Pencacahan Learning is not child's play, we cannot learn without pain. Aristotle 1
Berapakah jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 12? Jawaban: 8 m n 5 6 7 8 9 10 11 12 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+6 m+7 1 2 3 4 5 6 7 8 (n- m)+1 Teorema: Jika m dan n adalah bilangan bulat dengan m < n, maka ada sejumlah n m + 1 buah bilangan bulat dari m sampai n. 2
Ada berapa bilangan bulat yang terdiri dari Pga angka (100 999)? Dari semua itu berapa yang: Habis dibagi 5? Merupakan bilangan genap? Merupakan bilangan ganjil? 3
Pohon Kemungkinan Sebuah pertandingan antara Pm A dan Pm B, pemenang adalah Pm yang menang 2 kali berturut turut atau menang total 3 pertandingan. Berapakah jumlah skenario pertandingan yang mungkin terjadi? 4
Aturan Perkalian Suatu PIN terdiri dari urutan 4 karakter yang dapat berupa alfabet maupun numerik, tentukan: Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan? Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan apabila Pdak boleh ada pengulangan karakter yang sama pada masing masing PIN? 5
Aturan Perkalian Pada pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari: ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara terdapat 4 calon, yaitu: Abi, Bida, Dani, Nia. Nia Pdak bisa menjadi ketua kelas, bendahara hanya dapat diisi oleh Bida dan Dani. Berapa banyak jenis komposisi pengurus kelas yang dapat terbentuk? Jawab:? 6
Permutasi Contoh: Suatu himpunan dengan elemen a, b, dan c memiliki permutasi: abc acb cba bac bca cab Teorema: Untuk bilangan bulat n dimana n > 1, jumlah permutasi suatu himpunan dengan n buah elemen adalah n! 7
Permutasi Dengan Objek Melingkar Dalam suatu pertemuan, terdapat 6 peserta yang duduk melingkari meja bundar. Ada berapa cara pengaturan tempat duduk? (posisi yang diperhitungkan adalah posisi relapf antar peserta, sedangkan posisi kursi Pdak diperhitungkan) Jawab: 120 8
Permutasi- r Ada berapa cara berbeda menyusun dua huruf yang terurut dari kata UBI? UB UI BI IB IU BU = 6 cara Teorema: Jumlah permutasi- r dari suatu himpunan dengan n elemen adalah: P(n,r) = n! (n! r)! 9
Dengan huruf yang Pdak boleh berulang: Berapa banyak jumlah cara untuk menyusun kata yang terdiri dari 3 huruf yang terurut dari kata UNIBRAW? Berapa banyak jumlah cara penyusunan apabila huruf pertama adalah R? 10
Aturan Penjumlahan Menghitung elemen dari himpunan saling lepas. Contoh: Password suatu email berupa karakter alfabet dan numerik dengan ketentuan terdiri dari minimal satu karakter dan maksimal Pga karakter dan boleh menggunakan karakter yang sama (berulang), berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat? 11
Aturan Selisih Dari contoh pada slide sebelumnya, berapakan jumlah password yang terdapat karakter sama (berulang)? Petunjuk: 1. Cari jumlah kemungkinan password dengan memperbolehkan pengulangan karakter (contoh sebelumnya) 2. Cari jumlah kemungkinan password tanpa pengulangan karakter. 3. Hitung selisih keduanya (password yang memperbolehkan pengulangan karakter dikurangi password tanpa pengulangan karakter). 12
Aturan Inklusi/Eksklusi Untuk 2 himpunan: N(A B) = N(A) + N(B) N(A B) Untuk 3 himpunan: N(A B C) = N(A) + N(B) + N(C) N(A B) N (A C) N(B C) + N(A B C) Keterangan: N(A) = jumlah elemen himpunan A 13
Contoh Ada berapa bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 3 atau 5? Petunjuk: 1. Misal A adalah himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 5. 2. Hitung N(A B), yaitu N(A) + N(B) N(A B) 14
Prinsip Sarang Merpa( Misal suatu kelas berisi 40 mahasiswa. Apakah di kelas tersebut pasp ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di bulan yang sama? Apakah di kelas tersebut pasp ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal yang sama? Apakah di kelas tersebut pasp ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal dan bulan yang sama? Sumber: Susanna S.Epp Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4 th EdiPon Fungsi dari satu himpunan berhingga ke himpunan berhingga yang lebih kecil (dak dapat berupa fungsi satu- ke- satu. Pas( minimal ada dua atau lebih elemen domain yang memiliki image sama di kodomain. 15
Perluasan Prinsip Sarang MerpaP Untuk suatu fungsi f dari himpunan berhingga X dengan n buah elemen ke himpunan Y dengan m buah elemen dan untuk bilangan bulat posi(f k, jika: k < n/m, maka ada y Y dimana y adalah image dari k + 1 atau lebih elemen X. 16
Contoh Aplikasi Tunjukkan dengan perluasan prinsip sarang merpap bahwa pada sebuah kelompok dengan 200 orang anggota, terdapat minimal 8 orang yang berinisial awal sama. 17
Kombinasi Kombinasi menjawab pertanyaan: Ditentukan suatu himpunan S dengan n buah elemen, ada berapa banyak himpunan bagian dengan ukuran r yang dapat dibuat dari S?! n $ # & Notasi kombinasi- r: " r % 18
Sebuah kelompok beranggotakan 3 orang, ada 4 orang calon anggota yaitu Gimin, Peno, Midi, Mo. Berapa banyak komposisi kelompok yang dapat dibentuk? Jawab: Misal M = {Gimin, Peno, Midi, Mo} Kelompok yang dapat dibentuk adalah kombinasi- 3 dari M, yaitu: {Gimin, Peno, Midi} {Gimin, Peno, Mo} {Gimin, Midi, Mo} Enumerasi lengkap {Peno, Midi, Mo} Jadi kelompok yang dapat dibentuk adalah! # " 4 3 $ & = 4 % 19
Misalkan jumlah mahasiswa PTIIK angkatan 2013 adalah 1200 orang, akan dipilih 5 orang mahasiswa sebagai perwakilan. Berapa banyak komposisi perwakilan yang dapat dibentuk? 20
Hubungan Permutasi dan Kombinasi? Untuk mencari hubungan permutasi dan kombinasi, kita bisa menggunakan metode Pdak langsung melalui contoh kasus sebagai berikut: Tulis permutasi- 2 dari himpunan {a, b, c, d} Petunjuk: Dalam menentukan permutasi, pecah langkah penyelesaian menjadi dua, yaitu: 1. Menentukan semua himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen dari {a, b, c, d} 2. Menentukan semua pasangan berurutan dari himpunan bagian tersebut. Dari 2 langkah tersebut, kita dapat menyelidiki hubungan antara permutasi dan kombinasi 21
Hubungan Permutasi & Kombinasi! # " n r $ & = % P(n, r) r!! # " n r $ & = % n! r!(n ' r)! Dimana n dan r adalah bilangan bulat non- negapf dengan r < n 22
Kombinasi Dengan Pengulangan Tulis semua lis untuk mengetahui jumlah kombinasi- 3 dengan pengulangan dari {a, b, c, d} 23
Ringkasan Pakai formula yang mana? Dengan Urutan Tanpa Urutan Boleh Pengulangan Tanpa Pengulangan n k " k + n!1 $ # k P(n, k)! n $ # & " k % Sumber: Susanna S.Epp Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4 th EdiPon % ' & 24
Referensi Susanna S.Epp. Discrete Mathema<cs with Applica<ons 4 th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema<cs and Its Applica<ons 7 th Ed. Rinaldi Munir. Matema<ka Diskrit edisi ke<ga. 25