Propositional Logic 3 kusnawi.s.kom, M.Eng version 1.0.0.2009
Adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh kalimat logika. Ada 3 sifat logika yaitu : - Valid(Tautologi) - Kontradiksi - Satisfiable(Contingent).
Suatu sentence f disebut valid, jika untuk setiap interpretation I for f, maka f true Contoh: 1. (f and g) if and only if (g and f) 2. f or not f 3. (p and (if r then s)) if only if ((if r then s) and p) 4. (p or q) or not (p or q) 5. (if p then not q) if and only if not (p and q)
Suatu sentence f disebut contradictory, jika untuk setiap interpretation I for f, maka f false Contoh: 1. p and not p 2. ((p or q) and not r) if and only if ((if p then r) and (if q then r) 3. (p or q) and ((not p) and (not q))
Suatu sentence f disebut satisfiable, jika untuk suatu interpretation I for f, maka f true Contoh: 1. if (if p then q) then q 2. (if p then q) and (not r and s) 3. (if r then q) or p
Suatu teknik/metode untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesa yang diberikan, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran Misalkan kepada kita diberikan beberapa proposisi. Kita dapat menarik kesimpulan baru dari deret proposisi tersebut. Contoh Metodenya adalah : - Modus Ponen atau law of detachment - Modus Tollen - Silogisme Hipotetis - Silogisme Disjungtif - Simplifikasi - Konjungsi
p q p q Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p q benar, maka konklusi q benar. Misalkan implikasi Jika 20 habis dibagi 2,maka 20 adalah bilangan genap dan hipotesis 20 habis dibagi 2 keduanya benar. Maka menurut modus ponen, inferensi berikut: 1. Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap. 2. 20 habis dibagi 2. 3. Karena itu, 20 adalah bilangan genap
p q ~ q ~ p Misalkan implikasi Jika n bilangan ganjil, maka n pangat 2 bernilai ganjil dan hipotesis n pangkat 2 bernilai genap keduanya benar. Maka menurut modus tollen, inferensi berikut 1. Jika n bilangan ganjil, maka n pangkat 2 bernilai ganjil 2. n pangkat 2 bernilai genap 3. n bukan bilangan ganjil
p q q r p r Misalkan implikasi Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian dan implikasi Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah adalah benar. Maka menurut kaidah silogisme, inferensi berikut: 1. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian 2. Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah 3. Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
p v q ~ p q Inferensi berikut: Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan. Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan. Menggunakan kaidah silogisme disjungtif: 1. Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan. 2. Saya tidak belajar dengan giat. 3. Saya menikah tahun depan.
p v q p Contoh : Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM. Karena itu, Hamid adalah mahasiswa UGM. kaidah simplifikasi, atau dapat juga ditulis dengan cara: 1.Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM. 2.Hamid adalah mahasiswa UGM. atau Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM. Karena itu, Hamid adalah mahasiswa AMIKOM
p q p ^ q Contoh : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma kaidah konjungsi: 1.Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. 2.Taslim mengulang kuliah Algoritma. 3.Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma.
Contoh 1 : Diketahui hipotesa : a. a b b. c v d c. c e d. ~b e. f g f. d a
Penyelesainnya: 1. a b hipotesa (a) ~b hipotesa (d) ~a, modus tollen 2. d a hipotesa (f) ~a kesimpulan 1 ~d, Modus tollen 3. c v d hipotesa (b) ~d kesimpulan 2 c, silogisme disjungtif 4. c e hipotesa (c) c kesimpulan 2 e, Modus ponen Kesimpulannya : Pernyataan E
Contoh 2: Pada suatu hari, Anda hendak pergi kuliah dan baru sadar bahwa Anda tidak memakai kacamata. Setelah diingat-ingat, ada beberapa fakta dimana Anda yakin itu benar: 1) Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika mengambil makanan kecil. 2) Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu atau aku membacanya di dapur. 3) Jika aku membaca buku pemrograman di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.
4) Aku tidak melihat kacamataku ketika aku mengambil makanan kecil. 5) Jika aku membaca majalah di ranjang, maka kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang. 6) Jika aku membaca buku pemrograman di dapur, maka kacamata ada di meja dapur. Berdasar fakta-fakta tersebut, tentukan dimana letak kacamata tersebut!.
Penyelesaiannya: Untuk memudahkan dalam menggunakan penggunaan metode inferensi, maka kalimat-kalimat tersebut dinyatakan dengan simbol-simbol logika, Misalnya: p : Kacamata ada di meja dapur. q : Aku melihat kacamataku ketika aku mengambil makanan kecil. r : Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu. s : Aku membaca buku pemrograman di dapur t : Kacamata kuletakkan di meja tamu. u : Aku membaca buku pemrograman di ranjang. w : Kacamata kuletakkan di meja samping ranjang.
Dengan simbol-simbol tersebut, maka fakta-fakta di atas dapat ditulis, sebagai berikut: 1. p q 2. r s 3. r t 4. ~q 5. u w 6. s p
Hasilnya : Inferensi yang dapat dilakukan adalah: 1. p q ~ q ~p, modus Tollen 2. s p ~p ~s, Modus Tollen 3. r s ~s r, Silogisme Disjungtif 4. r t r t, Modus Ponen Kesimpulannya: Kacamata ada di meja tamu.
Kalimat yang memuat ekspresi kuantitas Obyek yang terlibat, misalnya: semua, ada, beberapa,tidak semua, dan lain-lain. Ada dua macam, kalimat berkuantor: 1. Universal Quantifier 2. Existential Quantifier
Universal Quantifier (for all ) Terdapat kata-kata yg mempunyai makna umum dan menyeluruh. Notasi:, dibaca semua, seluruh, setiap Penulisan: x S p(x) Semua x dalam semesta S mempunyai sifat p Contoh: Semua orang yang hidup pasti mati Setiap mahasiswa pasti pandai
Existential Quantifier (for some ) Terdapat kata-kata yg mempunyai makna khusus/ sebagian. Notasi:, dibaca terdapat, ada, beberapa Penulisan: y S q(y) Terdapat y dalam semesta S mempunyai sifat q Contoh: Ada siswa di kelas ini yang ngantuk Beberapa mahasiswa ada yang mendapat nilai A untuk mata kuliah Pemrograman.
Ingkaran Pernyataan Berkuantor ( x) p(x) ( y) q(y) = ( y) p(y) = ( x) q(x) Contoh: 1. p : Semua mahasiswa di kelas ini enjoy belajar Logika dan Algoritma ~p : Ada mahasiswa di kelas ini yang tidak enjoy belajar Logika dan Algoritma 2. q : Ada pejabat yang korupsi ~q : Semua pejabat tidak korupsi