BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn dlm jumlh bris (rh horizontl) dn kolom (rh vertikl) yng dimilikiny. Sutu mtriks yng hny terdiri dri stu kolom disebut mtriks kolom (tu vektor kolom) dn sutu mtriks yng hny terdiri dri stu bris disebut mtriks bris (tu vektor bris). Cr yng bis digunkn untuk menuliskn sebuh mtriks dengn n kolom dlh A i m i m Kolom j j j ij mj n n in Bris i mn bris dn Mtriks A diktkn berukurn m n dn ij dlh unsur mtriks A berd pd bris ke-i dn kolom ke-j. Mtriks A dn B diktkn sm jik b dengn ij ij kt lin ukurnny sm dn mempunyi unsur yng sm. Definisi. (Anton Rorres, 4). Jik A dn B dlh mtriks-mtriks dengn ukurn yng sm, mk jumlh (sum) A B dlh mtriks yng diperoleh dengn menjumlhkn entri-entri pd B dengn entri-entri yng bersesuin pd A dn selisih (differen) A B dlh mtriks yng diperoleh dengn
mengurngkn entri-entri pd A dengn entri-entri yng bersesuin pd B. mtriks dengn ukurn yng berbed tidk dpt dijumlhkn tu dikurngkn. Definisi.3 (Chrles G. Cullen, 993). Jik A dlh mtriks m x r dn B dlh mtriks berukurn berukurn m n r n, mk hsil kli (product) AB dlh mtriks C yng unsur-unsurny dlh C ij = Bris i (A) Kol j (B) = i b j + i b j + + in b nj = ikb n k Perhtikn bhw perklin mtriks didefinisikn hny jik bnykny kolom mtriks yng pertm sm dengn bnykny bris mtriks yng kedu. Sutu mtriks bujursngkr A dlh mtriks simetrik (symmetric) jik A = A T kit dpt mengenli mtriks-mtriks simetrik dengn mudh hny dengn mellui inspeksi. Entri-entri pd digonl utmny mungkin sebrng, tetpi entri-entri yng berseberngn terhdp digonl utm hrus setr. Ini mengcu pd fkt bhw mentrnspos mtriks bujur sngkr dpt diselesikn dengn mempertukrkn entri-entri yng posisiny simetris terhdp digonl utm. Dinytkn dlm bentuk entri individul, sutu mtriks kj A ij dlh simetrik, jik dn hny jik untuk semu nili i dn j. Untuk lebih jelsny, ij ji berikut contoh mtriks simetrik Contoh. 7 3 A, 3 4 B 4 3, 7 d C d d 3 d 4 Mtriks-mtriks di ts dlh simetrik, kren msing-msing setr dengn trnsposny. Kit dpt mengenli mtriks-mtriks simetrik dengn mudh hny dengn mellui inspeksi. Entri-entri pd digonl utmny mungkin sebrng, tetpi sebgimn ditunjukkn pd mtriks dibwh, dri entri-entri yng berseberngn terhdp digonl utm hrus setr. Dinytkn dlm bentuk II-
entri individul, sutu mtriks A ij dlh simetrik, jik dn hny jik ij ji untuk semu nili i dn j. Sebgimn diilustrsikn pd contoh, semu mtriks digonl dlh simetrik. B 4 4 3 7. Determinn Mtriks Determinn dlh nili rel yng dihitung berdsrkn nili elemenelemenny, menurut rumus tertentu yng ditulis dengn symbol det (A) tu A.. Fungsi Determinn Definisi.4 (Anton Rorres, 4). Sutu permutsi diktkn genp (even) jik totl bnykny inversi dlh integer genp dn diktkn gnjil (odd) jik totl bnykny inversi dlh integer gnjil. Contoh. Tbel berikut ini mengklsifiksikn berbgi permutsi dri {,, 3} sebgi genp tu gnjil. Tbel. Klsifiksi Permutsi dri {,, 3} Permutsi Bnykny Inversi Ksifiksi (,, 3) Genp (, 3, ) Gnjil (,, 3) Gnjil (, 3, ) Genp (3,, ) Genp (3,, ) 3 Gnjil Definisi. (Anton Rorres, 4). Determinn sutu hsilkli elementer (elementry product) dri sutu mtriks A, n n, dlh hsil kli dri n entri dri A, yng tidk stupun bersl dri bris tu kolom yng sm. II-3
Di bwh ini merupkn contoh untuk mencri hsilkli elementer dri mtriks dn 3 3 yng dibut dlm bentuk tbel. Contoh.3 Butlh dftr hsilkli elementer dri mtriks-mtriks Tbel. Hsilkli Elementer dri Mtriks dn Hsilkli Elementer Permutsi Yng Berkitn Genp tu Gnji Hsilkli Eementer Bertnd (, ) genp (, ) gnjil Hsilkli Permutsi Genp tu Hsilkli Elementer yng Berkitn Gnjil Elementer Bertnd (,, 3) genp (, 3, ) gnjil (,, 3) gnjil (, 3, ) genp (3,, ) genp (3,, ) gnjil Definisi. (Anton Rorres, 4). Mislkn A dlh sutu mtriks bujur sngkr. Fungsi determinn (determinn function) dinotsikn dengn det dn kit mendefinisikn det(a) sebgi jumlh dri semu hsilkli elementer bertnd dri A. Angk det(a) disebut determinn dri A (determinnt of A). II-4
Berikut ini diberikn contoh untuk mencri determinn dri mtriks dn 3 3 yng mengcu pd contoh.3 Contoh.4 Mengcu pd contoh., kit memperoleh ( )det ( b) det Untuk lebih jelsny dlm menentukn nili determinn mtriks berordo dpt dilkukn dengn menglikn elemen-elemen pd pnh yng mengrh ke knn dn mengurngkn hsilkli elemen-elemen pd pnh yng mengrh kiri, sehingg menghitung determinn ordo secr lngsung melibtkn perhitungn! = hsilkli elementer bertnd. Adpun rumus yng digunkn dlh: () Determinn dri mtriks (b) Determinn dri mtriks 3 3 Gmbr. Rumus untuk Menghitung Determinn Mtriks dn 3 3 Contoh di bwh ini merupkn metode untuk menggunkn determinn mtriks dn 3 3 II-
Contoh. 3 A 4 dn B 4 7 8 Dengn menggunkn metode pd Gmbr.. kit memperoleh det( A) (3)( ) ()(4) Dengn menggunkn metode pd Gmbr..b kit memperoleh 3 9 det( B) (4) (84) (9) () ( 48) ( 7) 4 4 7 8 3 4 9 7 Perlu di teknkn bhw metode yng ditunjukkn pd Gmbr.. tidk dpt digunkn untuk menghitung determinn dri mtriks 4 4 tu mtriks yng lebih besr. Selnjutny perlu di teknkn bhw simbol A dlh notsi lterntif untuk det( A ). Sebgi contoh, determinn dri sutu mtriks 3 3 dpt di tulis sebgi det Determinn dri mtriks dpt ditulis sebgi tu 8 A pd contoh. dengn menggunkn notsi kedu 3 4 jdi, dpt di simpulkn bhw determinn dri A dpt ditulis sebgi simbolis sebgi berikut. det( A ) j j dimn menunjukkn bhw suku-suku hrus dijumlhkn untuk semu permutsi j, j,, j ) dn tnd + tu dipilih untuk setip suku tergntung ( n pd pkh permutsiny genp tu gnjil. nj n II-
.. Sift-Sift Determinn dengn Reduksi Bris Teorem. (Anton Rorres, 4). Mislkn A dlh sutu mtriks bujur sngkr. () Jik memiliki stu bris tu stu kolom bilngn nol, mk det( A) T () det( A) det( A ). Teorem berikut menunjukkn bgimn opersi bris elementer terhdp sutu mtriks mempengruhi mempengruhi nili determinnny. Teorem. (Anton Rorres, 4). Mislkn A dlh sutu mtriks. () Jik B dlh mtriks yng diperoleh ketik stu bris tu stu kolom dri A diklikn dengn sutu sclr k, mk det( B) k det( A). () Jik B dlh mtriks yng diperoeh ketik du bris tu du kolom dri A dipertukrkn, mk det( B) det( A). (3) Jik B dlh mtriks yng diperoleh ketik keliptn dri stu bris A ditmbhkn ke bris linny tu ketik keliptn dri stu kolom ditmbhkn ke kolom yng lin, mk det( B) det( A). Contoh. Teorem. diterpkn untuk Determinn Hubungn Opersi k k k k det( B) k det( A) Bris pertm dri A diklikn dengn k Bris pertm dn kedu dri A dipertukrkn. det( B) det( A) II-7
k k k = Sutu keliptn dri bris kedu dri A ditmbhkn ke bris det( B) det( A) pertm. Sedngkn untuk menghitung determinn sutu mtriks dengn menggunkn reduksi bris dpt di liht pd contoh di bwh ini. Contoh.7 Hitunglh det( A) di mn A 3 Kit kn mereduksi A menjdi bentuk eselon bris (yitu segitig menerpkn teorem.: det(a) 3 3 9 9 9 Bris pertm dn kedu dri A dipertukrkn. ts) dn 3 3 Sutu fktor bersm yitu 3 dri bris pertm dikeurkn melewti tnd determinn 3 3 - kli bris pertm ditmbhkn ke bris ketig 3 3 - kli bris kedu ditmbhkn ke bris ketig. II-8
3 ( 3)( ) sutu fktor bersm yitu - dri bris terkhir dikelurkn melewti tnd determinn. ( 3)( )() Jdi, diperoleh hsil dri determinn dengn menggunkn reduksi bris dlh. II-9