.8 Lttie, Chin n ntihin Lttie Lttie lh POSET ri sift setip elemen mempunyi t n tunggl. 4 C E D t ri n lh t ri n lh e 0 Gmr 5.7 Gmr 5.8 h e j t ri n g lh h t ri n g lh f Gmr 5.9 Note : Lttie tik hrus keil ri tetpi hrus mempunyi t n t tunggl. Theorem : Jik (, R ) lh POSET n (, R ) jug POSET. Misl : C = x Diefinisikn relsi R p C segi erikut : Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 0
((, ), (, )) R jik (, ) R n (, ) R uktikn hw (C, R ) = POSET! memuktikn hw (C, R ) merupkn relsi terurut segin, rtiny memiliki refleksif, nti simetris, n trnsitif. ukti :. Refleksif rtiny : ( (, R ) POSET, ) R ( (, R ) POSET, ) R Mk ((, ), (, )) R enr Refleksif tu pt jug iefinisikn : Kren (, R ) = POSET (, ) R, (, R )= POSET (, ) R, ((, )(, )) R. nti Simetris Misl ((, ), (, )) R rtiny : (, ) R (, ) R (, ) R (, ) R ((, ), (, )) R. Trnsitif Misl : ((, ) (, )) R n ((, ) (, )) R (, ) R (, ) R n (, ) R (, ) R (, ) R (, ) R Kesimpuln : (C, R ) = POSET Terukti ((, ), (, )) R Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
Misl : = {,,, } = {, } Dengn (,) segi erikut : Gmr 5.9 Dn (, ) segi erikut : α β Gmr 5.0 C = x = {(, α), (, β), (, α), (, β), (, α), (, β), (, α), (, β)} Mk (C, R ) lh : (, β) (, α) (, α) (, α) (, β) (, β) (, β) (, α) Gmr 5. Chin Definisi : Dlm POSET (S, ), C suset S iseut Chin jik setip elemen i C pt iningkn (jik setip, C mk erlku tu ) sengkn C iseut pnjng hin. Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
e S = {,,,, e} {,, } ukn Chin kren n tik is iningkn. {,, e} Chin Gmr 5. nti Chin Definisi : Dlm sutu POSET (S, ) himpunn gin ri S iseut nti Chin jik tik n segi tu. {, }, {, }, {} Theorem : Jik (S, ) lh POSET n S mempunyi pnjng rnti (Chin) terpnjng = n, mk S pt iut prtisi yng teriri ts n uh nti Chin yng sling sing.. sis Inuksi Untuk n = tik elemen yng ihsilkn kren elemen hny stu n elemen terseut merupkn nti Chin.. sumsikn - Pnjng rnti terpnjng i POSET = n- - S = POSET - M = elemen mksimum i S - Sehingg POSET : (S-M, ) - Tik pnjng Chin i S-M - Jik Chin terpnjng S-M < n-, M hrus teriri ri u tu leih elemen yng merupkn nggot Chin yng sm n hl itu tik mungkin. - Sehingg Chin terpnjng i S-M lh n- - Sehingg S-M is iprtisi menji n- isjoint nti hin. - Kemuin S pt iprtisi menji n isjoint nti hin. ukti Theorem its lh Diuktikn engn inuksi mtemtik :. untuk n = Tik elemen yng pt iningkn (nti Chin). Ji p S pt iut uh nti Chin yitu S itu seniri. Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M
. Misl enr untuk (n-) kn iuktikn keenrnny untuk (n) rtiny : (P n) : POSET yng pnjng Chin terpnjng = n Misl M = Himpunn semu elemen mksimum ri P M lh nti Chin. (P-M, ) : POSET engn pnjng Chin terpnjng = n-. Menurut hipotesis (P-M) teriri ri (n-) nti Chin. P = (P-M) M teriri ri (n-) + = n. g e i j h f Mempunyi pnjng Chin = 4 nti Chin theorem = 4 Gmr 5. nti Chin p gmr terseut lh : Mksimum g e i j h f nti Chin 4 (yng sling sing) Mksimum = i, j, f Mksimum = g, h Mksimum =, e, Mksimum 4 =, Chin terpnjng = 4,, g, i tu,, g, i Gmr 5.4 Miniml g i e j h f Minimum =,, e, Minimum =, f Minimum = g, h Minimum 4 = i, j Gmr 5.5 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 4
5.9 Fungsi relsi fungsi Gmr 5.6 Gmr 5.7 Fungsi semu nggot (omin) ikwnkn tept hny stu nggot (koomin). F,, () fungsi ukn fungsi Gmr 5.8 Gmr 5.9 5.0 Penyjin Fungsi 4 = {,,, 4} = {,, } Gmr 5.0 Dpt isjikn engn :.. 0 0 = 0 0 = 0 0 = 4 0 0 = 4 Tel 5.6 Fungsi jik Rowsum Tel 5.5 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 5
5. Mm Mm Fungsi. Surjektif (onto) fungsi p onto fungsi imn setip nggot i memiliki kwn i. 4 Gmr 5.. Injektif (fungsi stu stu) 4 e Gmr 5.. ijektif (erkoresponensi stu-stu) 4 Gmr 5. il n hny il fungsi terseut injektif n sekligus surjektif. 5. Pigeon Hole Priniple Jik jumlh merpti > jumlh kotk merpti, mk stu kotk merpti yng terisi leih ri stu merpti. Jik n u himpunn erhingg engn > mk untuk setip fungsi F = psti terpt i n j i sehingg F( i ) = F ( j ) tu untuk setip fungsi F = terpt k uh elemen,, k sehingg F ( n ) = F ( ) / = = F ( k ) engn K = Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 6
Misl : = {,,, 4, 5} = 5 ; k = 5/ = {,, } = ; k = 4 5 Gmr 5.4 5. Penjwln Dipunyi n uh jo n p uh prosssor yng ientik. Yng imksu engn ientik lh prosessor is mengerjkn jo p sj. Tujun ilkuknny penjwln lh untuk meminimlkn ile time. Ile time lh wktu mengnggur yng tik isengj. Terpt 7 uh tsk tu jo (T, T,., T 7 ) engn uh prosessor P P P yng igmrkn segi erikut : T/ T/ T/ T4/ T5/ T6/4 T7/ T T T4 T T T4 : : T T T7 8 r, ihitung ri x x 4 = 8 Gmr 5.5 Penyelesin: T T T4 T7 P P P T T5 T6 4 Gmr 5.6 Totl wktu = 7 Ile time = 7 Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 7
Contoh : Dikethui 6 tsk engn prosessor segi erikut : T/0 T4/5 T6/9 T/9 T5/5 T/9 Gmr 5.7 Penyelesin : Solusi : P P T T4 T6 0 5 9 T T5 T6 9 5 9 Gmr 5.8 Totl wktu = 4 Ile time = Pust Pengemngn Peniikn - Universits Gjh M 8